2018-2019学年内蒙古巴彦淖尔一中高二上学期期中考试数学（理）试题 解析版

2018-2019学年内蒙古巴彦淖尔一中高二上学期期中考试数学（理）试题 解析版

绝密★启用前 内蒙古巴彦淖尔一中2018-2019学年高二上学期期中考试数学（理）试卷 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．若方程表示一个圆,则的取值范围是 ( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二次方程表示圆的充要条件列出不等式，通过解不等式求出k的范围．‎ ‎【详解】‎ 方程x2+y2+x+y+k=0表示一个圆，需满足 ‎1+1﹣4k＞0‎ ‎∴‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件为：D2+E2﹣4F＞0‎ ‎2．椭圆的长轴为4，短轴为2，则该椭圆的离心率为（）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】椭圆的长轴为4，短轴为2,故a=2,b=1, 椭圆的离心率为 ‎ 故答案为：A。‎ ‎3．已知双曲线的方程为，则下列关于双曲线说法正确的是（ ）‎ A． 虚轴长为 B． 焦距为 C． 离心率为 D． 渐近线方程为 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：根据题意，由双曲线的标准方程依次分析选项，综合即可得答案.‎ 解析：根据题意，依次分析选项：‎ 对于A，双曲线的方程为，其中b=3，虚轴长为6，则A错误；‎ 对于B，双曲线的方程为，其中a=2，b=3，则，则焦距为，则B错误；‎ 对于C，双曲线的方程为，其中a=2，b=3，则，则离心率为 ‎，则C错误；‎ 对于D，双曲线的方程为，其中a=2，b=3，则渐近线方程为，则D正确.‎ 故选：D.‎ 点睛：本题考查双曲线的标准方程，注意有双曲线的标准方程a、b的值.‎ ‎4．双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于，则点到另一个焦点的距离等于（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将双曲线方程化为标准方程，可得，设到另一个焦点的距离为，‎ 根据双曲线的定义可得，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ 双曲线化为，‎ 可得，，‎ 设到另一个焦点的距离为，‎ 根据双曲线的定义可得，，‎ 即点到另一个焦点的距离等于，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查双曲线的标准方程、双曲线的定义以及双曲线的简单性质，意在考查对基础知识的理解与灵活应用，属于简单题.‎ ‎5．设椭圆的左焦点为，直线与椭圆交于两点，则的值是（ ）‎ A． 2 B． C． 4 D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：设椭圆的右焦点为连接则四边形是平行四边形，根据椭圆的定义得到=2a得解.‎ 详解：设椭圆的右焦点为连接 因为OA=OB,OF=O,所以四边形是平行四边形.‎ 所以,‎ 所以=|AF|+=2a=4,‎ 故答案为:C 点睛：（1）本题主要考查椭圆的几何性质，意在考查学生对椭圆基础知识的掌握能力. (2)解答本题的关键是能观察到对称性，得到四边形是平行四边形，这一点观察到了，后面就迎刃而解了.‎ ‎6．已知椭圆的对称轴与两条坐标轴重合，且长轴长的短轴长的倍，抛物线 的焦点与椭圆的一个顶点重合，则椭圆的标准方程为（ ）．‎ A． B． ‎ C． 或 D． 或 ‎【答案】D ‎【解析】分析：根据长轴长的短轴长的倍得，顶点与抛物线的焦点重合，求出椭圆方程中b、a的值即可；‎ 详解：‎ 由于椭圆长轴长是短轴长的倍，即有，又抛物线的焦点与椭圆的一个顶点重合，得椭圆经过点，‎ 若焦点在轴上，则，，椭圆方程为，‎ 若焦点在轴上，则，，椭圆方程为，‎ ‎∴椭圆的标准方程为或．‎ 故选．‎ 点睛：本题考查了求椭圆的标准方程的应用问题，对定义的熟悉是解题关键，同时要注意椭圆方程的焦点位置来确定方程形式，属于基础题.‎ ‎7．在平面直角坐标系中，双曲线中心在原点，焦点在轴上，一条渐近线方程为，则它的离心率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：根据双曲线的一条渐近线的方程，求得，再利用离心率的公式求解．‎ 详解：由双曲线中心在原点，焦点在轴上，一条渐近线方程为，即，‎ 则，所以，所以双曲线的离心率为，故选A．