2018届高三数学一轮复习： 第3章 第3节 三角函数的图象与性质

2018届高三数学一轮复习： 第3章 第3节 三角函数的图象与性质

第三节　三角函数的图象与性质 ‎ [考纲传真]　1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性．‎ ‎1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]图象的五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．‎ 余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]图象的五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．‎ ‎2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质 ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)常数函数f(x)＝a是周期函数，它没有最小正周期．(　　)‎ ‎(2)函数y＝sin x的图象关于点(kπ，0)(k∈Z)中心对称．(　　)‎ ‎(3)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数．(　　)‎ ‎(4)y＝sin |x|是偶函数．(　　)‎ ‎[答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√‎ ‎2．(2017·云南二次统一检测)函数f(x)＝cos的图象关于(　　)‎ A．原点对称　　　　　 B.y轴对称 C．直线x＝对称 D.直线x＝－对称 A　[函数f(x)＝cos＝－sin 2x是奇函数，则图象关于原点对称，故选A.]‎ ‎3．函数y＝tan 2x的定义域是(　　)‎ A. B. C. D. D　[由2x≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，‎ ‎∴y＝tan 2x的定义域为.]‎ ‎4．(2017·长沙模拟(一))函数y＝sin，x∈[－2π，2π]的单调递增区间是 ‎(　　)‎ A. B.和 C. D. C　[令z＝x＋，函数y＝sin z的单调递增区间为(k∈Z)，由2kπ－≤x＋≤2kπ＋得4kπ－≤x≤4kπ＋，而x∈[－2π，2π]，故其单调递增区间是，故选C.]‎ ‎5．(教材改编)函数f(x)＝4－2cos x的最小值是________，取得最小值时，x的取值集合为________．‎ ‎2　{x|x＝6kπ，k∈Z}　[f(x)min＝4－2＝2，此时，x＝2kπ(k∈Z)，x＝6kπ(k∈Z)，所以x的取值集合为{x|x＝6kπ，k∈Z}．]‎ 三角函数的定义域与值域 ‎　(1)(2016·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝cos 2x＋6cos的最大值为(　　)‎ A．4　　 B.5　‎ C.6　　 D.7‎ ‎(2)函数y＝lg(sin 2x)＋的定义域为________．‎ ‎(1)B　(2)∪　[(1)∵f(x)＝cos 2x＋6cos＝cos 2x＋6sin x ‎＝1－2sin2x＋6sin x＝－22＋，‎ 又sin x∈[－1,1]，∴当sin x＝1时，f(x)取得最大值5.故选B.‎ ‎(2)由得 ‎∴－3≤x＜－或0＜x＜，‎ ‎∴函数y＝lg(sin 2x)＋的定义域为∪.]‎ ‎[规律方法]　1.三角函数定义域的求法 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．‎ ‎2．求三角函数最值或值域的常用方法 ‎(1)直接法：直接利用sin x和cos x的值域求解．‎ ‎(2)化一法：把所给三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域．‎ ‎(3)换元法：把sin x，cos x，sin xcos x或sin x±cos x换成t，转化为二次函数求解．‎ ‎[变式训练1]　(1)已知函数y＝2cos x的定义域为，值域为[a，b]，则b－a的值是(　　)‎ A．2　　 B.3　‎ C.＋2　　 D.2－ ‎(2)求函数y＝cos2x＋sin x的最大值与最小值. ‎ ‎【导学号：01772113】‎ ‎(1)B　[∵x∈，∴cos x∈，故y＝2cos x的值域为[－2,1]，‎ ‎∴b－a＝3.]‎ ‎(2)令t＝sin x，∵|x|≤，∴t∈，3分 ‎∴y＝－t2＋t＋1＝－2＋，‎ ‎∴当t＝时，ymax＝，当t＝－时，ymin＝，7分 ‎∴函数y＝cos2x＋sin x的最大值为，最小值为.12分 三角函数的单调性 ‎　(1)(2017·洛阳模拟)已知ω＞0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D.(0,2]‎ ‎(2)函数f(x)＝sin的单调减区间为________．‎ ‎(1)A　(2)(k∈Z)　[(1)由＜x＜π得ω＋＜ωx＋＜πω＋，由题意知⊆，‎ 所以解得≤ω≤.‎ ‎(2)由已知函数为y＝－sin，欲求函数的单调减区间，只需求y＝sin的单调增区间即可．‎ 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，‎ 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.‎ 故所求函数的单调减区间为(k∈Z)．]‎ ‎[规律方法]　1.求三角函数单调区间的两种方法 ‎(1)求函数的单调区间应遵循简化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”．