专题46 直线的方程-2020年领军高考数学一轮复习（文理通用） Word版含解析

专题46 直线的方程-2020年领军高考数学一轮复习（文理通用） Word版含解析

专题46直线的方程 最新考纲 ‎1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.‎ ‎2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.‎ ‎3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、截距式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.‎ 基础知识融会贯通 ‎1．直线的倾斜角 ‎(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.‎ ‎(2)范围：直线l倾斜角的范围是[0°，180°)．‎ ‎2．斜率公式 ‎(1)若直线l的倾斜角α≠90°，则斜率k＝tan_α.‎ ‎(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上且x1≠x2，则l的斜率k＝.‎ ‎3．直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y－y0＝k(x－x0)‎ 不含直线x＝x0‎ 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 两点式 ＝ 不含直线x＝x1 (x1≠x2)和直线y＝y1 (y1≠y2)‎ 截距式 ＋＝1‎ 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)‎ 平面直角坐标系内的直线都适用 重点难点突破 ‎【题型一】直线的倾斜角与斜率 ‎【典型例题】‎ 已知点P在直线x+2y﹣1＝0上，点Q在直线x+2y+3＝0上，M（x0，y0）为PQ的中点，且y0＞2x0+1，则的取值范围是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【解答】解：∵直线x+2y﹣1＝0与x+2y+3＝0平行，‎ ‎∴点M的轨迹为与两直线距离相等且平行于两直线的直线，‎ 其方程为x+2y+1＝0，‎ 即点M（x0，y0）满足x0+2y0+1＝0，而满足不等式y0＞2x0+1的点在直线y＝2x+1的上方，‎ 易得直线x+2y+1＝0与y＝2x+1的交点为（，），‎ 故问题转化为求射线（不含端点）x0+2y0+1＝0（x0）上的点M（x0，y0）与坐标原点（0，0）连线斜率．‎ 即的取值范围，故kOM∈（，）．‎ 故选：C． ‎ ‎【再练一题】‎ 已知点A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2），直线l：kx﹣y﹣k+1＝0与线段AB相交，则实数k的取值范围是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．[﹣4，+∞）‎ ‎【解答】解：直线l：kx﹣y﹣k+1＝0即k（x﹣1）﹣y+1＝0，令x﹣1＝0，求得x＝1，y＝1，可得直线l经过定点M（1，1）．‎ 如图：‎ ‎∵已知MA的斜率为4，MB的斜率为，‎ 直线l：kx﹣y﹣k+1＝0与线段AB相交，‎ ‎∴k，或k≤﹣4，‎ 故选：A．‎ ‎ ‎ 思维升华 直线倾斜角的范围是[0，π)，根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论．‎ ‎【题型二】求直线的方程 ‎【典型例题】‎ 已知直线经过直线3x+4y﹣2＝0与直线2x+y+2＝0的交点P，并且垂直于直线x﹣2y﹣1＝0．‎ ‎（Ⅰ）求交点P的坐标；‎ ‎（Ⅱ）求直线的方程．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由得 所以P（﹣2，2）．（Ⅱ）因为直线与直线x﹣2y﹣1＝0垂直，‎ 所以kl＝﹣2，‎ 所以直线的方程为2x+y+2＝0．﹣‎ ‎【再练一题】‎ 平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣3，4），C（﹣2，6）‎ ‎（1）求BC边上的高所在直线的方程；‎ ‎（2）求△ABC的面积．