‎ 点睛：本题主要考查了双曲线的几何性质，其中根据双曲线的一条渐近线，求得的关系式是解答的关键，同时熟记圆锥曲线的几何性质是解答的基础，着重考查了推理与运算能力．‎ ‎8．已知是椭圆上一定点，是椭圆两个焦点，若，，则椭圆离心率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】在中，，，，根据余弦定理，，所以，，根据椭圆定义，则离心率，故选择B.‎ 点睛：椭圆几何性质内容丰富，往往是命题的热点，而离心率又是几何性质中的核心，因此离心率问题一直成为考查的重点.求离心率的值及离心率的取值范围常用的方法有（1）求的值，由直接求；（2）列出含有的方程或不等式，借助于，消去，然后转化为关于的方程或不等式求解.应用平面几何知识是解决这类问题的关键.‎ ‎9．抛物线上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是　　‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由抛物线方程化标准方程为，再由焦半径公式，可求得。‎ ‎【详解】‎ 抛物线为，由焦半径公式，得。选B.‎ ‎【点睛】‎ 抛物线焦半径公式：‎ 抛物线，的焦半径公式。‎ 抛物线，的焦半径公式。‎ 抛物线，的焦半径公式。‎ 抛物线，的焦半径公式。‎ ‎10．如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点、，交其准线于点，若点是的中点，且，则线段的长为（ ）‎ A． 5 B． 6 C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设A、B在准线上的射影分别为为M、N，准线与横轴交于点H，则FH=p，由点F是AC的中 点，得p=2，设BF=BF=x，则，即，解得x=，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 设A、B在准线上的射影分别为为M、N，准线与横轴交于点H，则FH=p，‎ 由于点F是AC的中点，|AF|=4，∴AM=4=2p，∴p=2，‎ 设BF=BN=x，则则，即，解得x=，‎ ‎，‎ 故答案为：C ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的定义及其应用，抛物线的几何性质，过焦点的弦的弦长关系，平面几何知 识，转化化归的思想方法.‎ ‎11．设是椭圆长轴的两个端点，若上存在点满足，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分焦点在x轴上和y轴上两种情况：‎ ‎①0＜k＜4时，C上存在点P满足∠APB=120°，‎ 假设M位于短轴的端点时，∠AMB取最大值，‎ 要使椭圆C上存在点M满足 ‎∠AMB=120°，‎ ‎∠AMB≥120°，∠AMO≥60°，‎ tan∠AMO= ≥tan60°，‎ 解得：0＜k≤ ．‎ ‎②当椭圆的焦点在y轴上时，k＞4，‎ 同理可得：k≥12，‎ ‎∴m的取值范围是（0， ]∪[12，+∞）‎ 故选：A．‎ 点睛：这个题目并没有说明椭圆的焦点位置，因此分两种情况，且在这些三角形中，当p点在上顶点M时，角最大，因此：0＜k＜4时，C上存在点P满足∠APB=120°，即∠AMB≥120°，即∠AMO≥60°，在直角三角形中tan∠AMO=≥tan60°，解得k，同理k＞4时也可以这样做．‎ ‎12．（2017·海口市调研）在平面直角坐标系中，点为椭圆：的下顶点，，在椭圆上，若四边形为平行四边形，为直线的倾斜角，若，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 垂直于轴且，因为，故，所以，从该式可求出离心率的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 因为是平行四边形，因此且，‎ 故，代入椭圆方程可得，所以．‎ 因，所以即，‎ 所以即，解得，故选A．‎ ‎【点睛】‎ 求离心率的取值范围，关键在于构建关于的不等关系，它来自圆锥曲线上点的坐标的范围或某些几何量的范围或点、直线与椭圆的位置关系等．‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．以为渐近线且经过点的双曲线方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】以为渐近线的双曲线为等轴双曲线，方程可设为，代入点得 .‎ 视频 ‎14．已知抛物线的焦点与圆的圆心重合，则m的值是_____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 抛物线的焦点坐标为，圆的圆心坐标为，利用两者相同可得的值.‎ ‎【详解】‎ 抛物线的焦点坐标为，圆的圆心坐标为，故即，填.