高中数学 1_1_3 导数的几何意义同步练习 新人教A版选修2-2

高中数学 1_1_3 导数的几何意义同步练习 新人教A版选修2-2

选修2-2 1.1 第3课时 导数的几何意义 一、选择题 ‎1．如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么(　　)‎ A．f′(x0)＞0　　　　　　 B．f′(x0)＜0‎ C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在 ‎[答案]　B ‎[解析]　切线x＋2y－3＝0的斜率k＝－，即f′(x0)＝－＜0.故应选B.‎ ‎2．曲线y＝x2－2在点处切线的倾斜角为(　　)‎ A．1 B. C.π D．－ ‎[答案]　B ‎[解析]　∵y′＝li ‎＝li (x＋Δx)＝x ‎∴切线的斜率k＝y′|x＝1＝1.‎ ‎∴切线的倾斜角为，故应选B.‎ ‎3．在曲线y＝x2上切线的倾斜角为的点是(　　)‎ A．(0,0) B．(2,4)‎ C. D. ‎[答案]　D ‎[解析]　易求y′＝2x，设在点P(x0，x)处切线的倾斜角为，则2x0＝1，∴x0＝，∴P.‎ ‎4．曲线y＝x3－3x2＋1在点(1，－1)处的切线方程为(　　)‎ A．y＝3x－4 B．y＝－3x＋2‎ C．y＝－4x＋3 D．y＝4x－5‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　y′＝3x2－6x，∴y′|x＝1＝－3.‎ 由点斜式有y＋1＝－3(x－1)．即y＝－3x＋2.‎ ‎5．设f(x)为可导函数，且满足 ＝－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为(　　)‎ A．2　　　　 B．－1　 　　‎ C．1　　　　 D．－2‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　 ＝ ‎＝－1，即y′|x＝1＝－1，‎ 则y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为－1，故选B.‎ ‎6．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线(　　)‎ A．不存在 B．与x轴平行或重合 C．与x轴垂直 D．与x轴斜交 ‎[答案]　B ‎[解析]　由导数的几何意义知B正确，故应选B.‎ ‎7．已知曲线y＝f(x)在x＝5处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)及f′(5)分别为(　　)‎ A．3,3 B．3，－1‎ C．－1,3 D．－1，－1‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　由题意易得：f(5)＝－5＋8＝3，f′(5)＝－1，故应选B.‎ ‎8．曲线f(x)＝x3＋x－2在P点处的切线平行于直线y＝4x－1，则P点的坐标为(　　)‎ A．(1,0)或(－1，－4) B．(0,1)‎ C．(－1,0) D．(1,4)‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　∵f(x)＝x3＋x－2，设xP＝x0，‎ ‎∴Δy＝3x·Δx＋3x0·(Δx)2＋(Δx)3＋Δx，‎ ‎∴＝3x＋1＋3x0(Δx)＋(Δx)2，‎ ‎∴f′(x0)＝3x＋1，又k＝4，‎ ‎∴3x＋1＝4，x＝1.∴x0＝±1，‎ 故P(1,0)或(－1，－4)，故应选A.‎ ‎9．设点P是曲线y＝x3－x＋上的任意一点，P点处的切线倾斜角为α，则α的取值范围为(　　)‎ A.∪ B.∪ C. D. ‎[答案]　A ‎[解析]　设P(x0，y0)，‎ ‎∵f′(x)＝li ‎＝3x2－，∴切线的斜率k＝3x－，‎ ‎∴tanα＝3x－≥－.‎ ‎∴α∈∪.故应选A.‎ ‎10．(2010·福州高二期末)设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为[0，]，则点P横坐标的取值范围为(　　)‎ A．[－1，－] B．[－1,0]‎ C．[0,1] D．[，1]‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　考查导数的几何意义．