‎ ‎【解答】解：（1）直线BC的斜率k2，‎ 则BC边上高的斜率k，‎ 则过A的高的直线方程为y﹣2（x+1），‎ 即x+3y﹣3＝0．，‎ ‎（2）∵BC的方程为y﹣4＝2（x+3），‎ ‎∴2x﹣y+10＝0．‎ 点A到直线2x﹣y+10＝0的距离d，‎ ‎|BC|，‎ 则三角形的面积S|BC|d3．‎ ‎ ‎ 思维升华 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．‎ ‎【题型三】直线方程的综合应用 命题点1　与基本不等式相结合求最值问题 ‎【典型例题】‎ 已知直线l的方程为（2﹣m）x+（‎2m+1）y+‎3m+4＝0，其中m∈R．‎ ‎（1）求证：直线l恒过定点；‎ ‎（2）当m变化时，求点P（3，1）到直线l的距离的最大值；‎ ‎（3）若直线l分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线l的方程．‎ ‎【解答】（1）证明：直线l的方程为（2﹣m）x+（‎2m+1）y+‎3m+4＝0，其中m∈R．‎ 化为：m（﹣x+2y+3）+（2x+y+4）＝0，令，解得，‎ 则直线l经过定点Q（﹣1，﹣2）．‎ ‎（2）解：当m变化时，PQ⊥直线l时，‎ 点P（3，1）到直线l的距离的最大5．‎ ‎（3）解：由于直线l经过定点Q（﹣1，﹣2）．直线l的斜率k存在且k≠0，‎ 因此可设直线l的方程为y+2＝k（x+1），‎ 可得与x轴、y轴的负半轴交于A（，0），B（0，k﹣2）两点，‎ ‎0，k﹣2＜0，解得k＜0．‎ ‎∴∴S△OAB（2﹣k）24，当且仅当k＝﹣2时取等号．‎ 此时直线l的方程为：y+2＝﹣2（x+1），化为：2x+y+4＝0．‎ ‎【再练一题】‎ 设m∈R，过定点A的动直线x+my＝0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+2＝0交于点P（x，y），则的最大值是　　．‎ ‎【解答】解：m∈R，过定点A的动直线x+my＝0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+2＝0交于点P（x，y），‎ ‎∴由题意可知，动直线x+my＝0经过定点A（0，0），‎ 动直线mx﹣y﹣m+3＝0即 m（x﹣1）﹣y+2＝0，经过点定点B（1，2），‎ ‎∵动直线x+my＝0和动直线mx﹣y﹣m+3＝0始终垂直，P又是两条直线的交点，‎ 则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2＝|AB|2＝5．‎ 故|PA|•|PB|（当且仅当|PA|＝|PB|时取“＝”），‎ 设∠ABP＝θ，则|PA|sinθ，|PB|cosθ．‎ ‎∵|PA|≥0且|PB|≥0，可得θ∈[0，]，‎ ‎∴|PA|+|PB|sinθcosθ＝2sin（θ），‎ ‎∵θ∈[0，]，∴θ∈[，]，‎ ‎∴当θ时，|PA|+|PB|sinθcosθ＝2sin（θ）取得最大值为2．‎ ‎∴的最大值是2．‎ 故答案为：2．‎ 命题点2　由直线方程解决参数问题 ‎【典型例题】‎ 直线x﹣2y﹣1＝0与直线x﹣2y﹣c＝0的距离为2，则c的值为（　　）‎ A．9 B．11或﹣‎9 ‎C．﹣11 D．9或﹣11‎ ‎【解答】解：∵直线x﹣2y﹣1＝0与直线x﹣2y﹣c＝0的距离为2，‎ ‎∴2，求得c＝11，或c＝﹣9，‎ 故选：B． ‎ ‎【再练一题】‎ 若直线x+（1+m）y﹣2＝0和直线mx+2y+4＝0平行，则m的值为（　　）‎ A．1 B．﹣‎2 ‎C．1或﹣2 D．‎ ‎【解答】解：直线x+（1+m）y﹣2＝0和直线mx+2y+4＝0平行，可得，得：m＝1，‎ 故选：A．‎ 思维升华 与直线方程有关问题的常见类型及解题策略 ‎(1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．‎ ‎(2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程．‎ ‎(3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．‎ 基础知识训练 ‎1．【北省遵化市2018-2019学年高二上学期期中考试】直线（2k﹣1）x﹣（k+3）y﹣（k﹣11）＝0（k∈R）所经过的定点是（　　）‎ A．（5，2） B．（2，3） C．（﹣，3） D．