高中数学选修2-2课时练习第五章 2_1

高中数学选修2-2课时练习第五章 2_1

‎§2　复数的四则运算 ‎2．1　复数的加法与减法 ‎[学习目标]‎ ‎1．掌握复数代数形式的加、减运算法则．‎ ‎2．理解复数代数形式的加、减运算的几何意义．‎ ‎[知识链接]‎ 复数代数形式的加法法则是怎样规定的，你怎样理解其规定的合理性．‎ 答　对于两个复数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)而言：‎ ‎(1)当b＝0，d＝0时，与实数加法法则一致；‎ ‎(2)实数加法运算的交换律、结合律在复数集C中仍然成立；‎ ‎(3)符合向量加法的平行四边形法则．‎ ‎[预习导引]‎ ‎1．复数的加、减法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，‎ 则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.‎ 即两个复数的和(或差)仍然是一个复数，它的实部是原来两个复数的实部的和(或差)，它的虚部是原来两个复数的虚部的和(或差)．‎ ‎2．复数加法的运算律 ‎(1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1.‎ ‎(2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．‎ ‎3．复数加减法的几何意义 如图：设复数z1，z2对应向量分别为，，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则与z ‎1＋z2对应的向量是，与z1－z2对应的向量是.‎ 要点一　复数加减法的运算 例1　(1)计算(2＋4i)＋(3－4i)；‎ ‎(2)计算(－3－4i)＋(2＋i)－(1－5i)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 解　(1)原式＝(2＋3)＋(4－4)i＝5.‎ ‎(2)原式＝(－3＋2－1)＋(－4＋1＋5)i＝－2＋2i.‎ 规律方法　复数的加减法运算，就是实部与实部相加减做实部，虚部与虚部相加减作虚部，同时也把i看作字母，类比多项式加减中的合并同类项．‎ 跟踪演练1　计算：‎ ‎(1)(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)；‎ ‎(2)1＋(i＋i2)＋(－1＋2i)＋(－1－2i)．‎ 解　(1)原式＝(5－2－3)＋(－6－1－4)i＝－11i.‎ ‎(2)原式＝1＋(i－1)＋(－1＋2i)＋(－1－2i)‎ ‎＝(1－1－1－1)＋(1＋2－2)i＝－2＋i.‎ 要点二　复数加减法的几何意义 例2　复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．‎ 解　‎ 设复数z1，z2，z3在复平面内所对应的点分别为A，B，C，正方形的第四个顶点D对应的复数为x＋yi(x，y∈R)，如图．‎ 则＝－＝(x，y)－(1,2)＝(x－1，y－2)，‎ ＝－＝(－1,2)－(－2,1)＝(1，－3)．‎ ‎∵＝，‎ ‎∴解得 故点D对应的复数为2－i.‎ 规律方法　复数的加减法可以转化为向量的加减法，体现了数形结合思想在复数中的运用．‎ 跟踪演练2　‎ 如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别表示0,3＋2i，－2＋4i.‎ 求：(1)表示的复数；‎ ‎(2)对角线表示的复数；‎ ‎(3)对角线表示的复数．‎ 解　(1)因为＝－，‎ 所以表示的复数为－3－2i.‎ ‎(2)因为＝－，‎ 所以对角线表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)‎ ‎＝5－2i.‎ ‎(3)因为对角线＝＋，‎ 所以对角线表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)‎ ‎＝1＋6i.‎ 要点三　复数加减法的综合应用 例3　已知|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，求|z1＋z2|.