【数学】甘肃省武威第六中学2019-2020学年高二下学期第一次学段考试（期中）（文）

【数学】甘肃省武威第六中学2019-2020学年高二下学期第一次学段考试（期中）（文）

甘肃省武威第六中学2019-2020学年 高二下学期第一次学段考试（期中）（文）‎ 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1．设集合，，则等于（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎2．复数（i为虚数单位）的虚部为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知命题，命题，则下列命题中的真命题为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．设，则“”是“” 的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5．下边茎叶图记录了甲､乙两位同学在5次考试中的成绩（单位:分）.已知甲成绩的中位数是124，乙成绩的平均数是127，则的值为（ ）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎6．曲线C经过伸缩变换后，对应曲线的方程为：，则曲线C的方程为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎7．为研究某种细菌在特定环境下，随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据：‎ 天数（天）‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 繁殖个数（千个）‎ ‎2.5‎ ‎3‎ ‎4.5‎ 由最小二乘法得与的线性回归方程为，则当时，繁殖个数的预测值为（ ）‎ A．4.9 B．5.25 C．5.95 D．6.15‎ ‎8．某单位有名职工，现采用系统抽样方法从中抽取人做问卷调查，将人按，，，，随机编号，若号职工被抽到，则下列名职工中未被抽到的是（ ）‎ A．号职工 B．号职工 ‎ C．号职工 D．号职工 ‎9．已知命题“，”为真命题，则实数a的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知函数是定义上的奇函数，满足，且当时，，则（ ）‎ A．0 B．1 C． D．‎ ‎11．在平面直角坐标系中，曲线（为参数）上的点到直线的距离的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知函数，若实数满足，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13．函数的单调递增区间是_________．‎ ‎14．已知函数，在区间上随机取一个数，则使得≥0的概率为 ．‎ ‎15．我们知道等比数列与等差数列在许多地方都有类似的性质，请由等差数列的前项和公式.类比得到正项等比数列的前项积公式_______．‎ ‎16．（1）已知两个变量线性相关，若它们的相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1.‎ ‎（2）线性回归直线必过点；‎ ‎（3）对于分类变量A与B的随机变量，越大说明“A与B有关系”的可信度越大.‎ ‎（4）在刻画回归模型的拟合效果时，残差平方和越小，相关指数的值越大，说明拟合的效果越好.‎ ‎（5）根据最小二乘法由一组样本点，求得的回归方程是，对所有的解释变量,的值一定与有误差.以上命题正确的序号为____________.‎ 三、解答题（共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（本小题共10分）已知：，：.‎ ‎（1）若为真，求的取值范围；‎ ‎（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.‎ ‎18．（本小题共12分）某高校调查喜欢“统计”课程是否与性别有关，随机抽取了55个学生，得到统计数据如表：‎ 喜欢 不喜欢 总计 男生 ‎20‎ 女生 ‎20‎ 总计 ‎30‎ ‎55‎ ‎（1）完成表格的数据；‎ ‎（2）判断是否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜欢“统计”课程与性别有关？‎ 参考公式：‎ ‎0.025‎ ‎0.01‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎19．（本小题共12分）在直角坐标系中，圆C的参数方程（为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）求圆C的极坐标方程；‎ ‎（2）直线l的极坐标方程是，射线与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段的长. ‎ ‎20．（本小题共12分）某年级100名学生期中考试数学成绩（单位:分）的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100].‎ ‎（1）求图中a的值，并根据频率分布直方图估计这100名学生数学成绩的平均分；‎ ‎（2）从[70，80)和[80，90)分数段内采用分层抽样的方法抽取5名学生，求在这两个分数段各抽取的人数；‎ ‎（3）现从第（2）问中抽取的5名同学中任选2名参加某项公益活动，求选出的两名同学均来自[70，80)分数段内的概率.‎ ‎21．（本小题共12分）平面直角坐标系中，‎ 直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.且曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求直线的普通方程以及曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若点的极坐标为，直线与曲线交于两点，求的值 ‎22．（本小题共12分）已知函数在区间[2,3]上有最大值4和最小值1.‎ ‎（1）求a、b的值；‎ ‎（2）设，若不等式在x∈上恒成立，求实数的取值范围．‎ 参考答案 一、选择题1．B 2．B 3．C 4．A 5．C 6．A 7．B 8．D 9．D 10．A 11．B 12．B 二、填空题13． 14． 15． 16．（1）（2）（3）（4）.‎ 三、解答题17．（1）（2）‎ ‎【解析】（1）由：，可得：，即可求得答案.‎ ‎（2）A的充分不必要条件是B是指：即，结合条件，即可求得答案.‎ ‎【详解】（1）： ：，‎ 解得或．故的取值范围为．‎ ‎（2）： 当真时，，记，‎ ‎：. 当为真时，，记．‎ 是的充分不必要条件 是的充分不必要条件，‎ ‎.. 即，解得： 故实数的取值范围为．‎ 故答案为：．‎ ‎18．（1）见解析;（2）在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜欢“统计”课程与性别有关.‎ ‎【详解】（1）解：由表知，喜欢“统计”课程女生人数为（人），‎ 不喜欢“统计”课程的总人数为（人），‎ 不喜欢“统计”课程男生人数为（人），则列联表为 喜欢 不喜欢 总计 男生 ‎20‎ ‎5‎ ‎25‎ 女生 ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ 总计 ‎30‎ ‎25‎ ‎55‎ ‎（2）解：设 喜欢“统计”课程与性别无关，由（1）可知列联表为：‎ 喜欢 不喜欢 总计 男生 ‎20‎ ‎5‎ ‎25‎ 女生 ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ 总计 ‎30‎ ‎25‎ ‎55‎ 则 ，‎ 所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜欢“统计”课程与性别有关.‎ ‎19．（1）；（2）2‎ ‎【详解】（1）圆C的普通方程为，又，‎ 所以圆C的极坐标方程为.‎ ‎（2）设，则由解得，，得；‎ 设，则由解得，，得；‎ 所以 ‎20．（1）0.03，73（分）（2）3人和2人（3）P ‎【详解】‎ ‎（1）依题意得10×(2×0.005+0.02+a+0.04)=1，解得a=0.03∴这100名学生的数学平均分为: 55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=73（分）‎ ‎（2）由（1）可知，成绩在[70，80)和[80，90)中的学生人数比为3:2，∴用分层抽样方法抽取成绩在[70，80)和[80，90)中的学生人数分别为3人和2人.‎ ‎（3）设成绩在[70，80)中的学生为a1，a2，a3，成绩在[80，90)中的学生为b1，b2，则从5人中选取2人的所有结果为:(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，(b1，b2)， (a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，共10个结果，其中符合条件的共3个结果，∴选出的两名同学均来自[70，80)分数段内的概率为P.‎ ‎21．（1）；（2）‎ ‎【详解】（1）由消去参数，得直线方程：，‎ 由， 方程两边分别乘以，‎ 代入得曲线C的方程：.‎ ‎（2）因为的极坐标为，所以在直角坐标系中，且在直线上，‎ 将直线，化成直线参数方程标准式（t为参数），‎ 设A，B两点对应的参数为，代入得：‎ 则，可知 ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查参数方程与极坐标方程的转化、直线参数方程的几何意义，属于中档题．‎ ‎22．（1）；（2）.‎ ‎【详解】解：（1）开口方向向上，且对称轴方程为 ，‎ 在上单调递增 ‎. 解得且.‎ ‎（2）在上恒成立 所以只需.‎ 有（1）知 当且仅当，即时等号成立. .‎