（5，9）‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 直线方程可化为，故，解得定点坐标为，故选B.‎ ‎2．【河南省洛阳市2018-2019学年高一上学期期末】数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半这条直线被后人称之为三角形的欧拉线的顶点，且的欧拉线的方程为，则顶点C的坐标为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 设C（m，n），由重心坐标公式得，‎ 三角形ABC的重心为（），‎ 代入欧拉线方程得：2＝0，‎ 整理得：m﹣n+4＝0 ①‎ AB的中点为（1，2），直线AB的斜率k2，‎ AB的中垂线方程为y﹣2（x﹣1），即x﹣2y+3＝0．‎ 联立，解得．‎ ‎∴△ABC的外心为（﹣1，1）．‎ 则（m+1）2+（n﹣1）2＝32+12＝10，‎ 整理得：m2+n2+‎2m﹣2n＝8 ②‎ 联立①②得：m＝﹣4，n＝0或m＝0，n＝4．‎ 当m＝0，n＝4时B，C重合，舍去．‎ ‎∴顶点C的坐标是（﹣4，0）．‎ 故选：A．‎ ‎3．【河北省唐山市2017-2018学年高二上学期期末考试】“m＝﹣‎2”‎是“直线2x+（m﹣2）y+3＝0与直线（6﹣m）x+（2﹣m）y﹣5＝0垂直”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 若直线2x+（m﹣2）y+3＝0与直线（6﹣m）x+（2﹣m）y﹣5＝0垂直，‎ 则2（6﹣m）+（m﹣2）（2﹣m）＝0，‎ 得12﹣‎2m﹣m2+‎4m﹣4＝0，‎ 即m2﹣‎2m﹣8＝0，‎ 得（m+2）（m﹣4）＝0，‎ 得m＝4或m＝﹣2，‎ 则m＝﹣2是“直线2x+（m﹣2）y+3＝0与直线（6﹣m）x+（2﹣m）y﹣5＝0垂直”的充分不必要条件，‎ 故选：A．‎ ‎4．【河南省洛阳市2018-2019学年高一上学期期末】数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点，若其欧拉线方程为，则顶点C的坐标是（）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 设C(m，n),由重心坐标公式得重心为,‎ 代入欧拉线方程得： ①‎ AB的中点为，‎ 所以AB的中垂线方程为 ‎ 联立，解得 ‎ 所以三角形ABC的外心为，‎ 则，化简得： ②‎ 联立①②得：，‎ 当时，B,C重合，舍去，‎ 所以顶点C的坐标是 ‎ 故选A.‎ ‎5．【湖北省宜昌市协作体2018-2019学年高二上学期期末考试 ‎】若点P（3，4）和点Q（a，b）关于直线对称，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由，解得，故选A．‎ ‎6．【山西省运城中学、芮城中学2018-2019学年高二上学期期中联考】已知直线与直线平行，则的值为（ ）‎ A． B．6 C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由题意可得：，据此可得.‎ 本题选择B选项.‎ ‎7．【山西省运城中学、芮城中学2018-2019学年高二上学期期中联考】直线的斜率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 直线方程即：，整理为斜截式即，‎ 据此可知直线的斜率为.‎ 本题选择A选项.‎ ‎8．【山西省运城中学、芮城中学2018-2019学年高二上学期期中联考】已知 则直线不过（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 直线方程即：，‎ 其斜率，直线在轴的截距，‎ 据此可知直线不经过第二象限.‎ 本题选择B选项.‎ ‎9．【湖北省武汉外国语学校2018-2019学年高二10月月考】光线通过点A（2，3），在直线l：x+y+1=0上反射，反射光线经过点B（1，1），则反射光线所在直线方程为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 设点关于直线的对称点为，，‎ 则 解得：．‎ 由于反射光线所在直线经过点和，‎ 所以反射光线所在直线的方程为，即．‎ 故选：A ‎10．【安徽省合肥市第八中学2018-2019学年高二第一学期期中考试】已知点A（2，-3），B（3，2），直线ax+y+2=0与线段AB相交，则实数a的取值范围是（　　）‎ A． B．