2018-2019学年浙江省宁波市北仑中学高二上学期期初返校考试数学试题（解析版）

2018-2019学年浙江省宁波市北仑中学高二上学期期初返校考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年浙江省宁波市北仑中学高二上学期期初返校考试数学试题 一、单选题 ‎1．在数列中，，则的值为（ ）‎ A． 49 B． 50 C． 51 D． 52‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：,数列是等差数列，通项为 ‎【考点】等差数列通项公式 ‎2．在三角形中，已知三边满足，则角的度数为 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题中等式，化简出，再根据余弦定理算出，结合三角形内角的范围即可算出角的大小．‎ ‎【详解】‎ ‎∵三角形中，已知三边满足 ‎∴，即.‎ 根据余弦定理可得.‎ ‎∵‎ ‎∴‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查余弦定理的运用.解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的，其基本步骤是：‎ 第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；‎ 第二步：定工具，根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的转换；‎ 第三步：求结果.‎ ‎3．在中，已知,则的值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正弦定理，将代入即可求得的值.‎ ‎【详解】‎ ‎∵在中，‎ ‎∴根据正弦定理可得，即.‎ ‎∴‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查用正弦定理解三角形，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解答本题的关键．‎ ‎4．不等式（其中）的解集为 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 原不等式可化为，由可得解集．‎ ‎【详解】‎ 将不等式分解因式可得.‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴不等式（其中）的解集为 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查一元二次不等式的解法，是基础题，解题时要认真审题，本题易错点在于题中已给出，需仔细解答.‎ ‎5．若函数，且a＞b＞c＞0，则、、的大小关系是 （　 ）‎ A． ＞＞ B． ＞＞‎ C． ＞＞ D． ＞＞‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把、、分别看作函数图象上的点，，与原点连线的斜率，对照图象即可得出结论.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得，、、分别看作函数图象上的点，，‎ 与原点连线的斜率，结合图象可知，当时，＞＞.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用对数函数的图象与直线斜率的关系，解答本题的关键是将转化为点与原点连线的斜率，体现了通过数形结合的数形思想在解题中的应用．‎ ‎6．已知、，从点射出的光线经直线反向后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设点关于轴的对称点，点关于直线：的对称点，由对称点可求得和的坐标，在利用入射光线上的点关于反射轴的对称点在反射光线所在的直线上，光线所经过的路程．‎ ‎【详解】‎ 设点关于轴的对称点，其坐标为，设点关于直线：的对称点.‎ ‎∴，解得.‎ ‎∴‎ ‎∴光线所经过的路程为 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求一个点关于直线的对称点的方法（利用垂直及中点在轴上），入射光线上的点关于反射轴的对称点在反射光线所在的直线上，把光线走过的路程转化为的长度，属于中档题．‎ ‎7．直角三角形三边成等比数列，公比为，则的值为 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意设直角三角形的三边分别为：，，，再分别讨论当时与当时，进而结合勾股定理得到三边的关系，即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 设直角三角形的三边分别为：，，.‎ ‎①当时，根据勾股定理可得：，整理可得，解得；‎ ‎②当时，根据勾股定理可得：，整理可得，解得.‎ 综上，的值为.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等比数列的性质，解题的关键是三个数成等比数列时期设法为，，，且考查了勾股定理以及分类讨论的数学思想的应用.‎ ‎8．设是等差数列前项的和，又，则的值为 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列的求和公式得到①的值，然后由题知②，①+②后利用项数相等的两项之和相等得到的值，再利用等差数列的前项和的公式，即可求出的值.‎ ‎【详解】‎ 根据等差数列的求和公式得到①，②.‎ 由等差数列的性质可知：.‎ ‎∴①+②得，即.‎ ‎∵‎ ‎∴‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等差数列的性质．解题的关键是利用等差数列中若，，，，且，则有的性质．‎ ‎9．不等式对于一切恒成立，那么的取值范围是 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由于二次项系数含有参数，故需分与两类讨论，特别是后者：对于对一切恒成立，有，求出的取值范围，再把结果并在一起.‎ ‎【详解】‎ 当，即时，原不等式即为，恒成立，即满足条件；　 当，时，对一切恒成立，有，解得.‎ 综上所述，的取值范围是.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 研究形如恒成立问题，注意先讨论的情况，再研究时的开口方向，判别式正负，对称轴与定义区间位置关系，列不等式组解得结果.‎ ‎10．有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过39，则该塔形中正方体的个数至少是 ( ) ‎ A． 4； B． 5； C． 6； D． 7；‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据相邻正方体的关系得出个正方体的棱长为等比数列，求出塔形表面积的通项公式，令，即可得出的范围．‎ ‎【详解】‎ 设从最底层开始的第层的正方体棱长为，则是以2为首项，以为公比的等比数列.‎ ‎∴是以4为首项，以为公比的等比数列 ‎∴塔形的表面积为.‎ 令，解得.‎ ‎∴塔形正方体最少为6个.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 此题考查了立体图形的表面积问题以及等比数列求和公式的应用．