‎ ‎【点睛】‎ 圆的一般方程为，其圆心为，注意.求圆锥曲线的基本量时，需要把圆锥曲线的方程写成标准形式，便于基本量的计算.‎ ‎15．设为抛物线的焦点，过且倾斜角为的直线交于，两点，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析：先根据抛物线方程求得焦点坐标和准线方程，根据直线的斜率求得直线的方程与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理求得xA+xB的值，进而根据抛物线的定义可知直线AB的长为答案可得．‎ 详解：依题意可知抛物线C：y2=4x焦点为（1，0），直线AB的方程为y=x-1，代入抛物线方程得x2-6x+1=0，∴xA+xB=3 根据抛物线的定义可知直线AB的长为：=6+2=8.‎ 故答案为：8‎ 点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系．在涉及焦点弦的问题时常需要把直线与抛物线方程联立利用韦达定理设而不求，考查抛物线的定义的灵活应用．‎ ‎16．已知点分别是双曲线：的左右两焦点，过点的直线与双曲线的左右两支分别交于两点，若是以为顶角的等腰三角形，其中，则双曲线离心率的取值范围为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：根据双曲线的定义，可求得，设，由余弦定理可得，，进而可得结果.‎ 详解：如图，‎ ‎，又，‎ 则有，‎ 不妨假设，‎ 则有，可得，‎ 中余弦定理，，‎ ‎，即，故答案为.‎ 点睛：本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求离心率范围问题应先将 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围.本题是利用点到直线的距离等于圆半径构造出关于的等式，最后解出的值.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知圆的圆心为，直线与圆相切．‎ ‎（1）求圆的标准方程；‎ ‎（2）若直线过点，且被圆所截得弦长为，求直线的方程．‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2) ；或．‎ ‎【解析】分析：（1）由直线和圆相切可得圆的半径，进而可得圆的标准方程．（2）分直线的斜率存在与不存在两种情况考虑，根据待定系数法设出直线的方程并结合弦长公式求解可得结果．‎ 详解：（1）由题意得圆心到直线的距离为 ‎．‎ 所以圆的圆心为，半径，‎ ‎∴圆的标准方程为．‎ ‎（2）①当直线的斜率存在时，设直线方程为 即，‎ ‎∴圆心到直线的距离为．‎ 又由题意得，解得．‎ ‎∴，‎ 解得．‎ ‎∴直线的方程为．‎ ‎②当的斜率不存在时，可得直线方程为，满足条件．‎ 综上可得直线的方程为或．‎ 点睛：解决解析几何问题时注意把几何问题转化为数的运算的问题，通过计算达到求解的目的．在本题（2）中，容易忽视斜率不存在的情形，解题时要注意这一特殊情况，通过验证可求得，以得到完整的解．‎ ‎18．已知椭圆的焦距为，长轴长为4．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）直线与椭圆交于A,B两点．若， 求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用椭圆的焦距为，长轴长为，求出椭圆的几何量，可得椭圆的标准方程；（2）直线，联立椭圆方程，消去 ,运用韦达定理，由,则有，化简整理即可求的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵椭圆的焦距为，长轴长为，‎ ‎∴，，∴，∴椭圆C的标准方程为 . ‎ ‎（2）设，将直线AB的方程为代入椭圆方程得 ‎， 则， ①. ‎ 又，. ‎ 由OA⊥OB，知 ‎ 将①代入，得，又∵满足，∴．‎ ‎【点睛】‎ 求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于的方程组，解出，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.‎ ‎19．已知双曲线和椭圆有公共的焦点，且离心率为．‎ ‎（Ⅰ）求双曲线的方程．‎ ‎（Ⅱ）经过点作直线交双曲线于， 两点，且为的中点，求直线的方程．‎ ‎【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) ‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（I）设双曲线方程为，由题意得，结合，可得，故可得， ，从而可得双曲线方程。