2020届二轮复习函数的最值与值域（理）学案（全国通用）

2020届二轮复习函数的最值与值域（理）学案（全国通用）

函数的最值与值域 ‎【考纲要求】‎ ‎1. 会求一些简单函数的定义域和值域；‎ ‎2. 理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；‎ ‎3. 会运用函数图象理解和研究函数的性质．‎ ‎4. 在某些实际问题中，会建立不等式求参数的取值范围，以及求最大值和最小值.‎ ‎【知识网络】‎ 函数的最值与值域 函数的值域 函数的最大值 函数的最小值 ‎【考点梳理】‎ 考点一、函数最值的定义 ‎1.最大值：如果对于函数定义域内的任意一个自变量，存在，使得成立，则称是函数的最大值．‎ 注意：下面定义错在哪里？应怎样订正．‎ 如果对于函数定义域内的任意一个自变量，都有，则称是函数的最大值．‎ ‎2.最小值的定义同学们自己给出．‎ 考点二、函数最值的常用求法 ‎1.可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围．‎ ‎2.判别式法：主要适用于可化为关于的二次方程，由（要注意二次项系数为0的情况）求出函数的最值，要检验这个最值在定义域内是否有相应的的值．‎ ‎3.换元法：很多含根式的函数的最值的求法经常用到换元法来求．常用的换元有———三角代换，整体代换．‎ ‎4.不等式法：利用均值不等式求最值．‎ ‎5.利用函数的性质求函数的最值 ‎6.含绝对值的函数或分段函数的最值的求法 ‎7.利用导数求函数的最值。‎ 要点诠释：‎ ‎(1)求最值的基本程序：求定义域、求导数、求导数的零点、列表、根据表比较函数值大小给出最值；‎ ‎(2)一些能转化为最值问题的问题:‎ 在区间D上恒成立函数 在区间D上恒成立函数 在区间D上存在实数使函数 在区间D上存在实数使函数 ‎【典型例题】‎ 类型一、通过转化或换元的方法求解函数的值域或最值 例1.求函数的最值．‎ ‎【解析】‎ ‎ ‎ 令（注意的范围），这样所求函数就变为二次函数．‎ ‎【总结升华】当式子中同时出现和时，都可以化为二次式．‎ 举一反三：‎ ‎【变式】求函数的值域．‎ 解：平方再开方，得 类型二、函数值的大小比较，求函数值域，求函数的最大值或最小值 例2. 求下列函数值域：‎ ‎(1)； 1)x∈[5，10]； 2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)；‎ ‎(2)y=x2-2x+3；　 1)x∈[-1，1]； 2)x∈[-2，2].‎ ‎【解析】 (1)2个单位，‎ 再上移2个单位得到，如图 ‎1)f(x)在[5，10]上单增，；‎ ‎2)；‎ ‎(2)画出草图 ‎1)y∈[f(1)，f(-1)]即[2，6]；‎ ‎2).‎ 举一反三：‎ ‎【变式】已知函数.‎ ‎(1)判断函数f(x)的单调区间；‎ ‎(2)当x∈[1，3]时，求函数f(x)的值域.‎ ‎【解析】‎ ‎(1)‎ 上单调递增，在上单调递增；‎ ‎(2)故函数f(x)在[1，3]上单调递增 ‎∴x=1时f(x)有最小值，f(1)=-2‎ x=3时f(x)有最大值 ‎∴x∈[1，3]时f(x)的值域为.‎ 类型三、含参类函数的最值与值域问题 例3.（2018 保定模拟）若函数在区间上的值域为，则 . ‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】记 为奇函数，函数图像关于原点对称.‎ 函数在区间上的最大值记为a,(a>0),则函数在区间上的最小值为-a 即即 故选D.‎ 举一反三：‎ ‎【变式】已知函数，若关于x的方程有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________.‎ ‎【解析】单调递减且值域(0,1]，单调递增且值域为，由图象知，若有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（0,1）.‎ 类型四、抽象函数的最值与值域问题 例4.若函数的值域是，则函数的值域是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】令，则，‎ 举一反三：‎ ‎【变式】设函数则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵， ∴.‎ 类型五：函数、导数、不等式知识在最值方面的综合应用 例5. （2017 全国新课标Ⅱ）(Ⅰ)讨论函数的单调性，并证明当时，； ‎ ‎(Ⅱ)证明：当时，函数有最小值.设的最小值为 ‎，求函数的值域．‎ ‎【解析】（Ⅰ）的定义域为.‎ 且仅当时，，所以在单调递增，‎ 因此当时，‎ 所以 ‎(Ⅱ)‎ 由（Ⅰ）知，单调递增，对任意 因此。存在唯一，使得，即，‎ 当时，单调递减；‎ 当时，单调递增。