数学理卷·2017届福建省晋江市季延中学等四校高三第二次联合考试(2017

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数学理卷·2017届福建省晋江市季延中学等四校高三第二次联合考试(2017

永春一中 培元中学 季延中学 石光中学 ‎ 2017届高三年毕业班第二次联合考试试卷 ‎(理科数学)‎ ‎ 考试时间:120分钟 满分:150分 组卷教师:刘文哲 第I卷 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎(1)已知i为虚数单位,复数满足,则为(  )‎ ‎(A) (B)1 (C) (D)‎ ‎(2)已知集合,,则( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(3)执行右面的程序框图,如果输入的的值为1,则输出 的的值为( )‎ ‎(A)4 (B)13‎ ‎(C)40 (D)121‎ ‎(4)数列{an}中,a2=2,a6=0且数列{}是等差数列,‎ 则a4=(  )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(5)《九章算术》是我国古代数学名著,也是古代东方数学的 代表作.书中有如下问题:“今有勾八步,股一十五步,‎ 问勾中容圆,径几何?”其意思为:“已知直角三角形两 直角边长分别为8步和15步,问其内切圆的直径为多少 步?”现若向此三角形内投豆子,则落在其内切圆内的概 率是(  )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(6)已知a>0,b>0,则++2的最小值是(  )‎ ‎(A)2 (B) (C)4 (D)5‎ ‎(7)如图,某几何体的三视图中,正视图和侧视图都是半径为 的半圆和相同的正三角形,其中三角形的上顶点是半圆的中 点,底边在直径上,则它的表面积是(  )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(8)下列四个图中,函数的图象可能是(  )‎ ‎ ‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(9)已知实数,满足若目标函数的最大值为,最小值为,则实数的取值范围是( )‎ ‎(A) (B) (C)或 (D)‎ ‎(10)设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P,满足|PF2|=|F1F2|,且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心率为(    )‎ ‎(A)       (B)      (C)2      (D)‎ ‎(11)已知从点出发的三条射线,,两两成角,且分别与球相切于,‎ ‎,三点.若球的体积为,则,两点间的距离为( )‎ ‎(A) (B) (C)3 (D)6‎ ‎(12)已知函数满足下列条件:①定义域为;②当时;③.若关于x的方程恰有3个实数解,则实数k的取值范围是( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ 第II卷 二、填空题:本题共4小题,每小题5分。‎ ‎(13)等边△ABC的边长为2,则在方向上的投影为   .‎ ‎(14)过抛物线上任意一点向圆作切线,切点为,则的最小值等于_______. ‎ ‎(15)已知数列满足则的最小值为________.‎ ‎(16)已知函数有两个极值点,则实数的取值范围是________.‎ 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎(17)(本小题满分12分)‎ 在△ABC中,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边长,已知.‎ ‎(I)若a2-c2=b2-mbc,求实数m的值;‎ ‎(II)若a=,求△ABC面积的最大值.‎ ‎(18)(本小题满分12分)‎ 由于当前学生课业负担较重,造成青少年视力普遍下降,现从某校随机抽取16名学生,经校医用对数视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶)如下:‎ ‎(Ⅰ)指出这组数据的众数和中位数;‎ ‎(Ⅱ)若视力测试结果不低于5.0,则称为“好视力”,求校医从这16人中随机选取3人,至多有1人是“好视力”的概率;‎ ‎(Ⅲ)以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据,若从该校(人数很多)任选3人,记表示抽到“好视力”学生的人数,求的分布列及数学期望.‎ ‎(19)(本小题满分12分)‎ 如图,在四棱锥中,底面梯形中,,平面平面是等边三角形,已知.‎ ‎(I)求证:平面平面;‎ ‎(II)求二面角的余弦值.‎ ‎(20)(本小题满分12分)‎ 已知椭圆C:的离心率为,过点.‎ ‎(I)求椭圆C的方程;‎ ‎(II)过A(-a,0)且互相垂直的两条直线l1、l2与椭圆C的另一个交点分别为P、Q.‎ 问:直线PQ是否经过定点?若是,求出该定点;否则,说明理由。‎ ‎(21)(本小题满分12分)‎ 已知,函数,曲线与轴相切.‎ ‎(Ⅰ)求的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)是否存在实数使得恒成立?若存在,求实数的值;若不存在,说明理由.‎ 请考生在第(22)(23)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。‎ ‎(22)(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为:,以O为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(Ⅰ)求曲线C的极坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)已知直线:,射线与曲线C的交点为P,与直线的交点为Q,求线段PQ的长.