【数学】2020届一轮复习人教A版 不等式 学案

【数学】2020届一轮复习人教A版 不等式 学案

高考冲刺：不等式 ‎ ‎ ‎【高考展望】‎ ‎1.在选择题填空题中常考查比较大小，解不等式等，并且时常与函数、方程、三角等知识结合出题.‎ ‎2.在选择题与填空题中，需建立不等式求参数的取值范围，以及求最大值和最小值的应用题.‎ ‎3.时常与函数、方程、数列、应用题、解几等知识综合，突出渗透数学思想和方法的考查.‎ ‎4.均值定理单独考查的可能性比较小，更多的是在考查相关知识时辅助考查.‎ ‎5.不等式证明中的综合法、比较法、分析法等重要证明方法的灵活运用.‎ ‎6.在解答题中会出现一些不等式的解法以及建立不等式求参数的取值范围，和求最大值和最小值的应用题，特别是不等式与函数、方程、数列、应用题、解几的综合题，会有与导数结合的函数单调性－函数极值－函数最值问题；这些题目会突出渗透数学思想和方法，值得注意。‎ ‎6.绝对值不等式、柯西不等式在不等式证明中的应用.‎ ‎【知识升华】‎ 不等式368991 知识要点】‎ ‎1．在熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式的解法基础上，掌握其它的一些简单不等式的解法．通过不等式解法的复习，提高分析问题、解决问题的能力以及计算能力．‎ ‎2．掌握解不等式的基本思路，即将分式不等式、绝对值不等式等不等式，化归为整式不等式(组)，会用分类、换元、数形结合的方法解不等式．‎ ‎3．通过复习不等式的性质及常用的证明方法(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等)，使学生较灵活的运用常规方法(即通性通法)证明不等式的有关问题．‎ ‎4．通过证明不等式的过程，培养自觉运用数形结合、函数等基本数学思想方法证明不等式的能力．‎ ‎5．能较灵活的应用不等式的基本知识、基本方法，解决有关不等式的问题． ‎ ‎6．通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高分析问题解决问题的能力．在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中，提高学生数学素质及创新意识． ‎ ‎7. 了解绝对值不等式、柯西不等式的几种不同形式，并会应用.‎ ‎【典型例题】‎ 类型一、解不等式 不等式368991 例2】‎ 例1.解关于的不等式 ‎【思路分析】这是一个二次型不等式，需要先从讨论k是否等于0开始.‎ ‎【解析】当时，原不等式即，解得 时，‎ 当时，解原不等式得 当时，解原不等式得 当时，解原不等式得 或 当时，解原不等式得 综上，当时，不等式解集为 当时，不等式解集为 当时，不等式解集为 当时，不等式解集为 当时，不等式解集为 举一反三：‎ ‎【变式1】设集合,,那么“”是“”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【答案】A.‎ ‎【解析】∵，‎ ‎∴，（如图）‎ ‎ ，故“”是“”充分而不必要条件.‎ ‎【变式2】记关于的不等式的解集为，不等式的解集为．‎ ‎（I）若，求；‎ ‎（II）若，求正数的取值范围．‎ ‎【解析】（I）由，得．‎ ‎（II）．‎ 由，得，又，所以，‎ 即的取值范围是．‎ 例2.已知x满足：，求的最大值和最小值．.‎ ‎【解析】先求得．把f（x）整理，得：‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】二次函数对一切R都有，解不等式 ‎【解析】∵ ，‎ ‎，‎ 又f（x）在，2上递增，‎ 由原不等式，得：‎ ‎ ‎ 类型二、线性规划中的不等式 例3（2018 重庆高考）若不等式组，表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为（　　）‎ A．﹣3 B．1 C． D．3‎ ‎【思路点拨】作出不等式组对应的平面区域，求出三角形各顶点的坐标，利用三角形的面积公式进行求解即可.‎ ‎【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：‎ 若表示的平面区域为三角形，‎ 由，得，即A（2，0），‎ 则A（2，0）在直线x﹣y+2m=0的下方，‎ 即2+2m＞0，‎ 则m＞﹣1，‎ 则A（2，0），D（﹣2m，0），‎ 由，解得，即B（1﹣m，1+m），‎ 由，解得，即C（，）．