2019届二轮复习第5练　数学文化学案（全国通用）

2019届二轮复习第5练　数学文化学案（全国通用）

第5练　数学文化 ‎[明晰考情]　1.命题角度：近几年，为充分发挥高考的育人功能和积极导向作用，在数学中出现了数学文化的内容，内容不拘一格，古今中外文化兼有.2.题目难度：中档难度.‎ 考点一　算法、数列中的数学文化 方法技巧　(1)和算法结合的数学文化，要读懂程序框图，按程序框图依次执行.‎ ‎(2)数学文化中蕴含的数列问题，要寻找数列前几项，寻找规律，抽象出数列模型.‎ ‎1.如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a为(　　)‎ A.4 B.2 C.0 D.14‎ 答案　B 解析　由题意可知输出的a是18，14的最大公约数2，故选B.‎ ‎2.(2018·石嘴山模拟)《张邱建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾(注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布)，第一天织5尺布，现一月(按30天计)共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织布的尺数为(　　)‎ A. B.　C. D. 答案　B 解析　依题意设每天多织d尺，依题意得S30＝30×5＋d＝390，解得d＝.‎ ‎3.(2018·葫芦岛模拟)20世纪70年代，流行一种游戏——角谷猜想，规则如下：任意写出一个自然数n，按照以下的规律进行变换：如果n是个奇数，则下一步变成3n＋1；如果n是个偶数，则下一步变成，这种游戏的魅力在于无论你写出一个多么庞大的数字，最后必然会落在谷底，更准确的说是落入底部的4－2－1循环，而永远也跳不出这个圈子，下面程序框图就是根据这个游戏而设计的，如果输出的i值为6，则输入的n值为(　　)‎ A.5 B.16‎ C.5或32 D.4或5或32‎ 答案　C 解析　当n＝5时，执行程序框图，‎ i＝1，n＝16，i＝2，n＝8，i＝3，n＝4，i＝4，n＝2，i＝5，‎ n＝1，i＝6，结束循环，输出i＝6；‎ 当n＝32时，执行程序框图，‎ i＝1，n＝16，i＝2，n＝8，i＝3，n＝4，i＝4，n＝2，i＝5，‎ n＝1，i＝6，结束循环，输出i＝6.‎ 易知当n＝4时，不符合，故n＝5或n＝32，故选C.‎ ‎4.名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n等于(　　)‎ A.2 B.3 C.4 D.5‎ 答案　C 解析　当n＝1时，a＝，b＝4，满足进行循环的条件，‎ 当n＝2时，a＝，b＝8，满足进行循环的条件，‎ 当n＝3时，a＝，b＝16，满足进行循环的条件，‎ 当n＝4时，a＝，b＝32，不满足进行循环的条件，退出循环.故输出的n值为4.‎ ‎5.(2018·北京)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展作出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为(　　)‎ A.f B.f C.f D.f 答案　D 解析　由题意知，这十三个单音的频率构成首项为f、公比为的等比数列，则第八个单音的频率为()7f＝f.‎ ‎6.(2018·浙江)我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一.凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x，y，z，则当z＝81时，x＝____，y＝____.‎ 答案　8　11‎ 解析　方法一　由题意，得 即解得 方法二　100－81＝19(只)，‎ ‎81÷3＝27(元)，‎ ‎100－27＝73(元).‎ 假设剩余的19只鸡全是鸡翁，则5×19＝95(元).‎ 因为95－73＝22(元)，‎ 所以鸡母：22÷(5－3)＝11(只)，‎ 鸡翁：19－11＝8(只).‎ 考点二　三角函数与几何中的数学文化 方法技巧　从题目叙述中分析蕴含的图形及数量关系，通过分析图形特征建立数学模型，转化为三角函数或几何问题.‎ ‎7.我国古代数学名著《九章算术》在“勾股”一章中有如下数学问题：“今有勾八步，股十五步，勾中容圆，问径几何？”.意思是一个直角三角形的两条直角边的长度分别是8步和15步，则其内切圆的直径是多少步？则此问题的答案是(　　)‎ A.3步 B.6步 C.4步 D.8步 答案　B 解析　由于该直角三角形的两直角边长分别是8和15，则得其斜边长为17，‎ 设其内切圆半径为r，‎ 则有＋＋＝×8×15(等积法)，‎ 解得r＝3，故其直径为6步.‎ ‎8.如图是我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，直角三角形中较小的锐角为α，则tan α等于(　　)‎ A. B. C.5 D. 答案　A ‎ 解析　由题意得，大正方形的边长为10，小正方形的边长为 2，‎ ‎∴2＝10cos α－10sin α，‎ ‎∴cos α－sin α＝，‎ 又α为锐角，易求得tan α＝.‎ ‎9.