内蒙古包头市2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题

内蒙古包头市2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题

‎2018—2019学年度高一年级第一学期期末教学质量检测试卷数学 第Ⅰ卷 一､选择题(共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.)‎ ‎1.已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据阴影部分区域所表示的集合的意义得出结果.‎ ‎【详解】由图可知，阴影部分区域所表示的集合为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查韦恩图表示集合，同时也考查了集合的运算，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎2.下列各函数中，与表示同一函数的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分析出函数的定义域，根据定义域相同、对应关系相同的两个函数相等可得出正确选项.‎ ‎【详解】函数的定义域为.‎ 函数的定义域为，与函数不是同一函数；‎ 函数，与函数的对应关系不相同，这两个函数不是同一函数；‎ 函数的定义域为，与函数不是同一函数；‎ 函数，定义域为，与函数的定义域和对应关系都相同，两个函数为同一函数.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查函数相等的判断，一般要求函数的定义域和对应关系都相同，考查推理能力，属于基础题.‎ ‎3.若函数是函数的反函数，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由题意知，因此，故选B.‎ 考点：1.反函数；2.对数的运算 ‎4.已知平面向量，，则向量（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用平面向量坐标的线性运算法则可得出的坐标.‎ ‎【详解】，，，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查平面向量坐标的线性运算，解题的关键就是利用平面向量坐标的运算律，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎5.已知半径为的圆上，有一条弧的长是，则该弧所对的圆心角的弧度数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据扇形的弧长公式可计算出该扇形圆心角的弧度数.‎ ‎【详解】由扇形的弧长公式可知，该扇形圆心角的弧度数为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查扇形圆心角的计算，考查扇形弧长公式的应用，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎6.为了得到函数的图象，可以将函数的图象 A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将函数变形，再利用三角函数的图象的平移方法，即可得到结论．‎ ‎【详解】∵函数， ∴为了得到函数的图象，可以将函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查三角函数图象的平移与伸缩变换，注意先伸缩后平移时x的系数，属于基础题．‎ ‎7.已知函数的部分图象如图所示，则（　　）‎ A. ， B. ， C. ， D. ，‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 结合图象，是个周期，故，‎ 故，而，解得：‎ 故选A．‎ ‎8.已知向量，点，，则向量在方向上的投影为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件求出向量的坐标，然后根据投影的定义求解即可得到结果．‎ ‎【详解】∵点，，‎ ‎∴，．‎ 又，‎ ‎∴，‎ ‎∴向量在方向上的投影为．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量在另一个向量方向上投影的定义，解题时根据投影的定义求解即可，解题的关键是熟记投影的定义，注意向量坐标的运用，属于基础题．‎ ‎9.在中，为边上的中线，为的中点，则( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出图象，先将用和表示，然后利用平面向量减法的三角形法则可将用和表示.‎ ‎【详解】如下图所示：‎ ‎，‎ 为的中点，.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查利用基底表示向量，考查了平面向量加法与减法的三角形法则的应用，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎10.已知，，，则、、的大小关系为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用幂函数的单调性得出、、的大小关系，利用对数函数的单调性得出与的大小关系，由此可得出、、三个数的大小关系.‎ ‎【详解】幂函数在上为增函数，则，即；‎ 对数函数在上为增函数，则.‎ 因此，.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查指数式和对数式的大小比较，一般利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性结合中间值法来比较，考查推理能力，属于基础题.‎ ‎11.已知偶函数在区间上单调递增，则满足的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用偶函数的性质将所求不等式变形为，利用该函数在区间上的单调性得出，然后利用绝对值不等式的解法和对数函数的单调性可求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】由于函数是偶函数，由，得，‎ 又函数在区间上为增函数，所以，，‎ 即或，解得或.‎ 因此，所求的的取值范围是.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用函数的奇偶性与单调性解不等式，同时也涉及了对数函数单调性的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎12.已知函数，其中为实数，若，则的单调递增区间是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可求出的表达式，并化简函数的表达式为，解不等式即可得出函数的单调递增区间.‎ ‎【详解】由题意可得，得，‎ ‎，所以，，，‎ 解不等式，解得，‎ 因此，函数的单调递增区间为.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查正弦型函数参数的求解，同时也考查了正弦型函数单调区间的求解，考查运算求解能力，属于中等题.‎ 第Ⅱ卷 二､填空题(共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡上对应题的横线上.)‎ ‎13.______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用指数、对数的运算性质计算出所求代数式的值.‎ ‎【详解】原式.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查对数式和指数式的计算，考查对数和指数运算性质的应用，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎14.