‎ 解　法一　设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，‎ ‎∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，‎ ‎∴a2＋b2＝c2＋d2＝1，①‎ ‎(a－c)2＋(b－d)2＝1②‎ 由①②得‎2ac＋2bd＝1，‎ ‎∴|z1＋z2|＝ ‎＝＝.‎ 法二　设O为坐标原点，‎ z1，z2，z1＋z2对应的点分别为A，B，C.‎ ‎∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，‎ ‎∴△OAB是边长为1的正三角形，‎ ‎∴四边形OACB是一个内角为60°，边长为1的菱形，‎ 且|z1＋z2|是菱形的较长的对角线OC的长，‎ ‎∴|z1＋z2|＝||‎ ‎＝＝.‎ 规律方法　(1)设出复数z＝x＋yi(x，y∈R)，利用复数相等或模的概念，可把条件转化为x，y满足的关系式，利用方程思想求解，这是本章“复数问题实数化”思想的应用．‎ ‎(2)在复平面内，z1，z2对应的点为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB：①为平行四边形；②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；③若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．‎ 跟踪演练3　本例中，若条件变成|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝.求|z1－z2|.‎ 解　由|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝，知z1，z2，z1＋z2对应的点是一个边长为1的正方形的三个顶点，所求|z1－z2|是这个正方形的一条对角线长，所以|z1－z2|＝.‎ ‎1．若复数z满足z＋i－3＝3－i，则z等于(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A．0 B．2i C．6 D．6－2i 答案　D 解析　z＝3－i－(i－3)＝6－2i.‎ ‎2．已知复数z1＝‎3m＋mi，z2＝2＋i，则当0，m－1<0.所以点Z位于第四象限．故选D.‎ ‎3．在复平面内，O是原点，，，表示的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i，则表示的复数为(　　)‎ A．2＋8i B．－6－6i C．4－4i D．－4＋2i 答案　C 解析　＝－＝－(＋)＝(4，－4)．‎ ‎∴表示的复数为4－4i.‎ ‎4．若|z－1|＝|z＋1|，则复数z对应的点在(　　)‎ A．实轴上 B．虚轴上 C．第一象限 D．第二象限 答案　B 解析　∵|z－1|＝|z＋1|，∴点Z到(1,0)和(－1,0)的距离相等，即点Z在以(1,0)和(－1,0)为端点的线段的中垂线上．‎ ‎5．已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则a＝________.‎ 答案　－1‎ 解析　z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i(a∈R)为纯虚数，∴解得a＝－1.‎ ‎1．复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算．‎ ‎2．复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则．复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则．‎ 一、基础达标 ‎1．复数z1＝2－i，z2＝－2i，则z1＋z2等于(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A．0 B.＋i C.－i D.－i 答案　C 解析　z1＋z2＝－i＝－i.‎ ‎2．若z＋3－2i＝4＋i，则z等于(　　)‎ A．1＋i B．1＋3i ‎ C．－1－i D．－1－3i 答案　B 解析　z＝4＋i－(3－2i)＝1＋3i.‎ ‎3．复数z1＝3＋i，z2＝－1－i，则z1－z2等于(　　)‎ A．2 B．2＋2i ‎ C．