(2018·全国Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是(　　)‎ 答案　A 解析　由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示，由直观图可知其俯视图应选A.‎ ‎10.我国南北朝时期数学家、天文学家——祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势即同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，‎ 若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等.已知某不规则几何体与如图三视图所对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为(　　)‎ A.4－ B.8－　C.8－π D.8－2π 答案　C 解析　由三视图知，该几何体是从一个正方体中挖去一个半圆柱.‎ V正方体＝23＝8，V半圆柱＝(π×12)×2＝π，‎ ‎∴三视图对应几何体的体积V＝8－π.‎ 根据祖暅原理，不规则几何体的体积V′＝V＝8－π.‎ ‎11.(2018·蚌埠模拟)我国古代数学名著《张邱建算经》中有如下问题：“今有粟二百五十斛委注平地，下周五丈四尺，问高几何？”意思是：现在有粟米250斛，把它们自然地堆放在平地上，形成一个圆锥形的谷堆，其底面周长为5丈4尺，则谷堆的高为多少？(注：1斛≈1.62立方尺，π≈3)若使该问题中的谷堆内接于一个球状的外罩，则该外罩的直径约为(　　)‎ A.5尺 B.9尺　C.10.6尺 D.21.2尺 答案　D 解析　设谷堆的高为h尺，底面半径为r尺，则2πr＝54，r≈9.‎ 粟米250斛，则体积为250×1.62＝×π×92×h，h≈5.‎ 谷堆内接于一个球状的外罩，设球的半径为R尺.‎ 则R2＝(h－R)2＋r2，解得R≈10.6(尺).‎ ‎∴2R≈21.2(尺).‎ ‎12.卫星沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：‎ ‎①a1＋c1＝a2＋c2；②a1－c1＝a2－c2；③<；④c1a2>a1c2.‎ 其中正确的式子的序号是(　　)‎ A.①③ B.①④ C.②③ D.②④‎ 答案　D 解析　①由题图知2a1>2a2，2c1>2c2，‎ 即a1>a2，c1>c2，∴a1＋c1>a2＋c2，∴①不正确.‎ ‎②∵a1－c1＝|PF|，a2－c2＝|PF|，∴a1－c1＝a2－c2，∴②正确.‎ ‎④∵a1>a2>0，c1>c2>0，∴a>a，c>c.‎ 又∵a1－c1＝a2－c2，‎ 即a1＋c2＝a2＋c1，‎ 即a＋c＋2a1c2＝a＋c＋2a2c1，‎ ‎∴a－c＋c－a＋2a1c2＝2a2c1，即(a1－c1)(a1＋c1)－(a2－c2)(a2＋c2)＋2a1c2＝2a2c1，‎ 整理得(a1－c1)(a1－a2＋c1－c2)＋2a1c2＝2a2c1.‎ ‎∵a1>c1，a1>a2，c1>c2，∴2a1c2<2a2c1，即c1a2>a1c2，∴④正确.‎ ‎③∵c1a2>a1c2，a1>0，a2>0，∴>，即>，∴③不正确.故选D.‎ 考点三　概率、统计与推理证明中的数学文化 方法技巧　(1)概率、统计和数学文化的结合，关键是构建数学模型.‎ ‎(2)推理证明和实际问题结合，要根据已知条件进行逻辑推理，得到相应结论.‎ ‎13.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为(　　)‎ A.134石 B.169石 C.338石 D.1 365石 答案　B 解析　由系统抽样的含义，该批米内夹谷约为×1 534≈169(石).‎ ‎14.数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读.数学中有回文数，如343，12 521等，两位数的回文数有11，22，33，…，99共9个，则三位数的回文数中，偶数的概率是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　三位数的回文数为ABA，‎ A共有1到9共9种可能，即1B1，2B2，3B3，…，‎ B共有0到9共10种可能，即A0A，A1A，A2A，A3A，…，‎ 共有9×10＝90(个)；‎ 其中偶数为A是偶数，共4种可能，即2B2，4B4，6B6，8B8，‎ B共有0到9共10种可能，即A0A，A1A，A2A，A3A，…，‎ 其有4×10＝40(个)，‎ ‎∴三位数的回文数中，偶数的概率P＝＝.‎ ‎15.(2018·永州模拟)我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，…，9填入3×3的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15 (如图).一般地，将连续的正整数1，2，3，…，n2填入n×n的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n阶幻方.