‎ 则三角形ABC的面积S△ABC=S△ADB﹣S△ADC ‎ ‎=|AD||yB﹣yC|‎ ‎=（2+2m）（1+m﹣）‎ ‎=（1+m）（1+m﹣）=，‎ 即（1+m）×=，‎ 即（1+m）2=4‎ 解得m=1或m=﹣3（舍），故选：B 举一反三：‎ ‎【变式1】（2018 嘉峪关校级三模）在坐标平面上，不等式组所表示的平面区域的面积为（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎【解析】画出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分，‎ 由题意M（2，3），N（ ），P（0，﹣1），Q（0，1）‎ 不等式组 所表示的平面区域的面积为：=‎ 故选B．‎ ‎【变式2】不等式组在xy平面上的解的集合为（ ）‎ A．四边形内部 B. 三角形內部 C.一点 D.空集 ‎【答案】不等式组所表示的平面区域图形如下,‎ ‎ ‎ ‎∴交集为三角形内部，选B。‎ 类型三、不等式知识的综合应用 例4.已知A(,)，B(,)是函数的图象上的任意两点（可以重合），点M在直线上，且=.‎ ‎（Ⅰ）求+的值及+的值 ‎（Ⅱ）已知=0，当n≥2时，=+++，求；‎ ‎（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设=，为数列{}的前项和，若存在正整数、m，使得不等式成立，求c和m的值.‎ ‎【解析】（Ⅰ）∵点M在直线x=上，设M.又＝，‎ 即，，∴+=1. ‎ ‎①当=时，=，+=；‎ ‎②当时，，‎ ‎+=+=‎ ‎==；‎ 综合①②得，+. ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当+=1时, +‎ ‎.∴，k=. ‎ n≥2时，+++ ， ① ， ②‎ ‎①＋②得，2=-2(n-1),则=1-n. ‎ n=1时，=0满足=1-n. ∴=1-n. ‎ ‎（Ⅲ）==，=1++=.‎ ‎.‎ ‎=2-，=-2+=2-，‎ ‎∴，、m为正整数，∴c=1，‎ 当c=1时，，∴1<<3，∴m=1.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】设函数．‎ ‎（Ⅰ）求f(x)的单调区间和极值；‎ ‎（Ⅱ）是否存在实数a，使得关于x的不等式的解集为（0，+）？若存在，求a的取值范围；若不存在，试说明理由．‎ ‎【解析】（Ⅰ）．‎ 故当时，，时，．‎ 所以在单调递增，在单调递减．‎ 由此知在的极大值为，没有极小值．‎ ‎（Ⅱ）（ⅰ）当时，由于 ‎，‎ 故关于的不等式的解集为．‎ ‎（ⅱ）当时，由知 ‎，其中为正整数，‎ 且有．‎ 又时，，‎ 且．‎ 取整数满足，‎ ‎，且，‎ 则，‎ 即当时，关于的不等式的解集不是．‎ 综合（ⅰ）（ⅱ）知，存在，使得关于的不等式的解集为，‎ 且的取值范围为.‎ ‎【变式2】用长为的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？‎ ‎【解析】设长方体的宽为，‎ 则长为，高为 故长方体的体积为 从而 令,解得（舍去）或，因此.‎ 当时；当时，‎ 故在处取得极大值，并且这个极大值就是的最大值.‎ 从而最大体积 此时长方体的长为，高为.‎ 答：当长体的长为，宽为，高为时，体积最大，最大体积为. ‎ ‎【变式3】（Ⅰ）设证明，‎ ‎（Ⅱ），证明.‎ 证明：‎ ‎(Ⅰ)由于，，所以 ‎．‎ 将上式中的右式减左式，得 ‎．‎ 既然，，所以，从而所要证明的不等式成立．‎ ‎(Ⅱ)设，，由对数的换底公式得 ‎，，，．‎ 于是，所要证明的不等式即为 ‎．‎ 其中，．‎ 故由(Ⅰ)立知所要证明的不等式成立．‎ 类型四、绝对值不等式、柯西不等式问题 例5.已知函数，且的解集为。‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若，且，求证：。‎ ‎【解析】(1)∵‎ 的解集是 故。‎ ‎(2)由（1）知,由柯西不等式得 ‎。‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】已知函数 ‎(1)当时,求不等式的解集;‎ ‎(2)若的解集包含,求的取值范围.‎ ‎【解析】(1)当时, ‎ 或或 ‎ 或 ‎ ‎(2)原命题在上恒成立 ‎ 在上恒成立 ‎ 在上恒成立 ‎ ‎ ‎