【推荐】专题4-5 解三角形-2018年高三数学（理）一轮总复习名师伴学

【推荐】专题4-5 解三角形-2018年高三数学（理）一轮总复习名师伴学

‎1.【2017山东高考理9】在中，角，，的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】 ‎ 所以，选A.‎ ‎【考点解读】本题考查了正弦定理与三角函数的和差角公式，为综合题。本题难度中等，关键是要利用两角和差的三角函数公式进行恒等变形. 首先用两角和的正弦公式转化为含有，，的式子，用正弦定理将角转化为边，得到.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视.‎ ‎2.【2017浙江高考11】我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积， ．‎ ‎【答案】 ‎【考点解读】本题涉及数学文化，本题粗略看起来文字量大，其本质为将正六边形分割为6个等边三角形，确定6个等边三角形的面积，其中对文字信息的读取及提取有用信息方面至关重要，考生面对这方面题目时应多加耐心，仔细分析题目中所描述问题的本质，结合所学进行有目的的求解．‎ ‎3.【2017浙江高考14】已知△ABC，AB=AC=4，BC=2． 点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是______，cos∠BDC=_______．‎ ‎【答案】 ‎【解析】取BC中点E，DC中点F，由题意：，△ABE中，，，．‎ 又，‎ ，综上可得，△BCD面积为，．‎ ‎【考点解读】本题为解三角形问题，对三角形知识的综合度要求较高。‎ ‎4.【2017课标1理17】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为 ‎ ‎（1）求sinBsinC;‎ ‎（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长.‎ 解析：（1）由题设得，即.‎ 由正弦定理得，故.‎ ‎（2）由题设及（1）得，即.‎ 所以，故.由题设得，即.‎ 由余弦定理得，即，得.‎ 故的周长为.‎ ‎【考点解读】本题考查了解三角形与三角函数及其变换.在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.‎ ‎5.【2017课标II理17】的内角所对的边分别为，已知，‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，的面积为，求。‎ ‎【答案】(1)；(2)。‎ ‎【考点解读】本题考查了正弦定理；余弦定理；三角形面积公式。解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意三者的关系，这样的题目小而活，备受老师和学生的欢迎。‎ ‎6.【2017课标3理17】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知 ，a=2,b=2.‎ ‎（1）求c；‎ ‎（2）设D为BC边上一点，且ADAC,求△ABD的面积.‎ ‎【答案】(1) ； (2) ‎ ‎【解析】分析：(1)由题意首先求得，然后利用余弦定理列方程，边长取方程的正实数根可得 ；‎ ‎(2)利用题意首先求得△ABD面积与△ACD面积的比值，然后结合△ABC的面积可求得△ABD的面积为 . ‎ ‎【考点解读】本题考查了余弦定理解三角形；三角形的面积公式。在解决三角形问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.‎ ‎7.【2017北京高考理15】在△ABC中， =60°，c=a.‎ ‎（Ⅰ）求sinC的值；‎ ‎（Ⅱ）若a=7，求△ABC的面积.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）根据正弦定理求的值；（Ⅱ）根据条件可知根据（Ⅰ）的结果求，再利用 求解，最后利用三角形的面积.‎ 解析：（Ⅰ）在△ABC中，因为，，所以由正弦定理得.‎ ‎（Ⅱ）因为，所以.由余弦定理得，‎ 解得或（舍）.所以△ABC的面积。‎ ‎【考点解读】本题考查了正余弦定理；三角形面积及三角恒等变换.高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式 ‎8.【2017天津高考理15】在中，内角所对的边分别为.已知，‎ ，.‎ ‎（Ⅰ）求和的值；‎ ‎（Ⅱ）求的值.‎ ‎【答案】 (1) .(2) ‎ ‎【解析】分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系，再根据余弦定理求出，‎ 进而得到，由转化为，求出，进而求出，从而求出 的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果.‎ ‎【考点解读】本题考查了正余弦定理与解三角形。利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.‎ ‎9.【2017江苏高考18】如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm,容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm,容器Ⅱ的两底面对角线,的长分别为14cm和62cm. 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为12cm. 