江苏省宿州市2019届高三第一次教学质量检测参考答案——数学（文科）

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淮北·宿州 2019 届高三一模考试试题 数学（文科）参考答案 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B A A B C B A C A D B 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分. 13. 2 14. 1 3 15. 11 16.0, 2 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（Ⅰ）设数列{ }na 的首项为 1a ，公差为 d ，由题意可知： 2 5 2 3 1 13 28a S a a a    ，------2 分 所以 1 2 1 1 1 6 11 28 ( 2 ) ( 12 ) a d a d a a d       ，--------------------------------------------3 分 解得 1 1 2 a d    ，故 2 1na n  .------------------------------------------------5 分 （Ⅱ）由（1）可知 1 1 1 1 1 1( )(2 1)(2 1) 2 (2 1) (2 1)n n n b a a n n n n        ，-------7 分 所以 1 2 3n nT b b b b     1 1 1 1 1 1 1 1[(1 ) ( ) ( ) ( )]2 3 3 5 5 7 2 1 2 1n n           1 1(1 )=2 2 1 2 1 n n n     .-----------------------------------------10 分 18.（Ⅰ）根据 m n  可知， 3 cos (2 3 )cosa B c b A  ----------------------2 分 根据正弦定理可得 3sin cos (2sin 3sin )cosA B C B A  2sin cos 3sin cosC A B A  ，-------------------------3 分 所以 3(sin cos sin cos ) 2sin cosA B B A C A  ， 即 3sin( ) 2sin cosA B C A  ,所以 3sin 2sin cosC C A ，------------5 分 由 , ,A B C 是 ABC 内角，所以 3cos = 2A ， = 6A  .-----------------------6 分 （Ⅱ）由 2, 2 3, 6a b A    ，可知 sinb A a b  ，故 ABC 有两解，-----7 分 由余弦定理可得 2 2 2 2 cosa b c bc A   ，------------------------------8 分 所以 2 6 8 0c c   ，解得 2c  或 4 ，-----------------------------10 分 故面积 1= sin 32ABCS bc A  或 2 3 .----------------------------------12 分 19.（Ⅰ）y 与 x 是正相关------------------2 分 （Ⅱ） 1 2 1 ( )( ) ( ) n i i i n i i x x y y b x x         =39，-----------------6 分 78543.a y bx    ----------------8 分 线性回归方程为： 5 339 78 4y x  --------------------------------9 分 （Ⅲ）令 2019x  ，则 198y  .所以根据线性回归方程，估计 2019 年手机支付金额是 198 万元.---------------12 分 20.（Ⅰ）证明：连接 AC ，设 AC BD O ＝ ， ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形，则O 为 AC 的中点． 在 ACF 中， F 为 AE 的中点， ∴ / /OF CE ，---------------------------------------------------4 分 又CE  平面 BDF ，OF 平面 BDE ，∴ / /CE 平面 BDF .----------6 分 （Ⅱ）∵ 平面 ABCD ⊥平面 ABE ，平面 ABCD  平面 ABE AB ， 在平面 ABE 内过 F 作 FH 垂直 AB 于 H ， ∴ FH ⊥平面 ABCD ,------------------------------------------ 8 分 又∵ F 是 AE 中点，∴ 21 3 1 22FH    , ∴ 1 3 62 22 2 2BCDS      -------------------------------------10 分 ∴ 1 1 6 323 3 2 3D BCF F BCD BCDV V S FH          .-------------12 分 21. (Ⅰ) 由题意可知：C 上任意一点 ( , )M x y 到定点 (2,0)F 的距离与它到直线 2x   的距 离相等.  2 42 p p     抛物线C 的方程为 y2＝8x.-------------------4 分 (Ⅱ)设直线 AB 的方程为 x＝ty＋2，A 2 1 1( , )8 y y ，B 2 2 2( , )8 y y ， 则 lOA： 1 8y xy  ，lOB： 2 8y xy  . 由 1 8 2 y xy x      得 1 16( 2, )M y  ，同理得 2 16( 2, )N y  由 2 2 8 x ty y x     ，得 y2－8ty－16＝0，∴y1y2＝-16.-------------------8 分 ∴ 1 2 16 16( 4, ), ( 4, )FM FNy y       ，则 1 2 1 2 1 2 16 16 16 16( 4, ) ( 4, ) ( 4) ( 4) ( ) ( ) 16 1616 FM FN y y y y y y                    -------------10 分 则 1 2 16 16 16 1616 16 016FM FN y y           因此，以线段 MN 为直径的圆经过点 F.-------------12 分 22.（Ⅰ）由题设可知， ( )f x 的定义域为 R ， 1( ) x xf x e   ，令 ( ) 0f x  ，解得 1x  ． 当 1x  时， ( ) 0f x  ， ( )f x 单调递增；当 1x  时， ( ) 0f x  ， ( )f x 单调递减． 所以 ( )f x 的单调递增区间为 ( ,1) ， ( )f x 的单调递减区间为 (1, ) ．------4 分 （Ⅱ）函数 ( )g x 有两个零点 1 2,x x 等价于方程 x xa e  有两个不等实根 1 2,x x ，也等价于函 数 y a 与 ( )y f x 的图象有两个交点．------------------------------------5 分 由（1）可知， ( )f x 在 ( ,1) 递增，在 (1, ) 递减．且当 0x  时， ( ) 0f x  ；当 0x  时， ( ) 0f x  ，故 1 20 1x x   ，所以 1 2 0x x  ．------------------------7 分 欲证 1 2 1x x  ，只需证 1 2 1x x  ，因为 1 2 1, (0,1)x x  ，故只需证 1 2 1( ) ( )f x f x  ， 又 1 2( ) ( )f x f x ，故只需证明 2 2 1( ) ( )f x f x  ，------------------------9 分 即证 2 2 2 2 1 1 x x x x e e  ，即 2 2 1 2 2 1x xx e ex    ，两边取对数可得 2 2 2 2 1ln lnx x xx     ，即 只需证明 2 2 2 12ln 0x xx    ．------------------------------------------10 分 设 1( ) 2lnh x x xx    ，其中 1x  ．则 2 2 2 2 1 ( 1)( ) 1 0xh x x x x        ， 所以 ( )h x 在在 (1, ) 递减，又 (1) 0h  ，所以 ( ) 0h x  ， 所以 1 20 1x x  ．-----------------------------------------------12 分