高中人教a版数学必修4：第一、二章 滚动测试 word版含解析

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第一、二章滚动测试 班级____ 姓名____ 考号____ 分数____ 本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟． 一、选择题：本大题共 12 题，每题 5 分，共 60 分．在下列各题的四个选项中，只有一 个选项是符合题目要求的． 1．设 A(1,2)，B(－2,5)，则|AB→|＝( ) A. 5 B. 29 C．3 2 D．4 答案：C 解析：AB→＝(－2,5)－(1,2)＝(－3,3)，∴|AB→|＝ －32＋32＝3 2. 2．如果函数 f(x)＝sin(2πx＋θ)(0<θ<2π)的最小正周期是 T，且当 x＝1 时取得最大值，那 么( ) A．T＝1，θ＝π 2 B．T＝1，θ＝π C．T＝2，θ＝π D．T＝2，θ＝π 2 答案：A 解析：T＝2π 2π ＝1，sin(2π＋θ)＝1，θ＝π 2. 3．已知 sin(α－π)＝2 3 ，且α∈ －π 2 ，0 ，则 tanα等于( ) A.2 5 5 B．－2 5 5 C. 5 2 D．－ 5 2 答案：B 解析：sin(α－π)＝－sinα＝2 3 ，∴sinα＝－2 3 ，cosα＝ 5 3 ，∴tanα＝－ 2 5 ＝－2 5 5 . 4．若角α的终边落在第三象限，则 cosα 1－sin2α ＋ 2sinα 1－cos2α 的值为( ) A．3 B．－3 C．1 D．－1 答案：B 解析：由角α的终边落在第三象限得 sinα<0，cosα<0， 故原式＝ cosα |cosα| ＋2sinα |sinα| ＝ cosα －cosα ＋ 2sinα －sinα ＝－1－2＝－3. 5．已知平面内三点 A(－1,0)，B(5,6)，P(3,4)，且AP→＝λPB→，则λ的值为( ) A．3 B．2 C.1 2 D.1 3 答案：B 解析：因为AP→＝λPB→，所以(4,4)＝λ(2,2)，所以λ＝2. 6．已知 sinα－cosα＝1 3 ，则 tanα＋ 1 tanα 等于( ) A.8 9 B.7 3 C.9 4 D.11 4 答案：C 解析：由 sinα－cosα＝1 3 可得(sinα－cosα)2＝1 9 ，即 1－2sinαcosα＝1 9 ，sinαcosα＝4 9 ，则 tanα ＋ 1 tanα ＝sinα cosα ＋cosα sinα ＝ 1 sinαcosα ＝9 4. 7．将函数 y＝f(x)的图象沿 x 轴向右平移π 3 个单位长度，再保持图象上的纵坐标不变，而 横坐标变为原来的 2 倍，得到的曲线与 y＝sinx 的图象相同，则 y＝f(x)是( ) A．y＝sin 2x＋π 3 B．y＝sin 2x－π 3 C．y＝sin 2x＋2π 3 D．y＝sin 2x－2π 3 答案：C 解析：将 y＝sinx 的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的一半，得到 y＝sin2x 的图象， 再沿 x 轴向左平移π 3 个单位，得到 y＝sin2 x＋π 3 ＝sin 2x＋2 3π 的图象． 8．设 i、j 是平面直角坐标系内 x 轴、y 轴正方向上的单位向量，且AB→＝8i＋4j，AC→＝ 6i＋8j，则△ABC 的面积等于( ) A．60 B．40 C．28 D．20 答案：D 解析：BC→＝AC→－AB→＝－2i＋4j，所以AB→⊥BC→. 所以 S△ABC＝1 2|AB→|·|BC→|＝1 2 82＋42· －22＋42＝20. 9．若函数 y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜π 2 ，x∈R)的部分图象如图所示，则函数表达式为 ( ) A．