现有一根玻璃棒l,其长度为40cm.（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）‎ ‎ （1）将放在容器Ⅰ中,的一端置于点A处,另一端置于侧棱上,求没入水中部分的长度；‎ ‎ （2）将放在容器Ⅱ中,的一端置于点E处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度.‎ ‎【答案】（1）16 （2） 20 ‎ ‎【解析】分析：（1）设玻璃棒在CC1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，过N作NP∥MC，交AC于点P，推导出CC1⊥平面ABCD，CC1⊥AC，NP⊥AC，求出MC=30cm，推导出△ANP∽△AMC， 由此能出玻璃棒l没入水中部分的长度．‎ ‎（2）设玻璃棒在GG1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，‎ 在平面E1EGG1中，过点N作NP⊥EG，交EG于点P，‎ 过点E作EQ⊥E1G1，交E1G1于点Q，‎ ‎∵EFGH﹣E1F1G1H1为正四棱台，∴EE1=GG1，EG∥E1G1，EG≠E1G1，‎ ‎∴sin∠GEM=sin（∠EGM+∠EMG）=sin∠EGMcos∠EMG+cos∠EGMsin∠EMG=，‎ ‎∴EN===20cm．∴玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm．‎ ‎【考点解读】本题为解三角形问题的实际应用。问题中玻璃棒l没入水中部分的长度的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．‎ 考点 了解A 掌握B 灵活运用C 正弦定理、余弦定理 B 解三角形 B 解三角形部分为高考的必考点，其主要考查类型为利用正弦定理、余弦定理解三角形，与三角形面积有关的问题及三角形中范围和最值问题等。问题多为中档题，问题解决体现了方程思想，函数思想、数学变形能力及转化思想。对知识的综合能力有一定要求。‎ 题型一 利用正弦﹑余弦定理解三角形 典例1.（1）（2016衡水中学二模）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，‎ ‎ b＝，A＝，则B＝(　　)‎ A. B.或 C.或 D. ‎【答案】B ‎【解析】　由正弦定理，得＝，即＝，∴sin B＝.又b>a，即B>A，∴B＝或.‎ ‎（2）（2017大连模拟）在中，，边上的高等于,则（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】C ‎（3）（2017广州模拟）在中，角..所对应的边分别为..，已知，则 .‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】，由边角互化得，‎ 即，即，所以.‎ ‎（4）（2017安徽六安市联考）在中，,点D在边上，，求的长.‎ ‎【答案】 ‎【解析】如图，‎ ‎ ‎ 设的内角所对边的长分别是，由余弦定理得 ，‎ 所以.又由正弦定理得.‎ 由题设知，所以.‎ 在中，由正弦定理得.‎ ‎（5）（2017哈尔滨模拟）设的内角所对边的长分别是，且 ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ （2） 由余弦定理得．由于，‎ 所以．故 ．‎ 解题技巧与方法总结 ‎ (1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素；(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系．‎ ‎（2）正弦定理的应用技巧 求边：利用公式a＝，b＝，c＝或其他相应变形公式求解．‎ 求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sin A＝，sin B＝，sin C＝或其他相应变形公式求解．‎ 相同的元素归到等号的一边，即＝，＝，＝，可应用这些公式解决边或角的比例关系问题．‎ ‎（3）利用余弦定理解三角形的步骤 ‎【变式训练】‎ ‎（1）（2017北京大兴一模）在中，，，，则 ．‎ ‎【答案】1‎ ‎（2）（2017河北衡水金卷）在中，内角所对的边分别是．已知，，则的值为_______．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】代入得，由余弦定理得．‎ ‎（3）（2017重庆模拟）在ABC中，B=，AB=，A的角平分线AD=,则AC=_______.‎ ‎【答案】 ‎【解析】由正弦定理得，即，解得，‎ ，从而，所以，‎ .‎ ‎(4) （2016石家庄一模）已知△ABC中，AC＝4，BC＝2，∠BAC＝60°，AD⊥BC于点D，‎ 则的值为________．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】BC＝2，AC＝4，根据余弦定理，得 28＝16＋AB2－4AB，解得AB＝6(负值舍去)，‎ ‎ 所以cos B＝＝，cos C＝＝，‎ ‎ 所以＝＝×4＝6.‎ ‎ (5)（2017兰州模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且C＝2A，a＋c＝10，‎ cos A＝，则b的值为________‎ ‎【答案】　5　　‎ ‎（6）（2017北京石景山区一模）如图，在中，，点在边上，且，.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求，的长.