【数学】2020届一轮复习人教A版第60课数列的概念及简单表示作业（江苏专用）

【数学】2020届一轮复习人教A版第60课数列的概念及简单表示作业（江苏专用）

随堂巩固训练(60)‎ ‎ 1. 数列，－，，－，…的第10项是　－　.‎ 解析：由题意得，数列{an}的通项公式an＝(－1)n＋1·，故a10＝－. ‎ ‎ 2. 若an＝，则数列{an}是　递增　数列.(填“递减”“递增”或“常”)‎ 解析：设f(n)＝，则f′(n)＝>0，所以函数f(n)在n∈N*上单调递增，所以数列{an}是递增数列. ‎ ‎ 3. 若an＝n2＋λn＋3(其中λ为实常数)，n∈N*，且数列{an}为单调递增数列，则实数λ的取值范围是　(－3，＋∞)　.‎ 解析：方法一(函数观点)：因为数列{an}为单调递增数列，所以an＋1＞an，即(n＋1)2＋λ(n＋1)＋3＞n2＋λn＋3，化简为λ＞－2n－1对一切n∈N*恒成立，所以λ＞－3.‎ 方法二(数形结合法)：因为数列{an}为单调递增数列，所以a1＜a2，要保证a1＜a2成立，二次函数f(x)＝x2＋λx＋3的对称轴x＝－应位于1和2中点的左侧，即－＜，即λ＞－3. ‎ ‎ 4. 已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝　n　.‎ 解析：因为an＝n(an＋1－an)，所以＝，所以an＝···…···a1＝×××…×××1＝n，故数列{an}的通项公式为an＝n.‎ ‎ 5. 若数列{an}满足a1＝2，a2＝3，an＝(n≥3且n∈N*)，则a2 018＝　3　.‎ 解析：由题意得a3＝＝，a4＝＝，a5＝＝，a6＝＝，a7＝＝2，a8＝＝3，所以数列{an}具有周期性，T＝6，所以a2 018＝a336×6＋2＝a2＝3.‎ ‎ 6. 已知数列{an}满足an＋an＋1＝(n∈N*)，a2＝2，Sn是数列{an}的前n项和，则S21＝　　Ｗ.‎ 解析：因为an＋an＋1＝，a2＝2，所以an＝所以S21＝11×＋10×2＝. ‎ ‎ 7. 在数列{an}中，已知a1＝1，a2＝2，an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，则a7＝　1　.‎ 解析：由已知an＋1＝an＋an＋2，a1＝1，a2＝2，能够计算出a3＝1，a4＝－1，a5＝－2，a6＝－1，a7＝1.‎ ‎ 8. 已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝2an－n，则an＝　2n－1　.‎ 解析：当n＝1时，S1＝a1＝2a1－1，则a1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－n－2an－1＋(n－1)，即an＝2an－1＋1，所以an＋1＝2(an－1＋1)，所以数列{an＋1}是首项为a1＋1＝2，公比为2的等比数列，所以an＋1＝2·2n－1＝2n，所以an＝2n－1.‎ ‎ 9. 对于数列{an}，定义数列{bn}满足bn＝an＋1－an(n∈N*)，且bn＋1－bn＝1 (n∈N*)，a3‎ ‎＝1，a4＝－1，则a1＝　8　.‎ 解析：因为b3＝a4－a3＝－1－1＝－2，所以b2＝a3－a2＝b3－1＝－3，所以b1＝a2－a1＝b2－1＝－4，三式相加可得a4－a1＝－9，所以a1＝a4＋9＝8.‎ ‎10. 已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，则该数列{an}的前2 019项的乘积a1·a2·a3·…·a2 019＝　3　Ｗ.‎ 解析：由题意得a2＝＝－3，a3＝＝－，a4＝＝，a5＝＝2＝a1，所以数列{an}是以4为周期的数列，2 019＝4×504＋3，a1a2a3a4＝1，所以前2 019项的乘积为1504·a1a2a3＝3.‎ ‎11. 已知Sn为正项数列{an}的前n项和，且满足Sn＝a＋an(n∈N*).‎ ‎(1) 求a1，a2，a3，a4的值；‎ ‎(2) 求数列{an}的通项公式.‎ 解析：(1) 由题意得，a1＝a＋a1，‎ 解得a1＝1，‎ S2＝a1＋a2＝a＋a2，解得a2＝2.‎ 同理，a3＝3，a4＝4.‎ ‎(2) Sn＝＋a，①‎ 当n≥2时，Sn－1＝＋a，②‎ ‎①－②得(an－an－1－1)(an＋an－1)＝0.‎ 由于an＋an－1≠0，所以an－an－1＝1，‎ 又由(1)知a1＝1，故数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，故an＝n. ‎ ‎12. 已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，数列{bn}满足bn＝，且前n项和为Tn，设cn＝T2n＋1－Tn.‎ ‎(1) 求数列{bn}的通项公式；‎ ‎(2) 判断数列{cn}的单调性.‎ 解析：(1) 由题意得a1＝2，‎ an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)，‎ 所以an＝ 所以bn＝ ‎(2) 因为cn＝T2n＋1－Tn＝bn＋1＋bn＋2＋…＋b2n＋1＝＋＋…＋，‎ 所以cn＋1－cn＝＋－＝－＝<0，‎ 所以数列{cn}是递减数列. ‎ ‎13. 设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝a(a≠3)，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*.‎ ‎(1) 设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式；‎ ‎(2) 若an＋1≥an，n∈N*，求a的取值范围.‎ 解析：(1) 依题意，Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，‎ 即Sn＋1＝2Sn＋3n，则Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)，‎ 即bn＋1＝2bn.‎ 又b1＝S1－3＝a－3，‎ 所以bn＝(a－3)·2n－1，n∈N*. ‎ ‎(2) 由(1)知Sn＝3n＋(a－3)2n－1，n∈N*，‎ 所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n＋(a－3)·2n－1－3n－1－(a－3)·2n－2＝2×3n－1＋(a－3)·2n－2，‎ 当n＝1时，a1＝a不适合上式，‎ 故an＝ 当n≥2时，an＋1－an＝4×3n－1＋(a－3)2n－2＝2n－2.‎ 若an＋1≥an，则12＋a－3≥0，解得a≥－9.‎ 又a2＝a1＋3>a1且a≠3，‎ 综上，a的取值范围是[－9，3)∪(3，＋∞). ‎