y＝－4sin π 8x＋π 4 B．y＝4sin π 8x－π 4 C．y＝－4sin π 8x－π 4 D．y＝4sin π 8x＋π 4 答案：A 解析：先确定 A＝－4，由 x＝－2 和 6 时 y＝0 可得 T＝16，ω＝π 8 ，φ＝π 4. 10．已知函数 f(x)＝ 3sinωx＋cosωx(ω>0)，y＝f(x)的图象与直线 y＝2 的两个相邻交点 的距离等于π，则 f(x)的单调递增区间是( ) A. kπ－ π 12 ，kπ＋5π 12 ，k∈Z B. kπ＋5π 12 ，kπ＋11π 12 ，k∈Z C. kπ－π 3 ，kπ＋π 6 ，k∈Z D. kπ＋π 6 ，kπ＋2π 3 ，k∈Z 答案：C 解析：本题主要考查三角函数的图象与性质．函数 f(x)＝2sin ωx＋π 6 的图象与直线 y＝ 2 的两个相邻交点就是函数 f(x)的两个最大值点，周期为π＝2π ω ，ω＝2，于是 f(x)＝2sin 2x＋π 6 . 由 2kπ－π 2 ≤2x＋π 6 ≤2kπ＋π 2 得，kπ－π 3 ≤x≤kπ＋π 6 ，故选 C. 11．设向量 a 与 b 的夹角为θ，定义 a 与 b 的“向量积”，a×b 是一个向量，它的模等 于|a×b|＝|a||b|sinθ，若 a＝(1， 3)，b＝(－ 3，－1)，则|a×b|＝( ) A. 3 B．2 C．2 3 D．4 答案：B 解析：∵cosθ＝ a·b |a|·|b| ＝－2 3 2×2 ＝－ 3 2 ，又θ∈[0，π]，∴sinθ＝ 1－cos2θ＝1 2 ，|a×b|＝ |a|·|b|sinθ＝2. 12．已知 a＝(λ，2)，b＝(－3,5)，且 a 与 b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是( ) A．λ<10 3 B．λ≤10 3 C．λ≤10 3 且λ≠－6 5 D．λ<10 3 且λ≠－6 5 答案：D 解析：由题可知 a·b＝－3λ＋10>0，λ<10 3 ，当 a 与 b 共线，且方向相同时，设 a＝(λ，2) ＝μ(－3,5)(μ>0)，∴ λ＝－3μ， 2＝5μ， 得λ＝－6 5 ，∴λ的取值范围是λ<10 3 且λ≠－6 5. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上． 13．设 f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋4(a，b，α，β是常数)，且 f(2009)＝5，则 f(2010) ＝________. 答案：3 解析：f(2009)＝αsin(π＋α)＋bcos(π＋β)＋4＝－(asinα＋bcosβ)＋4＝5 ∴asinα＋bcosβ＝－1.f(2010)＝asinα＋bcosβ＋4＝3. 14．已知 a＝(2,1)b＝(1，λ)，若 a 与 b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是________． 答案： －2，1 2 ∪ 1 2 ，＋∞ 解析：若 a 与 b 的夹角为锐角，则 cosθ>0 且 cosθ≠1.cosθ＝ a·b |a|·|b| ＝ 2＋λ 5· 1＋λ2 ∴λ>－2. 又 2＋λ≠ 5· 1＋λ2∴λ≠1 2 ∴λ的范围是λ>－2 且λ≠1 2. 15．函数 f(x)＝2sin ωx＋π 3 (x∈R)，f(α)＝－2，f(β)＝0，且|α－β|的最小值等于π 2 ，则正 数ω的值为________． 答案：1 解析：由 f(α)＝－2，f(β)＝0，且|α－β|的最小值等于π 2 可知T 4 ＝π 2 ，T＝2π，∴ω＝1. 16．如图，在正方形 ABCD 中，已知|AB→|＝2，若 N 为正方形内(含边界)任意一点，则AB→·AN→ 的最大值是________． 