（Ⅱ）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为，与双曲线方程联立消元后根据根与系数的关系可得，解得可得直线方程。‎ 试题解析：‎ ‎（I）由题意得椭圆的焦点为， ，‎ 设双曲线方程为，‎ 则，‎ ‎∵‎ ‎∴，‎ ‎∴ ，‎ 解得，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴ 双曲线方程为．‎ ‎（II）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为，即。‎ 由消去x整理得 ‎，‎ ‎∵直线与双曲线交于， 两点，‎ ‎∴，‎ 解得。‎ 设， ,‎ 则，‎ 又为的中点 ‎∴ ，‎ 解得．满足条件。‎ ‎∴ 直线，即.‎ 点睛：‎ 解决直线与双曲线位置关系的问题的常用方法是设出直线方程，把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系及整体代入的思想解题．当直线与双曲线有两个交点的时候，不要忽视消元后转化成的关于x(或y)的方程的（或）项的系数不为0，同时不要忘了考虑判别式，要通过判别式对求得的参数进行选择．‎ ‎20．已知曲线上的任意一点到点的距离与到直线的距离相等，直线过点，且与交于两点.‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）若为中点，求三角形的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由抛物线的定义进行求解；（2）利用点差法求出直线的的斜率和直线方程，再联立直线和抛物线方程，利用弦长公式、点到直线的距离公式和三角形的面积公式进行求解.‎ 试题解析：（1）设曲线上任意一点，‎ 由抛物线定义可知，曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线，‎ 所以曲线的方程为.‎ ‎（2）设，，则，，‎ 所以，‎ 因为为中点，所以，‎ 所以直线的斜率为，‎ 所以直线方程为，即，此时直线与抛物线相交于两点.‎ 设为与轴交点，则，‎ 由消去得，‎ 所以，，‎ 所以三角形的面积为.‎ ‎21．已知抛物线 过点，直线过点与抛物线交于两点，点关于轴的对称点为，连接.‎ ‎（1）求抛物线标准方程；‎ ‎（2）问直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）将点代入抛物线C的方程解得p即可得到抛物线标准方程；（2）设，利用点斜式写出直线的方程，再将直线AB方程与抛物线方程联立方程组，利用韦达定理化简直线的方程得，即证得直线是否过定点.‎ 试题解析：（1）将点代入抛物线C的方程得，，‎ 所以，抛物线C的标准方程为． ‎ ‎（2）设直线l的方程为，又设，则，‎ 由 得，则，‎ 所以， ‎ 于是直线的方程为， ‎ 所以，，‎ 当时，，所以直线过定点．‎ 点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.‎ ‎22．设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为.‎ ‎（1）当与轴垂直时，求直线的方程；‎ ‎（2）设为坐标原点，证明：.‎ ‎【答案】(1) AM的方程为或.‎ ‎(2)证明见解析.‎ ‎【解析】分析：(1)首先根据与轴垂直，且过点，求得直线l的方程为x=1，代入椭圆方程求得点A的坐标为或，利用两点式求得直线的方程；‎ ‎(2)分直线l与x轴重合、l与x轴垂直、l与x轴不重合也不垂直三种情况证明，特殊情况比较简单，也比较直观，对于一般情况将角相等通过直线的斜率的关系来体现，从而证得结果.‎ 详解：（1）由已知得，l的方程为x=1.‎ 由已知可得，点A的坐标为或.‎ 所以AM的方程为或.‎ ‎（2）当l与x轴重合时，.‎ 当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以.‎ 当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为，，‎ 则，直线MA，MB的斜率之和为.‎ 由得 ‎.‎ 将代入得 ‎.‎ 所以，.‎ 则.‎ 从而，故MA，MB的倾斜角互补，所以.‎ 综上，.‎ 点睛：该题考查的是有关直线与椭圆的问题，涉及到的知识点有直线方程的两点式、直线与椭圆相交的综合问题、关于角的大小用斜率来衡量，在解题的过程中，第一问求直线方程的时候，需要注意方法比较简单，需要注意的就是应该是两个，关于第二问，在做题的时候需要先将特殊情况说明，一般情况下，涉及到直线与曲线相交都需要联立方程组，之后韦达定理写出两根和与两根积，借助于斜率的关系来得到角是相等的结论.‎