‎ 因此在处取得最小值，最小值为 于是由单调递增，‎ 所以，由得，‎ 因为单调递增，对任意存在唯一的 使得所以的值域是 综上，当时，有，的值域是 ‎【总结升华】本题重点考查函数的导数，函数，函数极值的判定，给定区间上二次函数的最值等基础知识的综合运用，考查数形结合的数学思想分析问题，解决问题的能力.‎ 举一反三：‎ ‎【变式】设函数（为常数，是自然对数的底数）.‎ ‎(I)当时，求函数的单调区间；‎ ‎(II)若函数在内存在两个极值点，求的取值范围.‎ ‎【解析】(I) 的定义域为，‎ 当时，，‎ 令则，‎ 当时，，单调递减.‎ 当时，，单调递增.‎ 的单调递减区间为，的单调递增区间为.‎ ‎(II)由(I)知，时，函数在内单调递减，‎ 故在内不存在极值点.‎ 当时，设函数.‎ 当时，当时，，单调递增，故在内不存在两个极值点.‎ 当时，得：‎ ‎ 时，，函数单调递减,‎ 时，，函数单调递增,‎ 的最小值为 函数在内存在两个极值点 解得 综上所述函数在内存在两个极值点时，的取值范围为：.‎ 类型六：函数、不等数与数列知识在最值方面的综合应用 例6.设数列的前项和为，点均在函数的图像上.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，是数列的前项和，求使得对所有都成立的最小正整数.‎ ‎【解析】（I）依题意得，即.‎ 当时，;‎ 当时，.‎ 所以.‎ ‎（II）由（I）得，‎ 故.‎ 因此，使得成立的必须满足，即,‎ 故满足要求的最小整数为10.‎ ‎【总结升华】与数列知识结合的函数、不等式,解题时往往以不等式和数列知识结合为工具, 结合函数知识,通过计算和推理来解决问题.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】已知函数f(x)=a1x+a2x2+…+anxn(n∈N*)，且a1，a2，a3，…，an构成数列{an}，又f(1)=n2．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）求证：．‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由题意：f(1)=a1+a2+…+an=n2，(n∈N*)‎ n=1时，a1=1‎ n≥2时，an=(a1+a2+…+an)-(a1+a2+…+an-1)=n2-(n-1)2=2n-1‎ ‎∴对n∈N*总有an=2n-1,‎ 即数列{an}的通项公式为an=2n-1.‎ ‎(2)‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎【变式2】已知数列的首项，，．‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）证明：对任意的，，；‎ ‎（Ⅲ）证明：．‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ），，，‎ 又，是以为首项，为公比的等比数列．‎ ‎，．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，‎ ‎，‎ 原不等式成立．‎ ‎【另解】设，‎ 则 ‎，当时，；当时，，‎ 当时，取得最大值．‎ 原不等式成立．‎ 由（Ⅱ）知，对任意的，有 ‎． ‎ 令，‎ 则，‎ ‎．‎ 原不等式成立．‎ 类型五：解析几何在最值方面的综合应用 例7．设A（0，0），B（4，0），C（t+4，4），D（t，4）（t∈R）．记N（t）为平行四边形ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数N（t）的值域为（ ）‎ A．{9，10，11} B．{9，10，12} C．{9，11，12} D．{10，11，12}‎ ‎【解析】当t≠0时，直线AD的方程为，‎ 分别与直线y=1，y=2，y=3交于点，。‎ 同理直线BC的方程为分别与直线y=1，y=2，y3交于点 ‎，，。‎ 此时当时，直线y=1，y=2，y=3在平等四边形ABCD内部的线段上各有4个整点，‎ 故此时N（t）=12；‎ 当时，直线y=1，y=2在平行四边形ABCD内部的线段上各有4个整点，‎ 而直线y=3在平行四边形ABCD内部的线段上只有3个整点，‎ 此时N（t）=11。同理可得当时，N（t）=12；‎ 当时，N（t）=11。‎ 综上得 ，其中k∈Z）。‎ 故选C。‎ ‎【答案】C 当t=0时，平行四边形ABCD为正方形，不含边界的整点个数为9个。‎ ‎【变式2】设直线x=t与函数，的图像分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（ ）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【答案】D 如图，，令，‎ ‎∵，∴易知时，；‎ 时，。‎ 于是可判断当时，|MN|取得小值。‎