答案：4 解析：∵AB→·AN→＝|AB→||AN→|·cos∠BAN，|AN→|·cos∠BAN 表示AN→在AB→方向上的投影，又|AB→| ＝2，AB→·AN→的最大值是 4. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10 分)已知 sin(α＋π)＝4 5 ，且 sinα·cosα＜0，求：2sinα－π＋3tan3π－α 4cosα－3π 的值． 解：∵sin(α＋π)＝4 5 ∴sinα＝－4 5 ＜0. ∴cos2α＝1－sin2α＝1－16 25 ＝ 9 25 又 sinα·cosα＜0 ∴cosα＞0.∴cosα＝3 5. 原式＝ －2sinπ－α＋3sinπ－α cosπ－α 4·cosπ－α ＝ －2sinα＋ 3sinα －cosα －4·cosα ＝2sinα·cosα＋3sinα 4cos2α ＝ 2× －4 5 ×3 5 －4 5 ×3 4× 9 25 ＝－7 3. 18．(12 分)已知 f(x)＝sin x＋π 6 －tanα·cosx，且 f π 3 ＝1 2. (1)求 tanα的值； (2)求函数 g(x)＝f(x)＋cosx 的对称轴与对称中心． 解：(1)∵f π 3 ＝sin π 3 ＋π 6 －tanα·cosπ 3 ＝1－1 2tanα＝1 2 ，∴tanα＝1. (2)g(x)＝f(x)＋cosx＝sin x＋π 6 －cosx＋cosx＝sin x＋π 6 . ∴x＋π 6 ＝kπ＋π 2 ，即对称轴：x＝kπ＋π 3 ，k∈Z ∴x＋π 6 ＝kπ，即对称中心：kπ－π 6 ，0 ，k∈Z. 19．(12 分)设两个向量 a，b 不共线． (1)若AB→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→ ＝3(a－b)，求证：A、B、D 三点共线； (2)若 |a|＝2，|b|＝3，a、b 的夹角为 60°，求使向量 ka＋b 与 a＋kb 垂直的实数 k. 解：(1)AD→ ＝AB→＋BC→＋CD→ ＝a＋b＋2a＋8b＋3(a－b)＝6(a＋b)＝6AB→， ∴AD→ 与AB→共线，即 A、B、D 三点共线． (2)∵ka＋b 与 a＋kb 垂直， ∴(ka＋b)·(a＋kb)＝0，ka2＋(k2＋1)a·b＋kb2＝0， ka2＋(k2＋1)|a||b|·cos60°＋kb2＝0， 3k2＋13k＋3＝0， 解得：k＝－13± 133 6 . 20．(12 分)已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ) A>0，ω>0，|φ|<π 2 的部分图象如图所示． (1)求函数 f(x)的解析式； (2)求函数在区间[－2,4]上的最大值和最小值以及对应的 x 的值． 解：(1)由题可知 A＝ 2，T 2 ＝6－(－2)＝8，∴T＝16， ∴ω＝2π T ＝π 8 ，则 f(x)＝ 2sin π 8x＋φ . 又图象过点(2， 2)，代入函数表达式可得φ＝2kπ＋π 4(k∈Z)． 又|φ|<π 2 ，∴φ＝π 4 ，∴f(x)＝ 2sin π 8x＋π 4 . (2)∵x∈[－2,4]，∴π 8x＋π 4 ∈ 0，3π 4 ， 当 π 8x＋π 4 ＝π 2 ，即 x＝2 时，f(x)max＝ 2； 当 π 8x＋π 4 ＝0，即 x＝－2 时，f(x)min＝0. 21．(12 分)已知点 O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及OP→ ＝OA→ ＋tAB→， 求：(1)t 为何值时，P 在第二象限？ (2)四边形 OABP 能否构成平行四边形？若能，求出相应的值，若不能，请说明理由． 解：(1)∵OP→ ＝OA→ ＋tAB→＝(3t＋1,3t＋2)， ∴当－2 3

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