或 C． D．或 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 解：如图：直线ax+y+2=0经过定点C（0，-2），斜率为-a，‎ 当直线ax+y+2=0经过点A（2，-3）时，有AC=．‎ 当直线ax+y+2=0经过点B（3，2）时，有BC=．‎ ‎∴，即，‎ 故选：C．‎ ‎11．【广东省佛山市第一中学2018-2019学年高二上学期期中考试】若直线与互相垂直，则等于（　　）‎ A． B． C．或 D．或 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎∵直线与互相垂直，‎ ‎∴，‎ 解得或．‎ 故选：C．‎ ‎12．【浙江省湖州市2017-2018学年高一（下)期末】过点作直线的垂线，垂足为M，已知点，则当变化时，的取值范围是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 解：直线，即，‎ 由，求得，直线经过定点．‎ 由为直角三角形，斜边为PQ，M在以PQ为直径的圆上运动，‎ 可得圆心为PQ的中点，半径为，‎ 则与M的最大值为，‎ 则与M的最小值为，‎ 故MN的范围为：，‎ 故选：B．‎ ‎13．【湖南省醴陵二中、醴陵四中2018-2019学年高一上学期期末联考】如图，平面中两条直线和相交于点O，对于平面上任意一点M，若x，y分别是M到直线和的距离，则称有序非负实数对（x，y）是点M的“距离坐标”．已知常数p≥0，q≥0，给出下列三个命题：‎ ‎①若p=q=0，则“距离坐标”为（0，0）的点有且只有1个；‎ ‎②若pq=0，且p+q≠0，则“距离坐标”为（p，q） 的点有且只有2个；‎ ‎③若pq≠0则“距离坐标”为 （p，q） 的点有且只有4个．‎ 上述命题中，正确命题的是______．（写出所有正确命题的序号）‎ ‎【答案】①②③‎ ‎【解析】‎ 解：①p=q=0，则“距离坐标”为（0，0）的点有且只有1个，此点为点O．故①正确；‎ ‎②因为pq=0，且p+q≠0，所以p，q中有且仅有一个为0，不妨设p为0，则坐标点在上，与直线相距为q（q≠0）的两条平行线与直线有且仅有两个交点；故②正确；‎ ‎③因为pq≠0，所以p≠0 ,q≠0,此时与直线相距为p的两条平行线和与直线相距为q的两条平行线有且仅有四个交点交点；故③正确；‎ 故答案为：①②③．‎ ‎14．【广东省佛山市第一中学2018-2019学年高二上学期期中考试】是直线上的一个动点，点、的坐标分别为、，则的最小值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 如图，‎ 设关于直线的对称点为，‎ 则，解得．‎ ‎∴，‎ 则的最小值为．‎ 故答案为：．‎ ‎15．【2018年全国普通高等学校招生统一考试】已知实数满足：，则的最大值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ ‎=（x1，y1），=（x2，y2），‎ 由x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，‎ 可得A，B两点在圆x2+y2=1上，‎ 且=1×1×cos∠AOB=，‎ 即有∠AOB=60°，‎ 即三角形OAB为等边三角形，‎ AB=1，‎ 的几何意义为点A，B两点 到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和，‎ 显然A，B在第三象限，AB所在直线与直线x+y=1平行，‎ 可设AB：x+y+t=0，（t＞0），‎ 由圆心O到直线AB的距离d=，‎ 可得2=1，解得t=，‎ 即有两平行线的距离为，‎ 即的最大值为，‎ 故答案为：．‎ ‎16．【浙江省慈溪市六校2018-2019学年高二上学期期中考试】在平面直角坐标系中，设为不同的两点，直线的方程为，设，其中均为实数．下列四个说法中：‎ ‎①存在实数，使点在直线上；‎ ‎②若，则过两点的直线与直线重合；‎ ‎③若，则直线经过线段的中点；‎ ‎④若，则点在直线的同侧，且直线与线段的延长线相交．‎ 所有结论正确的说法的序号是______________．