记n阶幻方的一条对角线上数的和为Nn(如：在3阶幻方中，N3＝15)，则N10等于(　　)‎ ‎4‎ ‎9‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎1‎ ‎6‎ A.1 020 B.1 010 C.510 D.505‎ 答案　D 解析　n阶幻方共有n2个数，其和为1＋2＋…＋n2＝，∵n阶幻方共有n行，‎ ‎∴每行的和为＝，即Nn＝，∴N10＝＝505.‎ ‎16.(2018·贵港市联考)《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.”其意思是：有一水池一丈见方，池中心生有一棵类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐(如图所示)，问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十尺.若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　A 解析　如图所示，设水深为x尺，由题意得(x＋2)2＝x2＋52，求解关于实数x的方程，可得x＝，即水深为尺，又葭长为尺，则所求问题的概率为P＝.故选A.‎ ‎17.(2018·北京朝阳区模拟)庙会是我国古老的传统民俗文化活动，又称“庙市”或 “节场”.庙会大多在春节、元宵节等节日举行.庙会上有丰富多彩的文化娱乐活动，如“砸金蛋”(游玩者每次砸碎一颗金蛋，如果有奖品，则“中奖”).今年春节期间，某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来到某庙会，每人均获得砸一颗金蛋的机会.游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下：‎ 甲说：“我或乙能中奖”；　　　　乙说：“丁能中奖”；‎ 丙说：“我或乙能中奖”；　　　　丁说：“甲不能中奖”.‎ 游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学是(　　)‎ A.甲 B.乙　C.丙 D.丁 答案　A 解析　由四人的预测可得下表：‎ 中奖人 预测结果 甲 乙 丙 丁 甲 ‎√‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎×‎ 乙 ‎√‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎√‎ 丙 ‎×‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎√‎ 丁 ‎×‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎√‎ 由分析可知，中奖者是甲.‎ ‎1.南北朝时期的数学古籍《张邱建算经》有如下一道题：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差(即等差)降之，上三人，得金四斤，持出；下四人后入得三斤，持出；中间三人未到者，亦依等次更给.问：每等人比下等人多得几斤？”(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　设第十等人得金a1斤，第九等人得金a2斤，以此类推，第一等人得金a10斤，则数列{an}构成等差数列，设公差为d，则每一等人比下一等人多得d斤金，‎ 由题意得即解得d＝，‎ ‎∴每一等人比下一等人多得斤金.‎ ‎2.(2018·山东、湖北部分重点中学模拟)朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日”.其大意为“官府陆续派遣1 864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升，共发出大米40 392升，问修筑堤坝多少天”，在该问题中前5天共分发了多少升大米？(　　)‎ A.1 170 B.1 380　C.3 090 D.3 300‎ 答案　D 解析　设第n天派出的人数为an，则{an}是以64为首项，7为公差的等差数列，则第n天修筑堤坝的人数为Sn＝a1＋a2＋…＋an＝64n＋×7，所以前5天共分发的大米数为3(S1＋S2＋S3＋S4＋S5)＝3[(1＋2＋3＋4＋5)×64＋(1＋3＋6＋10)×7]＝3 300(升).‎ ‎3.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”上述问题中，两鼠在第几天相逢(　　)‎ A.3 B.4 C.5 D.6‎ 答案　B 解析　由题意可知，大老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以2为公比的等比数列，‎ 前n天打洞之和为＝2n－1；‎ 同理，小老鼠前n天打洞的距离＝2－，‎ ‎∴2n－1＋2－＝10，‎ 解得n∈(3，4)，取n＝4.‎ 即两鼠在第4天相逢.‎ ‎4.《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺.问积几何？答曰：二千一百一十二尺.术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”.