解决本题的关键是得到上下正方体的棱长之间的关系，从而即可得出依次排列的正方体的一个面的面积，这里还要注意把最下面的正方体看做是6个面之外，上面的正方体都是露出了4个面．‎ 二、填空题 ‎11．（1）在等差数列中， ，则的值_________；‎ ‎（2）在等比数列中，，则____．‎ ‎【答案】（1）15；（2）12.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用等差数列的性质，即即可得出；（2）根据等比数列的性质可知，，也成等比数列，进而根据等比中项的性质可求得答案．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵‎ ‎∴根据等差数列的性质可得 ‎∴‎ ‎（2）∵数列为等比数列， ∴，，也成等比数列 ‎∴‎ 故答案为（1）15；（2）12.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等差数列及等比数列的性质．经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法，性质是两种数列基本规律的深刻提现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用，但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形.‎ ‎12．（1）已知，，则的最小值是_____________；‎ ‎（2）已知，则函数的最小值是______．‎ ‎【答案】（1）2；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）通过基本不等式求解最小值即可；（2）将转化成，然后利用基本不等式可求出最小值，注意等号成立的条件.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵，‎ ‎∴，当且仅当，即，时取等号.‎ ‎（2）∵‎ ‎∴=，当且仅当 时等号成立.‎ ‎∵，‎ ‎∴必存在等号成立的条件，则.‎ 故答案为（1）2；（2）.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查基本不等式的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.‎ ‎13．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边长分别为a，b，c．若sinA:sinB:sinC=5:7:8，则a:b:c=________， ∠B的大小是____________．‎ ‎【答案】5:7:860°‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先通过正弦定理求出，，的关系，设，，，代入余弦定理，求出的值，进而求出∠B.‎ ‎【详解】‎ ‎∵‎ ‎∴由正弦定理得 设，，，由余弦定理可得.‎ ‎∵‎ ‎∴‎ 故答案为（1）；（2）.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．解三角形的问题时，要灵活运用这两个定理．‎ ‎14．直线与圆交于、两点，且、关于直线对称，则弦_________．‎ ‎【答案】4.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由直线与圆两交点、关于对称，得到圆心在上，且直线的斜率为1，求出的值，由圆的方程找出圆心坐标，代入中，求出的值，确定出圆的方程，找出圆心坐标与半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再利用垂径定理及勾股定理即可求出弦的长．‎ ‎【详解】‎ ‎∵直线与圆的两交点、关于直线对称 ‎∴直线的斜率为1，且圆心在直线上 ‎∴，圆心在直线上，即.‎ ‎∴，‎ ‎∴圆的方程为，直线方程为.‎ ‎∴圆心到直线的距离为，.‎ ‎∴弦 故答案为4.‎ ‎【点睛】‎ 此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：圆的标准方程，垂径定理，勾股定理，以及点到直线的距离公式，当直线与圆相交时，常常根据垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．‎ ‎15．不等式的解集为__________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由不等式可得或，即可得出结论.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得或.‎ ‎∴或 ‎∴不等式的解集为 故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查无理不等式的解法，提现了等价转化的思想，解答本题时，容易出错处是．‎ ‎16．关于方程表示的圆,下列叙述中:①关于直线对称；②其圆心在轴上；③过原点；④半径为.其中叙述正确的是_________（要求写出所有正确命题的序号）‎ ‎【答案】①，③‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知得圆心坐标为，半径为，对各项分别加以分析判断，即可得到正确答案．.‎ ‎【详解】‎ ‎∵方程表示的圆 ‎∴圆心坐标为，半径为 对于①，圆心坐标满足直线，即圆心在直线上，则圆关于直线对称，故①正确；‎ 对于②，若圆心在轴上，则，与方程表示圆矛盾，故②不正确；‎ 对于③，将点代入圆的方程，满足等式，故③正确；‎ 对于④，半径为，故④错误.‎ 故答案为①，③.‎ ‎【点睛】‎ 本题给出含有字母参数的圆方程，判断几个命题的真假．着重考查了圆的标准方程、圆的对称轴、圆心位置的判断，解题时要认真审题，解答本题的关键是正确求得圆心坐标和圆半径．‎ ‎17．定义：若存在常数，使得对定义域内的任意两个，均有 成立，则称函数在定义域上满足利普希茨条件.若函数满足利普希茨条件，则常数的最小值为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由已知中利普希茨条件的定义，若函数满足利普希茨条件，所以存在常数，使得对定义域内的任意两个，均有成立，不妨设，则.而，所以的最小值为.故选C.‎ ‎【考点】1. 利普希茨条件；2.利用函数的单调性求值域；恒成立问题.‎ 三、解答题 ‎18．已知、、为的三内角，且其对边分别为、、，若．‎ ‎（1）求角的大小； ‎ ‎（2）若，求的面积．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）已知等式左边利用两角差的余弦函数公式化简，求出的值，确定出 的度数，即可求出的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将与的值代入求出的值，再由的值，利用三角形面积公式即可求出三角形的面积.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)∵cosBcosC－sinBsinC＝， ∴cos(B＋C)＝.‎ ‎∵A＋B＋C＝π，∴cos(π－A)＝.∴cosA＝－.‎ 又∵0

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