‎ ‎(2)求形如y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．若ω＜0，应先用诱导公式化x的系数为正数，以防止把单调性弄错．‎ ‎2．已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．‎ ‎[变式训练2]　(1)函数f(x)＝tan的单调递增区间是________．‎ ‎(2)若函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝________.‎ ‎ ‎ ‎【导学号：01772114】‎ ‎(1)(k∈Z)　(2)　[(1)由－＋kπ＜2x－＜＋kπ(k∈Z)，‎ 得－＜x＜＋(k∈Z)．‎ ‎(2)∵f(x)＝sin ωx(ω＞0)过原点，‎ ‎∴当0≤ωx≤，即0≤x≤时，y＝sin ωx是增函数；‎ 当≤ωx≤，即≤x≤时，y＝sin ωx是减函数．‎ 由f(x)＝sin ωx(ω＞0)在上单调递增，‎ 在上单调递减知，＝，∴ω＝.]‎ 三角函数的奇偶性、周期性、对称性 ‎☞角度1　奇偶性与周期性的判断 ‎　(1)(2014·全国卷Ⅰ)在函数：①y＝cos|2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos，④y＝tan中，最小正周期为π的所有函数为(　　)‎ A．②④ B.①③④‎ C．①②③ D.①③‎ ‎(2)函数y＝1－2sin2是(　　)‎ A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 ‎(1)C　(2)A　[(1)①y＝cos|2x|＝cos 2x，T＝π.‎ ‎②由图象知，函数的周期T＝π.‎ ‎③T＝π.‎ ‎④T＝.‎ 综上可知，最小正周期为π的所有函数为①②③.‎ ‎(2)y＝1－2sin2＝cos 2＝－sin 2x，所以f(x)是最小正周期为π的奇函数．]‎ ‎☞角度2　求三角函数的对称轴、对称中心 ‎　(2016·安徽江南十校3月联考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为4π，且对任意x∈R，都有f(x)≤f成立，则f(x)图象的一个对称中心的坐标是(　　)‎ A. B. C. D. A　[由f(x)＝sin (ωx＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝.因为f(x)≤f恒成立，所以f(x)max＝f，‎ 即×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，‎ ‎∴φ＝＋2kπ(k∈Z)，由|φ|＜，‎ 得φ＝，故f(x)＝sin.‎ 令x＋＝kπ(k∈Z)，‎ 得x＝2kπ－(k∈Z)，故f(x)图象的对称中心为(k∈Z)，当k＝0时，f(x)图象的一个对称中心的坐标为，故选A.]‎ ‎☞角度3　三角函数对称性的应用 ‎　(1)如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点中心对称，那么|φ|的最小值为(　　)‎ A.　　 B.　‎ C.　　 D. ‎(2)已知函数f(x)＝sin x＋acos x的图象关于直线x＝对称，则实数a的值为 ‎(　　)‎ A．－　　 B.－　‎ C.　　 D. ‎(1)A　(2)B　[(1)由题意得3cos ‎＝3cos＝3cos＝0，‎ ‎∴＋φ＝kπ＋，k∈Z，‎ ‎∴φ＝kπ－，k∈Z，取k＝0，得|φ|的最小值为.‎ ‎(2)由x＝是f(x)图象的对称轴，‎ 可得f(0)＝f，‎ 即sin 0＋acos 0＝sin＋acos，‎ 解得a＝－.]‎ ‎[规律方法]　1.对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点(x0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断．‎ ‎2．求三角函数周期的方法：‎ ‎(1)利用周期函数的定义．‎ ‎(2)利用公式：y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.‎ ‎(3)借助函数的图象．‎ ‎[思想与方法]‎ ‎1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0)的形式，再用换元法令t＝ωx＋φ，将其转化为研究y＝sin t的性质．‎ ‎2．求三角函数值域(最值)的常用方法：‎ ‎(1)将函数变形化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值)．‎ ‎(2)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求二次函数在区间上的值域(最值)问题．‎ ‎3．若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，则 ‎(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)；‎ ‎(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．‎ ‎[易错与防范]‎ ‎1．‎ 闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．‎ ‎2．求y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0)的单调区间，要注意ω的正负，只有当ω＞0时，才能将“ωx＋φ”整体代入相应单调区间．‎ ‎3．利用换元法求三角函数最值时，注意cos x(或sin x)的有界性．‎ ‎4．正、余弦函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形且最值点在对称轴上；正切函数的图象只是中心对称图形．‎