2017-2018学年广东省汕头市金山中学高二下学期期末考试 数学（理） Word版

2017-2018学年广东省汕头市金山中学高二下学期期末考试 数学（理） Word版

‎2017-2018学年广东省汕头市金山中学高二下学期期末考试理科数学试题 命题：黄庆珍 蔡振奕 一、选择题（每小题5分，共60分。每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）‎ ‎1.设集合P={3，log‎2a}，Q={a，b}，若，则（ ）‎ A．{3，1} B．{3，2，1} C．{3， 2} D．{3，0，1，2}‎ ‎2.定义运算＝ad－bc，若复数z满足＝－2，则（ ）‎ A．1－i B．1＋i C．－1＋i D．－1－i ‎3.在等差数列中，若=4，=2，则=（ ）‎ A．-1 B. ‎1 C. 0 D. 6‎ ‎4.右图是计算值的程序框图，则图中①②处应填的 语句分别是（ ） ‎ A. , B. , ‎ C. , D. , ‎ ‎5.已知函数与（且）的图象关于直线 对称，则“是增函数”的一个充分不必要条件是( )‎ ‎ ‎ ‎6.等比数列的前项和，前项和，前项和分别为，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎7．设实数，满足约束条件则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8.将3本相同的小说，2本相同的诗集全分给4名同学，每名同学至少1本，则不同的分法有（ ）‎ A．24种 B．28种 C．32种 D．36种 ‎9.设， 为的展开式的第一项（‎ 为自然对数的底数），,若任取，则满足的概率是（ ）‎ ‎（第10题图）‎ A． B． C． D．‎ ‎10.一个圆锥被过其顶点的一个平面截去了较少的一部分几何体，余下的几何体的三视图如下图，则余下部分的几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点（在轴上方），延长交抛物线的准线于点，若,，则抛物线的方程为（ ） A． B． C． D．‎ ‎12.已知，函数，若对任意给定的，总存在，使得，则的最小值为（ ）‎ A． B． C．5 D．6‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题（每题5分，共20分。把答案填在答题纸的横线上）‎ ‎13．已知函数为偶函数，且在单调递减，则的解集为 ;‎ ‎14.已知三棱锥的底面是等腰三角形，，底面，，则这个三棱锥内切球的半径为 ；‎ ‎15.已知中角满足且,则= ；‎ ‎16．已知，向量满足，则的最大值为 ．‎ 三．解答题（必做每题12分，选做10分）‎ ‎17.已知数列满足，，数列的前项和为，且.‎ ‎（Ⅰ）求数列，的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和.‎ ‎18.某园林基地培育了一种新观赏植物，经过了一年的生长发育，技术人员从中抽取了部分植株的高度(单位:厘米)作为样本(样本容量为)进行统计，按照[50,60),[60,70),[70,80),‎ ‎[80,90),[90,100]分组做出频率分布直方图，并作出样本高度的茎叶图(图中仅列出了 高度在[50,60),[90,100]的数据).‎ ‎1）求样本容量和频率分布直方图中的 ‎2）在选取的样本中,从高度在‎80厘米以上(含80厘米)的植株中随机抽取3株,设随机变 量表示所抽取的3株高度在 [80,90) 内的株数,求随机变量的分布列及数学期望.‎ ‎19.已知四棱锥P－ABCD的底面为等腰梯形, AB∥CD,AC⊥BD,‎ 垂足为H, PH是四棱锥的高,E为AD中点,设 ‎1)证明：PE⊥BC；‎ ‎2)若∠APB＝∠ADB＝60°，求直线PA与平面PEH所成 角的正弦值．‎ ‎20.已知过点，且圆心在直线上的圆与轴相交于两点，曲线 上的任意一点与两点连线的斜率之积为．‎ Ⅰ）求曲线的方程；‎ Ⅱ）过原点作射线，，分别平行于，，交曲线于，两点，‎ 求的取值范围．‎ ‎21.已知函数.‎ ‎(Ⅰ)当时，讨论的单调性；‎ ‎（Ⅱ）设当时，若对任意，存在，‎ 使，求实数取值范围.‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴非负半轴为极轴）中，圆的方程为．‎ ‎（1）求圆的直角坐标方程；‎ ‎（2）若点，设圆与直线交于点，．求的最小值．‎ ‎24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知实数，设函数．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，求的取值范围．