‎ ‎【答案】③④‎ ‎【解析】‎ 若点N在直线l上则ax2+bx2+c=0，‎ ‎∴不存在实数δ，使点N在直线l上，‎ 故①不正确；‎ 若δ=1，则ax1+by1+c=ax2+by2+c，‎ 即，‎ ‎∴kMN=kl，‎ 即过M、N两点的直线与直线l平行或重合，‎ 故②错误；‎ 若δ=﹣1，则ax1+by1+c+ax2+by2+c=0‎ 即，，‎ ‎∴直线l经过线段MN的中点，‎ 即③正确；‎ 若δ＞1，则ax1+by1+c＞ax2+by2+c＞0，‎ 或ax1+by2+c＜ax2+by2+c＜0，‎ 即点M、N在直线l的同侧，且直线l与线段MN不平行．‎ 故④正确．‎ 故答案为：③④．‎ ‎17．【安徽省合肥市第八中学2018-2019学年高二第一学期期中考试】已知△ABC的三个顶点分别为A（2，1），B（-2，3），C（0，-3），求：‎ ‎（Ⅰ）若BC的中点为D，求直线AD的方程；‎ ‎（Ⅱ）求△ABC的面积．‎ ‎【答案】（Ⅰ）x-3y+1=0（Ⅱ）10‎ ‎【解析】‎ 解：（Ⅰ）∵B（-2，3），C（0，-3），‎ ‎∴D（-1，0）．‎ ‎∴直线AD的方程为，‎ 整理得：x-3y+1=0；‎ ‎（Ⅱ）∵B（-2，3），C（0，-3），‎ ‎∴|BC|=．‎ 又直线BC的方程为3x+y+3=0，则A点到直线BC的距离为，‎ ‎∴△ABC的面积为=10．‎ ‎18．【安徽省马鞍山市第二中学2018-2019学年高二上第二次阶段性测试】已知两条直线：与：的交点P．‎ 求过点P且过原点的直线方程；‎ 求过点P且垂直于直线：的直线l的方程．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 联立，‎ 解得两条直线：与：的交点．‎ 过点且过原点的直线方程为：‎ ‎，即．‎ 设过点且垂直于直线：的直线l的方程为，‎ 把代入，得：，解得，‎ 过点P且垂直于直线：的直线l的方程．‎ ‎19．【湖南省醴陵二中、醴陵四中2018-2019学年高一上学期期末联考】已知直线l：（2+m）x+（1‎-2m）y+4‎-3m=0．‎ ‎（1）求证：不论m为何实数，直线恒过一定点；‎ ‎（2）过点M（-1，-2）作一条直线，使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，求直线的方程．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ 解：（1）证明：∵m（x-2y-3）+2x+y+4=0‎ ‎∴由得 ‎∴直线恒过定点（-1，-2）．‎ ‎（2）解：由题意所求直线斜率存在且不为零，设所求直线的方程为y+2=k（x+1），‎ 则，B（0，k-2）．‎ ‎∵AB的中点为M，‎ ‎∴  解得k=-2． ‎ ‎∴所求直线的方程为2x+y+4=0．‎ ‎20．【安徽省合肥市第八中学2018-2019学年高二第一学期期中考试】已知直线l方程为（m+2）x-（m+1）y‎-3m-7=0，m∈R．‎ ‎（Ⅰ）求证：直线l恒过定点P，并求出定点P的坐标；‎ ‎（Ⅱ）若直线l在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程．‎ ‎【答案】（Ⅰ）直线l恒过定点P（4，1）．（Ⅱ）x +y-5=0或 ‎【解析】‎ 解：（Ⅰ）直线l方程为（m+2）x-（m+1）y‎-3m-7=0，m∈R，即m（x-y-3）+2x-y-7=0，‎ 令x-y-3=0，可得2x-y-7=0，联立方程组求得，可得直线l恒过定点P（4，1）．‎ ‎（Ⅱ）直线l在x轴，y轴上的截距相等，‎ 令x=0，求得y=-；令y=0，求得，‎ ‎∴-=，解得：m=-或，‎ ‎∴直线l方程为x+y-=0或，即x +y-5=0或 ‎21．【广东省佛山市第一中学2018-2019学年高二上学期期中考试】如图，已知四边形是矩形，是坐标原点，、、、按逆时针排列，的坐标是，．‎ ‎（1）求点的坐标；‎ ‎（2）求所在直线的方程；‎ ‎（3）求的外接圆方程．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）因为四边形是矩形，所在直线的斜率，‎ ‎∴的斜率为，所在的直线方程为，‎ 因为，设，‎ 则，‎ 所以或（舍去），所以点的坐标为．‎ ‎（2）因为与平行，所以所在直线的斜率 所以所在直线的方程为，即 ‎（3）由题意知的外接圆也是矩形的外接圆，所以线段的中点即为圆心，半径 因为，，所以圆心坐标为 又，所以半径 所以外接圆的方程为 ‎22．【上海市华东师范大学第二附属中学2018届高三下学期开学考试】已知抛物线，直线、（），与恰有一个公共点，与恰有一个公共点，与交于点.