‎ ‎∵y′＝2x＋2，且切线倾斜角θ∈[0，]，‎ ‎∴切线的斜率k满足0≤k≤1，即0≤2x＋2≤1，‎ ‎∴－1≤x≤－.‎ 二、填空题 ‎11．已知函数f(x)＝x2＋3，则f(x)在(2，f(2))处的切线方程为________．‎ ‎[答案]　4x－y－1＝0‎ ‎[解析]　∵f(x)＝x2＋3，x0＝2‎ ‎∴f(2)＝7，Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝4·Δx＋(Δx)2‎ ‎∴＝4＋Δx.∴li ＝4.即f′(2)＝4.‎ 又切线过(2,7)点，所以f(x)在(2，f(2))处的切线方程为y－7＝4(x－2)‎ 即4x－y－1＝0.‎ ‎12．若函数f(x)＝x－，则它与x轴交点处的切线的方程为________．‎ ‎[答案]　y＝2(x－1)或y＝2(x＋1)‎ ‎[解析]　由f(x)＝x－＝0得x＝±1，即与x轴交点坐标为(1,0)或(－1,0)．‎ ‎∵f′(x)＝li ‎＝li ＝1＋.‎ ‎∴切线的斜率k＝1＋＝2.‎ ‎∴切线的方程为y＝2(x－1)或y＝2(x＋1)．‎ ‎13．曲线C在点P(x0，y0)处有切线l，则直线l与曲线C的公共点有________个．‎ ‎[答案]　至少一 ‎[解析]　由切线的定义，直线l与曲线在P(x0，y0)处相切，但也可能与曲线其他部分有公共点，故虽然相切，但直线与曲线公共点至少一个．‎ ‎14．曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，斜率最小的切线方程为________．‎ ‎[答案]　3x－y－11＝0‎ ‎[解析]　设切点P(x0，y0)，则过P(x0，y0)的切线斜率为，它是x0的函数，求出其最小值．‎ 设切点为P(x0，y0)，过点P的切线斜率k＝＝3x＋6x0＋6＝3(x0＋1)2＋3.当x0＝－1时k有最小值3，此时P的坐标为(－1，－14)，其切线方程为3x－y－11＝0.‎ 三、解答题 ‎15．求曲线y＝－上一点P处的切线方程．‎ ‎[解析]　∴y′＝ ‎＝ ‎＝ ＝－－ .‎ ‎∴y′|x＝4＝－－＝－，‎ ‎∴曲线在点P处的切线方程为：‎ y＋＝－(x－4)．‎ 即5x＋16y＋8＝0.‎ ‎16．已知函数f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一点P(1，－2)，过点P作直线l.‎ ‎(1)求使直线l和y＝f(x)相切且以P为切点的直线方程；‎ ‎(2)求使直线l和y＝f(x)相切且切点异于点P的直线方程y＝g(x)．‎ ‎[解析]　(1)y′＝li ＝3x2－3.‎ 则过点P且以P(1，－2)为切点的直线的斜率 k1＝f′(1)＝0，‎ ‎∴所求直线方程为y＝－2.‎ ‎(2)设切点坐标为(x0，x－3x0)，‎ 则直线l的斜率k2＝f′(x0)＝3x－3，‎ ‎∴直线l的方程为y－(x－3x0)＝(3x－3)(x－x0)‎ 又直线l过点P(1，－2)，‎ ‎∴－2－(x－3x0)＝(3x－3)(1－x0)，‎ ‎∴x－3x0＋2＝(3x－3)(x0－1)，‎ 解得x0＝1(舍去)或x0＝－.‎ 故所求直线斜率k＝3x－3＝－，‎ 于是：y－(－2)＝－(x－1)，即y＝－x＋.‎ ‎17．求证：函数y＝x＋图象上的各点处的切线斜率小于1.‎ ‎[解析]　y′＝li ‎＝li ‎＝li ‎＝li ‎＝＝1－＜1，‎ ‎∴y＝x＋图象上的各点处的切线斜率小于1.‎ ‎18．已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.‎ ‎(1)求直线l2的方程；‎ ‎(2)求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积．‎ ‎[解析]　(1)y′|x＝1‎ ‎＝li ＝3，‎ 所以l1的方程为：y＝3(x－1)，即y＝3x－3.‎ 设l2过曲线y＝x2＋x－2上的点B(b，b2＋b－2)，‎ y′|x＝b＝li ‎＝2b＋1，所以l2的方程为：y－(b2＋b－2)＝(2b＋1)·(x－b)，即y＝(2b＋1)x－b2－2.‎ 因为l1⊥l2，所以3×(2b＋1)＝－1，所以b＝－，所以l2的方程为：y＝－x－.‎ ‎(2)由得 即l1与l2的交点坐标为.‎ 又l1，l2与x轴交点坐标分别为(1,0)，.‎ 所以所求三角形面积S＝××＝.‎