‎ 答案：BDCA CDAB DBCD ‎13. 14. 15. 16.‎ ‎17．解：（Ⅰ）因为，，所以为首项是1，公差为2的等差数列，‎ 所以 ----------2分 又当时，，所以，‎ 当时，…① …②‎ 由①-②得，即， ----------4分 所以是首项为1，公比为的等比数列，故.----------5分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，则 ----------6分 ‎ ①‎ ‎ ②----------8分 ‎①-②得 ‎ --------10分 所以 --------12分 ‎18. 解：(1)由题意可知，样本容量 ‎，‎ ‎. （4分）‎ ‎(2)由题意可知，高度在[80,90)内的株数为5，高度在[90,100]内的株数为2，‎ 共7株.抽取的3株中高度在[80,90)内的株数的可能取值为1,2,3，（5分）‎ 则 , ,‎ ‎. （8分）‎ ‎ ‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎（10分）‎ ‎3‎ ‎ ‎ 故. （12分）‎ ‎19.解：以H为原点，HA，HB，HP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角 坐标系如图，则A(1,0,0)，B(0,1,0)． -----------------1分 ‎(1)证明：设C(m,0,0)，P(0,0，n)(m<0，n>0)，则D(0，m,0)，E(，，0)．‎ 可得＝(，，－n)，＝(m，－1,0)． 因为·＝－＋0＝0，‎ 所以PE⊥BC. ---------------6分 ‎(2)由已知条件可得m＝－，n＝1， ---------------8分 故C(－，0,0)，D(0，－，0)，E(，－，0)，‎ P(0，0,1)．设n＝(x，y，z)为平面PEH的法向量，‎ 则即 因此可以取n＝(1，，0)．‎ 由＝(1,0，－1)，可得|cos〈，n〉|＝，‎ 所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为. ---------------12分 ‎20. 解法一：（Ⅰ）∵圆过点，，‎ ‎∴圆心在直线上，……………………………………………………1分 又圆心在直线上，‎ ‎∴当时，，即圆心为.……………………………………2分 又与的距离为，‎ ‎∴圆的方程为.………………………………………………3分 令，得. ……………………………………………………………4分 不妨设，， ‎ 由题意可得，，‎ ‎∴,‎ ‎∴曲线的方程为：()．………………………………6分 ‎（Ⅱ）设，射线的斜率为，则射线的斜率为.‎ 解得………………………7分 ‎∴．………………………8分 同理，…9分 ‎∴．………………………………10分 设，则，‎ ‎∴， ‎ 又∵，‎ ‎∴.………………………………………………………………12分 解法二：（Ⅰ）同解法一；‎ ‎（Ⅱ）设，射线的斜率为，则射线的斜率为.‎ 解得………………………………………………7分 ‎∴．………………………………………………8分 同理，……………………………9分 ‎∴‎ ‎……………………………10分 ‎………………………………………………………11分 即．………………………………………………………12分 ‎21.解:(Ⅰ)定义域为（0，+，因为 =，---1分 所以当时，，令得，所以 此时函数在（1，+上是增函数；在（0，1）上是减函数； ---2分 当时，，所以 此时函数在（0，+是减函数； ----------------------------3分 当时，令=得，解得（舍去），‎ 此时函数在（1，+上是增函数；在（0，1）上是减函数； -------------4分 当时，令=得，解得，此时函数 在（1，上是增函数；在（0，1）和+上是减函数；-----------6分 ‎（Ⅱ）当时，在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意 ‎，‎ 有，---------7分 又已知存在，使，所以，---------8分 ‎，即存在，使，即，---10分 即，所以，---------11分 解得，即实数取值范围是---------12分 ‎22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 ‎（1）由得，得，即 ---4分 ‎（2）将的参数方程代入圆的直角坐标方程，得．‎ 由，故可设，是上述方程的两根，‎ 所以，又直线过点，故结合的几何意义得 ‎，所以的最小值为．---10分 ‎23.（1）证明：---4分 ‎（2），‎ ‎，‎ ‎，，得： ---10分