‎ ‎（1）当时，求点到准线的距离；‎ ‎（2）当与不垂直时，求的取值范围；‎ ‎（3）设是平面上一点，满足且，求和的夹角大小.‎ ‎【答案】(1) (2) (3)‎ ‎【解析】‎ ‎（1），，‎ ‎∵与恰有一个公共点，，∴，‎ 因为抛物线准线为，所以点到准线的距离.‎ ‎（2）由可得，，消去得，‎ 整理得，∴‎ ‎（3）由题得， 联立与得，联立与得，‎ ‎∵，∴，与联立得，‎ 由第（2）问结论，，，消去a得，‎ ‎∴，∵，据此，‎ ‎∴，解得，，∴和的夹角为.‎ 能力提升训练 ‎1．【2019届湘赣十四校高三联考第二次考试】若，，则角的终边所在的直线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 因为，，所以，因此角的终边所在的直线斜率为.‎ 故选C ‎2．【陕西省宝鸡中学2019届高三年级第二次模拟】若直线x＋（1＋m）y－2＝0与直线m＋2y＋4＝0平行，则m的值是（ ）‎ A．1 B．－‎2 ‎C．1或－2 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎①当时，两直线分别为和，此时两直线相交，不合题意．‎ ‎②当时，两直线的斜率都存在，由直线平行可得，解得．‎ 综上可得．‎ 故选A．‎ ‎3．【天津九校联考2019年高三】“”是“直线与直线平行”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 解：若直线：与直线：平行 则，‎ 当时，直线：与直线：，两直线重合，舍 所以“直线：与直线：平行”等价于“”‎ 所以“”是“直线：与直线：平行”的既不充分也不必要条件 故选：D ‎4．【内蒙古2019年呼和浩特市高三年级第二次质量普查调研考试】已知直线的倾斜角为，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 直线的倾斜角为,可得斜率k=tan 则，‎ 故选：B ‎5．【辽宁省朝阳市重点高中2019届高三第四次模拟考试】已知圆的方程为，点在直线上，则圆心到点的最小距离为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 因为圆的方程为，所以其圆心坐标为，‎ 又在直线上，‎ 所以求圆心到点的最小距离，即是求圆心到直线的距离，‎ 由点到直线距离公式可得：.‎ 故选C ‎6．【辽宁省葫芦岛市普通高中2019届高三第二次模拟】当点到直线的距离最大时，m的值为（ ）‎ A．3 B．‎0 ‎C． D．1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 直线可化为，故直线过定点，当和直线垂直时，距离取得最大值，故，故选C.‎ ‎7．【江苏省扬州市扬州中学2018—2019学年度高一第二学期期末检测】在平面直角坐标系中，已知菱形的顶点和，所在直线的方程为. ‎ ‎（1） 求对角线所在直线的方程；‎ ‎（2） 求所在直线的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由和得：，中点 四边形为菱形 ，且为中点，‎ 对角线所在直线方程为：，即：‎ ‎（2）由，解得： ‎ ‎ ‎ 直线的方程为：，即：‎ ‎8．【江苏省淮安市2018-2019学年度高一年级下学期期末】已知三点A(5，0)，B(﹣3，﹣2)，C(0，2)．‎ ‎（1）求直线AB的方程；‎ ‎（2）求BC的中点到直线AB的距离．‎ ‎【答案】(1)x-4y-5=0；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由题得,‎ 所以直线AB的方程为.‎ ‎(2)由题得BC的中点为，‎ 所以BC中点到直线AB的距离为.‎ ‎9．【安徽省郎溪中学2018-2019学高一下学期期末考试】已知点和点.‎ ‎（1）求过点且与直线垂直的直线的一般式方程；‎ ‎（2）求以线段为直径的圆的标准方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由题可得，由于直线与直线垂直，故;‎ 由直线过点，根据点斜式得直线的方程为：，整理的直线 的一般式方程为： ；‎ ‎（2）由于圆以线段为直径，则线段的中点为圆心， ；‎ 圆心坐标为，；‎ 故以线段为直径的圆的标准方程为：。‎ ‎10．