4＋2i D．4－2i 答案　C ‎4．设z1＝2＋bi，z2＝a＋i，当z1＋z2＝0时，复数a＋bi为(　　)‎ A．1＋i B．2＋i C．3 D．－2－i 答案　D 解析　由，得，∴a＋bi＝－2－i.‎ ‎5．若复数z1＝－1，z2＝2＋i分别对应复平面上的点P、Q，则向量对应的复数是________．‎ 答案　3＋i 解析　∵P(－1,0)，Q(2,1)，∴＝(3,1)，‎ ‎∴对应的复数为3＋i.‎ ‎6．若|z－2|＝|z＋2|，则|z－1|的最小值是________．‎ 答案　1‎ 解析　由|z－2|＝|z＋2|，知z对应点的轨迹是到(2,0)与到(－2,0)距离相等的点，即虚轴．|z－1|表示z对应的点与(1,0)的距离．∴|z－1|min＝1.‎ ‎7．计算：(1)(－7i＋5)－(9－8i)＋(3－2i)；‎ ‎(2)＋(2－i)－.‎ ‎(3)已知z1＝2＋3i，z2＝－1＋2i，求z1＋z2，z1－z2.‎ 解　(1)(－7i＋5)－(9－8i)＋(3－2i)‎ ‎＝－7i＋5－9＋8i＋3－2i ‎＝(5－9＋3)＋(－7＋8－2)i＝－1－i.‎ ‎(2)＋(2－i)－ ‎＝＋i＋2－i－＋i ‎＝＋i＝1＋i.‎ ‎(3)z1＋z2＝2＋3i＋(－1＋2i)＝1＋5i，‎ z1－z2＝2＋3i－(－1＋2i)＝3＋i.‎ 二、能力提升 ‎8．已知|z|＝3，且z＋3i是纯虚数，则z等于(　　)‎ A．－3i B．3i C．±3i D．4i 答案　B 解析　设z＝a＋bi(a、b∈R)，‎ 则z＋3i＝a＋bi＋3i＝a＋(b＋3)i为纯虚数，‎ ‎∴a＝0，b＋3≠0，又|b|＝3，∴b＝3，z＝3i.‎ ‎9．复平面内点A，B，C对应的复数分别为i,1,4＋2i，由A→B→C→D按逆时针顺序作▱ABCD，则||等于(　　)‎ A．5 B. ‎ C. D. 答案　B 解析　如图，‎ 设D(x，y)，F为▱ABCD的对角线的交点，则点F的坐标为，‎ 所以，即 所以点D对应的复数为z＝3＋3i，‎ 所以＝－＝(3,3)－(1,0)＝(2,3)，‎ 所以||＝.‎ ‎10．如果一个复数与它的模的和为5＋i，那么这个复数是________．‎ 答案　＋i 解析　设这个复数为x＋yi(x，y∈R)‎ ‎∴x＋yi＋＝5＋i，‎ ‎∴，‎ ‎∴ ‎∴x＋yi＝＋i.‎ ‎11．复平面内有A，B，C三点，点A对应的复数是2＋i，向量对应的复数是1＋2i，向量对应的复数是3－i，求C点在复平面内的坐标．‎ 解　∵＝－，‎ ‎∴对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i，‎ 设C(x，y)，则(x＋yi)－(2＋i)＝2－3i，‎ ‎∴x＋yi＝(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i，‎ 故x＝4，y＝－2.‎ ‎∴C点在复平面内的坐标为(4，－2)．‎ ‎12．已知ABCD是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别是 ‎1＋3i，－i,2＋i，求点D对应的复数．‎ 解　法一　设D点对应的复数为x＋yi(x，y∈R)，‎ 则D(x，y)，又由已知A(1,3)，B(0，－1)，C(2,1)．‎ ‎∴AC中点为，BD中点为.‎ ‎∵平行四边形对角线互相平分，‎ ‎∴，∴.‎ 即点D对应的复数为3＋5i.‎ 法二　设D点对应的复数为x＋yi(x，y∈R)．‎ 则对应的复数为(x＋yi)－(1＋3i)‎ ‎＝(x－1)＋(y－3)i，‎ 又对应的复数为(2＋i)－(－i)＝2＋2i，‎ 由于＝.∴(x－1)＋(y－3)i＝2＋2i.‎ ‎∴，∴.‎ 即点D对应的复数为3＋5i.‎ 三、探究与创新 ‎13．在复平面内A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，‎ ‎－1＋2i.‎ ‎(1)求，，对应的复数；‎ ‎(2)判断△ABC的形状；‎ ‎(3)求△ABC的面积．‎ 解　(1)对应的复数为2＋i－1＝1＋i，‎ 对应的复数为－1＋2i－(2＋i)＝－3＋i，‎ 对应的复数为－1＋2i－1＝－2＋2i，‎ ‎(2)∵||＝，||＝，||＝＝2，‎ ‎∴||2＋||2＝||2，‎ ‎∴△ABC为直角三角形．‎ ‎(3)S△ABC＝××2＝2.‎