这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一.”就是说：圆堡瑽(圆柱体)的体积为：V＝×(底面的圆周长的平方×高).则由此可推得圆周率π的取值为(　　)‎ A.3 B.3.14　C.3.2 D.3.3‎ 答案　A 解析　由题意，圆柱体底面的圆周长48尺，高11尺，‎ ‎∵圆堡瑽(圆柱体)的体积V＝×(底面的圆周长的平方×高)，‎ ‎∴V＝×(482×11)＝2 112，‎ ‎∴ ‎∴π＝3，R＝8.‎ ‎5.(2018·吉林调研)《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，该作中有题为“李白沽酒”“李白街上走，提壶去买酒。遇店加一倍，见花喝一斗，三遇店和花，喝光壶中酒。借问此壶中，原有多少酒？”，如图为该问题的程序框图，若输出的S值为0，则开始输入的S值为(　　)‎ A. B.　C. D. 答案　C 解析　模拟程序的运行，可得 当i＝1时，S＝2S－1，i＝1满足条件i<3，执行循环体；‎ 当i＝2时，S＝2(2S－1)－1，i＝2满足条件i<3，执行循环体；‎ 当i＝3时，S＝2[2(2S－1)－1]－1，i＝3不满足条件i<3，退出循环体，输出S＝0，‎ ‎∴2[2(2S－1)－1]－1＝0，∴S＝.‎ ‎6.(2018·聊城模拟)我国三国时期的数学家赵爽为了证明勾股定理创制了一幅“勾股圆方图”，该图是由四个全等的直角三角形组成，它们共同围成了一个如图所示的大正方形和一个小正方形.设直角三角形中一个锐角的正切值为3.在大正方形内随机取一点，则此点取自小正方形内的概率是(　　)‎ A. B.　C. D. 答案　D 解析　不妨设两条直角边为3，1，故斜边，即大正方形的边长为＝，小正方形边长为2，故概率为＝.‎ ‎7.(2018·南昌模拟)欧阳修在《卖油翁》中写道“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆盖其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止.若铜钱是直径为4 cm的圆面，中间有边长为1 cm的正方形孔.现随机向铜钱上滴一滴油(油滴的大小忽略不计)，则油滴落入孔中的概率为(　　)‎ A. B.　C. D. 答案　B 解析　由题意可得直径为4 cm的圆的面积为π×2＝4π(cm2)，而边长为1 cm的正方形的面积为1×1＝1(cm2)，根据几何概型概率公式可得油滴落入孔中的概率为P＝，故选B.‎ ‎8.(2018·辽宁瓦房店模拟)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，‎ 书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为(　　)‎ A.128π平方尺 B.138π平方尺 C.140π平方尺 D.142π平方尺 答案　B 解析　设四棱锥的外接球半径为r尺，‎ 则(2r)2＝72＋52＋82＝138，‎ ‎∴这个四棱锥的外接球的表面积为4πr2＝138π(平方尺).‎ 故选B.‎ ‎9.原始社会时期，人们通过在绳子上打结来计算数量，即“结绳计数”，当时有位父亲，为了准确记录孩子的成长天数，在粗细不同的绳子上打结，由细到粗，满七进一，那么孩子已经出生________天.‎ 答案　510‎ 解析　由题意满七进一，可得该图示为七进制数，‎ 化为十进制数为1×73＋3×72＋2×7＋6＝510.‎ ‎10.我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x.这可以通过方程＝x确定x＝2，则1＋＝________.‎ 答案　 解析　由题意，可令1＋＝x(x>0)，即1＋＝x，‎ 即x2－x－1＝0，解得x＝，‎ 故1＋＝.‎ ‎11.如图所示是毕达哥拉斯(Pythagoras)的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，‎ 等腰直角三角形边上再连接正方形，如此继续，若共得到4 095个正方形，设初始正方形的边长为，则最小正方形的边长为________.‎ 答案　 解析　依题意，正方形的边长构成以为首项，公比为的等比数列.‎ 因为共有4 095个正方形，‎ 则1＋2＋22＋…＋2n－1＝4 095，所以n＝12.‎ 所以最小正方形的边长为×12－1＝12＝.‎ ‎12.在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261年)一书中，用如图A所示的三角形，解释二项和的乘方规律.在欧洲直到1623年以后，法国数学家布莱士·帕斯卡的著作(1655年)介绍了这个三角形.近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”(Chinese triangle)，如图A.17世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”如图B.在杨辉三角中相邻两行满足关系式：C＋C＝C，其中n是行数，r∈N.请类比上式，在莱布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是_______________________.‎ 答案　＝＋