‎ ‎(23)(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 设函数f (x)=|x-a|+x.‎ ‎(I)当a=2时,求函数f (x)的值域;‎ ‎(II)若g (x)=|x+1|,求不等式g (x)-2>x-f (x)恒成立时a的取值范围.‎ 永春一中 培元中学 季延中学 石光中学 ‎ 2017届高三年毕业班第二次联合考试答案(理科数学)‎ 一、选择题:(每小题5分,共60分)‎ ‎(1)A (2)B (3)C (4)A (5)C (6)C ‎(7)C (8)D (9)D (10)B (11)B (12)D 二、填空题(每小题5分,共20分)‎ ‎(13)-1 (14) (15) (16)‎ 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎(17)(本小题满分12分)‎ 解:(I)由两边平方得2sin2A=3cosA……………………………………1分 即(2cosA-1)(cosA+2)=0,解得cosA=………………………………………………3分 而a2-c2=b2-mbc可以变形为……………………………………4分 即cosA==,所以m=1………………………………………………………………6分 ‎(II)由(I)知cosA=,则sinA=……………………………………………………………7分 由得bc=b2+c2-a2≥2bc-a2,即bc≤a2……………………………9分 故S△ABC=sinA≤·=(当用仅当时,等号成立)…………………11分 ‎∴△ABC面积的最大值为.‎ ‎(18)(本小题满分12分)‎ 解:(I)众数:4.6和4.7;中位数:4.75……………………………………………………3分 ‎(II)设表示所取3人中有个人是“好视力”,至多有1人是“好视力”记为事件,则…………………………………6分 ‎(III)的可能取值为0,1,2,3‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 的分布列为 …………………10分 ‎………………………………………………………………………12分 ‎(19)(本小题满分12分)‎ 解:(Ⅰ)在中,由于,‎ ‎,故.……………2分 又,‎ ‎,……………4分 又,故平面平面 ……………6分 ‎(II)如图建立空间直角坐标系,,,,,,,………………………………………7分 设平面的法向量, ‎ 由 令, .………………………………………8分 设平面的法向量, ‎ 由,令 ,…………9分 ‎………………………………………………………………11分 二面角的余弦值为 ……………………………………………………12分 ‎(20)(本小题满分12分)‎ 解:解:(I)由已知得,解得………………………………………………3分 ‎ ∴椭圆C的方程为………………………………………………………………4分 ‎ (II)由(I)知,设 ‎ ①当轴时,不妨设l1、l2的斜率分别为1,-1,则 ‎ 联立椭圆方程得,同理 ‎ 此时直线PQ与x轴交于点………………………………………………………6分 ‎②当直线PQ与x轴不垂直时,设线PQ方程为 ‎ 代入整理得 ‎ ∴,………………………………………………8分 ‎ ∵,,‎ ‎ ∴‎ ‎ 即 ‎∴…………………………………………9分 ‎∴ ‎ ‎ 化简得,解得或……………………………………10分 ‎ 当时,直线PQ与x轴交点与A重合,不合题意。‎ ‎ ∴直线PQ与x轴交于点…………………………………………………………11分 综上所述,直线PQ经过定点。……………………………………………………12分 ‎(21)(本小题满分12分)‎ 解:(Ⅰ)设切点为,,……………………………………………………1分 依题意即解得 ………………………………3分 ‎+‎ ‎-‎ 单调递增 极大值 单调递减 所以,.当变化时,与的变化情况如下表:‎ 所以的增区间为,减区间为上单调递减. …………………………5分 ‎(Ⅱ)存在,理由如下:…………………………………………………………………… 6分 等价于或 令,,‎ 则,‎ 设,,‎ ‎①若,则当时,,,所以;‎ 当时,,,所以,‎ 所以在单调递减区间为,单调递增为 又,所以,当且仅当时,‎ 从而在上单调递增,又,‎ 所以或即成立. ………………9分 ‎②若, 因为,‎ 所以存在,使得,因为在单调递增,‎ 所以当时,,在上递增,‎ 又,所以当时,,‎ 从而在上递减,又,所以当时,,‎ 此时不恒成立; …………………………………………………11分 ‎③若,同理可得不恒成立.‎ 综上所述,存在实数.……………………………………………………………12分 ‎(22)(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 解:(I)曲线的普通方程为 又,,‎ 所以曲线的极坐标方程为…………………………………5分 ‎(II)设,由,解得, ‎ 设,由,解得 ‎ 所以…………………………………………………………10分 ‎(23)(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 解:(I)由题意得,当a=2时,f(x)= ‎∵f(x)在(2,+∞)上单调递增,‎ ‎∴f(x)的值域为[2,+∞).…………………………………………………………5分 ‎(II)由g(x)=|x+1|,不等式g(x)-2>x-f(x)恒成立,‎ 有|x+1|+|x-a|>2恒成立,即(|x+1|+|x-a|)min>2.‎ 而|x+1|+|x-a|≥|(x+1)-(x-a)|=|1+a|(当用仅当时,等号成立)‎ ‎∴|1+a|>2,解得a>1或a<-3. …………………………………………………10分
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