若平面向量满足,则向量与的夹角为____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 设向量与夹角为.‎ ‎.‎ 解得，所以.‎ 故答案为为：.‎ ‎15.已知，______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在所求分式分子和分母中同时除以，将分式变形为只含的代数式，然后代值计算即可.‎ ‎【详解】.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查正、余弦齐次式的计算，考查弦化切思想的应用，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎16.已知函数，若函数有且只有个零点，则实数的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由得出，将函数的零点个数转化为函数与函数图象的交点个数，利用数形结合思想可得解.‎ ‎【详解】由得出，则函数的零点个数等于函数与函数图象的交点个数，如下图所示：‎ 当时，，‎ 如上图所示，当或时，函数与函数图象有且只有个交点，‎ 因此，实数的取值范围是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用函数零点个数求参数的取值范围，一般转化为两个函数图象的交点个数，利用数形结合思想求解，考查化归与转化思想以及数形结合思想的应用，属于中等题.‎ 三､解答题(共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤)‎ ‎17.已知平面向量，．‎ ‎（1）若与垂直，求；‎ ‎（2）若，求．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据垂直数量积为0求解即可.‎ ‎(2)根据平行的公式求解,再计算即可.‎ ‎【详解】解：（1）由已知得,,解得或．‎ 因为,所以．‎ ‎（2）若,则,所以或．‎ 因为,所以．所以,所以．‎ ‎【点睛】本题主要考查了向量垂直与平行运用以及模长的计算,属于基础题型.‎ ‎18.（1）已知角的终边经过点，求的值；‎ ‎（2）若是第四象限角，且，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用三角函数的定义求出和的值，由此可计算出的值；‎ ‎（2）利用诱导公式和同角三角函数的基本关系得出和的值，并利用诱导公式化简所求代数式，代值计算即可.‎ ‎【详解】（1）由三角函数定义知，，‎ ‎；‎ ‎（2），，‎ 是第四象限角，.‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查利用三角函数的定义、诱导公式和同角三角函数的基本关系化简求值，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎19.某实验室一天的温度（单位：）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系式：，.‎ ‎（1）求该实验室一天当中上午时的温度；‎ ‎（2）若某实验需要在不低于的条件下才可以做，那么该实验应该在一天当中的哪个时间段进行？‎ ‎【答案】（1）；（2）早晨点到下午点之间进行 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将代入函数的解析式计算即可；‎ ‎（2）解不等式，将该不等式的解集与取交集即可得出结果.‎ ‎【详解】（1），‎ 故实验室一天当中上午时的温度为；‎ ‎（2）由于该实验需要在不低于的条件下才可以做，即，‎ ‎，，‎ ‎，，，.‎ ‎，，即该实验应该在早晨点到下午点之间进行.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数模型在生活中的应用，涉及余弦不等式的求解，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎20.如图，是等腰直角三角形，，且直角边长为，记位于直线左侧的图形面积为，试求函数的解析式.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分、和三种情况讨论，当时，直线左边为直角边长为的等腰直角三角形；当时，由的面积减去直角边长为的等腰直角三角形面积得出；当时，直线左边为.综合可得出函数的解析式.‎ ‎【详解】等腰直角三角形中，，且直角边长为，所以斜边，‎ 当时，设直线与、分别交于点、，则，‎ ‎；‎ 当时，设直线与、分别交于点、，则，‎ ‎.‎ 当时，.‎ 综上所述，.‎ ‎【点睛】本题考查分段函数解析式的求解，解题时要注意对自变量的取值进行分类讨论，注意处理好各段的端点，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）当时，求该函数的最大值；‎ ‎（2）是否存在实数，使得该函数在闭区间上的最大值为？若存在，求出对应的值；若不存在，试说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）存在，且.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将代入函数的解析式，得出，由结合二次函数的基本性质可得出该函数的最大值；‎ ‎（2）换元，将问题转化为二次函数在区间上的最大值为，然后分、和三种情况讨论，利用二次函数的基本性质求出函数在区间上最大值，进而求得实数的值.‎ ‎【详解】（1）当时，，‎ ‎，当时，该函数取得最大值，即；‎ ‎（2），‎ 当时，设，设，，‎ 二次函数的图象开口向下，对称轴为直线.‎ 当时，函数在上单调递减，所以时，，不符合题意；‎ 当时，函数在上单调递增，所以时，，满足；‎ 当时，函数在上单调递增，在上单调递减，‎ 当时，，不满足.‎ 综上，存在符合题意.‎ ‎【点睛】本题考查二次型余弦函数的最值，将问题转化为二次函数的最值来求解是解题的关键，第二问要对二次函数图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，结合二次函数的单调性求解，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.‎ ‎22.已知函数.‎ ‎（1）判断函数的零点的个数并说明理由；‎ ‎（2）求函数零点所在的一个区间，使这个区间的长度不超过；‎ ‎（3）若，对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）一个，理由见解析；（2）；.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出结论；‎ ‎（2）先可求得函数的零点所在的一个区间为，然后利用二分法可得出的一个零点所在的区间，且这个区间的长度不超过；‎ ‎（3）由题意可知，，利用函数的单调性求出该函数在区间的最大值，将问题转化为关于的不等式对任意的恒成立，可得出，由此可解出实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1）由题易知：函数的定义域为，且在上连续，‎ ‎，，，‎ 函数和在上都是增函数，‎ 所以，函数在上是增函数，‎ 因此，函数在上有且只有一个零点；‎ ‎（2）设函数的零点为，由（1）知：，，，‎ 取，，‎ ‎，且， 即为符合条件的区间；‎ ‎（3）当时，对于任意的，不等式恒成立等价于 ‎，，.‎ 由函数在上是增函数，可知，‎ 对任意恒成立，对任意恒成立，‎ ‎，解得，‎ 因此，的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查函数零点个数的判断，同时也考查了利用二分法求函数零点所在区间，以及二次不等式恒成立问题，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.‎