‎ ‎【答案】（1）；（2）7.‎ ‎【解析】（1）在中，因为，所以，‎ 所以 ‎ .‎ ‎（7）（2017江苏淮安模拟）在中，已知.‎ ‎（1）求的长；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2） ‎【解析】（1）由余弦定理知，‎ 所以．‎ ‎（2）由正弦定理知，，所以．‎ 因为，所以为锐角，则．‎ 因此．‎ 知识链接： ‎ ‎1. 正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R.‎ ‎(R为△ABC外接圆半径)‎ a2＝b2＋c2－2bc·cos_A；‎ b2＝c2＋a2－2ca·cos_B；‎ c2＝a2＋b2－2ab·cos_C 变形形式 ‎(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；‎ ‎(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；‎ ‎(3)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C cos A＝；‎ cos B＝；‎ cos C＝ 解决问题 ‎(1)已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；‎ ‎(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ‎(1)已知三边，求各角；‎ ‎(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角 ‎2. 在△ABC中，已知a，b和A时，三角形解的情况 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin A<‎ ab 解的个数 ‎1‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎1‎ 题型二　利用正弦﹑余弦定理判定三角形的形状 典例2.（1）（2017江苏淮安模拟）在△ABC中，a2＋b2＋c2＝2absin C，则△ABC的形状是(　　)‎ A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．正三角形 ‎【答案】D ‎【解析】易知a2＋b2＋c2＝a2＋b2＋a2＋b2－2abcos C＝2absin C，即a2＋b2＝2absin，‎ 由于a2＋b2≥2ab，所以2absin≥2ab，故只能a＝b且C＋＝，故△ABC为正三角形．‎ ‎（2）（2017陕西宝鸡模拟）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2=a2+bc．‎ 若sin B•sin C=sin2A，则△ABC的形状是（　　）‎ A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 ‎【答案】C ‎【解析】在△ABC中，∵b2+c2=a2+bc，∴cosA===，‎ ‎∵A∈（0，π），∴．∵sin B•sin C=sin2A，∴bc=a2，代入b2+c2=a2+bc，‎ ‎∴（b﹣c）2=0，解得b=c．∴△ABC的形状是等边三角形．故选：C．‎ ‎（3）（2017江西九江模拟）在△ABC中， ，则这个三角形一定是(　　)‎ A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角 D. 等腰或直角三角形 ‎【答案】A ‎(4)（2017银川模拟）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b－c)sin B＋‎ ‎(2c－b)sin C.‎ ‎①求角A的大小；‎ ‎②若sin B＋sin C＝，试判断△ABC的形状．‎ ‎【解析】 ①由题意知2a2＝(2b－c)·b＋(2c－b)·c，所以b2＋c2－a2＝bc.‎ 由cos A＝＝，得A＝60°.‎ ‎②∵A＝60°，∴B＋C＝120°，∴C＝120°－B，‎ 由sin B＋sin C＝，得sin B＋sin(120°－B)＝，‎ 整理得sin(B＋30°)＝，∴sin(B＋30°)＝1，‎ ‎∵B为三角形的内角，所以B＋30°＝90°，即B＝60°，‎ ‎∴C＝60°，∴△ABC的形状为等边三角形．‎ 解题技巧与方法总结 判断三角形形状实质上是在缺少部分条件的情况下解三角形，此时三角形的各个元素虽然不能具体确定，但可以确定其中某些元素的等量或者不等量关系，据此对三角形形状作出判断．‎ 判断三角形形状的两种常用途径 ‎1．化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．‎ ‎2．化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．‎ ‎【变式训练】‎ ‎（1）(2017银川一中期末)在△ABC中，已知cos A＝cos B，则△ABC的形状一定是（ ）‎ A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 ‎【答案】A ‎【解析】∵cos A＝cos B，∴A=B∴ABC的形状一定是等腰三角形.故选：A ‎（2）(2016青岛模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B⇔sin A>sin B⇔cos A

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