【2019年江苏省高考】如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划要求:线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位:百米）．‎ ‎（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；‎ ‎（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；‎ ‎（3）对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离．‎ ‎【答案】（1）15（百米）；‎ ‎（2）见解析；‎ ‎（3）17+（百米）.‎ ‎【解析】‎ 解法一：‎ ‎（1）过A作，垂足为E.‎ 由已知条件得，四边形ACDE为矩形，.‎ 因为PB⊥AB，‎ 所以.‎ 所以.‎ 因此道路PB的长为15（百米）.‎ ‎（2）①若P在D处，由（1）可得E在圆上，则线段BE上的点（除B，E）到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求.‎ ‎②若Q在D处，连结AD，由（1）知，‎ 从而，所以∠BAD为锐角.‎ 所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.‎ 因此，Q选在D处也不满足规划要求.‎ 综上，P和Q均不能选在D处.‎ ‎（3）先讨论点P的位置.‎ 当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；‎ 当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求.‎ 设为l上一点，且，由（1）知，，‎ 此时；‎ 当∠OBP>90°时，在中，.‎ 由上可知，d≥15.‎ 再讨论点Q的位置.‎ 由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，.此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.‎ 综上，当PB⊥AB，点Q位于点C右侧，且CQ=时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+.‎ 因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17+（百米）.‎ 解法二：‎ ‎（1）如图，过O作OH⊥l，垂足为H.‎ 以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立平面直角坐标系.‎ 因为BD=12，AC=6，所以OH=9，直线l的方程为y=9，点A，B的纵坐标分别为3，−3.‎ 因为AB为圆O的直径，AB=10，所以圆O的方程为x2+y2=25.‎ 从而A（4，3），B（−4，−3），直线AB的斜率为.‎ 因为PB⊥AB，所以直线PB的斜率为，‎ 直线PB的方程为.‎ 所以P（−13，9），.‎ 因此道路PB的长为15（百米）.‎ ‎（2）①若P在D处，取线段BD上一点E（−4，0），则EO=4<5，所以P选在D处不满足规划要求.‎ ‎②若Q在D处，连结AD，由（1）知D（−4，9），又A（4，3），‎ 所以线段AD：.‎ 在线段AD上取点M（3，），因为，‎ 所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.‎ 因此Q选在D处也不满足规划要求.‎ 综上，P和Q均不能选在D处.‎ ‎（3）先讨论点P的位置.‎ 当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；‎ 当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求.‎ 设为l上一点，且，由（1）知，，此时；‎ 当∠OBP>90°时，在中，.‎ 由上可知，d≥15.‎ 再讨论点Q的位置.‎ 由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.‎ 当QA=15时，设Q（a，9），由，‎ 得a=，所以Q（，9），此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.‎ 综上，当P（−13，9），Q（，9）时，d最小，此时P，Q两点间的距离 ‎.‎ 因此，d最小时，P，Q两点间的距离为（百米）.‎