数学文卷·2018届湖南省桃江一中高三上学期期中考试（2017

数学文卷·2018届湖南省桃江一中高三上学期期中考试（2017

桃江一中2017年下学期期中考试 高三数学文科 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1. 已知集合，，则 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎2.在复平面内，复数对应的点位于（ ）‎ A． 第一象限 B． 第二象限 C．第三象限 D． 第四象限 ‎3. “”是“”的（ ）‎ A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要 ‎4.已知， ，，则 ( ) 　‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎5.已知等比数列{}的前n项和，则…等于（ 　）‎ ‎　　A．　　　　　　　　　　B．‎ ‎　　C．　　　　　　　　　　　 D．‎ ‎6．某程序框图如右图所示，运行该程序输出的值是( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎7．若两个非零向量，满足|+|=|﹣|=2||，则向量+与﹣的夹角是（　　）‎ ‎　 A． B． C． D． ‎ ‎8．若直线上存在点满足，则实数的取值范围是( ) ‎ A． B． C． D．‎ ‎9．一个几何体的三视图如图所示，‎ 则该几何体的体积为( )‎ A． B． C． D． ‎10．设点P是双曲线（a＞0，b＞0）与圆在第一象限的交点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，且｜PF1｜＝3｜PF2｜，则双曲线的离心率为( )‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知函数f（x）＝Asin（ωx＋）＋B（A＞0，ω＞0，｜｜＜）‎ 的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象向左平移m（m>0）‎ 个单位后，得到的图象关于点（，－1）对称，则m的最小值是( )‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎12. 已知函数，若对任意的，‎ 恒成立，则实数的取值范围是( )‎ A． B． C. D．‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．‎ ‎13．在区间上随机选取两个数和，则满足的概率为 ．‎ ‎14.已知等差数列的前项和为，若，则 ．‎ ‎15.已知是球表面上的点,,,,‎ ‎,则球的表面积等于 . ‎ ‎16．在△ABC中，∠A＝，O为平面内一点．且｜｜＝｜｜＝｜｜，M为劣弧上一动点，且＝p＋q，则p＋q的取值范围为 .‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17.已知△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且，D在线段AC上，.（Ⅰ）若△BCD的面积为24，求CD的长；（Ⅱ）若，且，，求CD的长.‎ ‎18．(本小题满分12分)2016年上半年数据显示，某市空气质量在其所在省中排名倒数第三，PM10(可吸入颗粒物)和PM2.5(细颗粒物)分别排在倒数第一和倒数第四，这引起有关部门高度重视，该市采取一系列“组合拳”治理大气污染，计划到2016年底，全年优、良天数达到190天．下表是‎2016年9月1日到‎9月15日该市的空气质量指数(AQI)，其中空气质量指数划分为0～50，51～100，101～150，151～200，201～300和大于300六档，对应空气质量依次为优、良、轻度污染、中度污染、重度污染、严重污染．‎ 日期 ‎9月 ‎1日 ‎9月 ‎2日 ‎9月 ‎3日 ‎9月 ‎4日 ‎9月 ‎5日 ‎9月 ‎6日 ‎9月 ‎7日 ‎9月 ‎8日 ‎9月 ‎9日 ‎9月 ‎10日 ‎9月 ‎11日 ‎9月 ‎12日 ‎9月 ‎13日 ‎9月 ‎14日 ‎9月 ‎15日 AQI指数 ‎72‎ ‎74‎ ‎115‎ ‎192‎ ‎138‎ ‎123‎ ‎74‎ ‎80‎ ‎105‎ ‎73‎ ‎91‎ ‎90‎ ‎77‎ ‎109‎ ‎124‎ PM2.5‎ ‎36‎ ‎29‎ ‎76‎ ‎112‎ ‎89‎ ‎85‎ ‎40‎ ‎32‎ ‎59‎ ‎35‎ ‎45‎ ‎59‎ ‎53‎ ‎79‎ ‎89‎ PM10‎ ‎76‎ ‎86‎ ‎148‎ ‎199‎ ‎158‎ ‎147‎ ‎70‎ ‎83‎ ‎121‎ ‎75‎ ‎96‎ ‎90‎ ‎63‎ ‎113‎ ‎140‎ ‎（Ⅰ）指出这15天中PM2.5的最大值及PM10的最大值；‎ ‎（Ⅱ）从这15天中连续取2天，求这2天空气质量均为优、良的概率；‎ ‎（Ⅲ）已知2016年前8个月(每个月按30天计算)该市空气质量为优、良的天数约占55%，用9月份这15天空气质量优、良的频率作为2016年后4个月空气质量优、良的概率(不考虑其他因素)，估计该市到2016年底，能否完成全年优、良天数达到190天的目标．‎ ‎19.（本小题12分）‎ 已知等腰梯形(图1)中,,,,是 ‎ 中点,将沿折起,构成四棱锥(图2),分别是的中点.‎ ‎ ‎ A ‎ ‎ B ‎ ‎ C ‎ ‎ D ‎ ‎ E ‎ ‎ 图 ‎1‎ ‎ ‎ ‎（1）求证:平面;‎ ‎（2）当平面平面时,求点到平面的距离.‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 已知中心在坐标系原点，焦点在轴上的椭圆离心率为，直线与椭圆的两个交点间的距离为.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过下焦点的直线交椭圆于两点，点为椭圆的上顶点，求面积的最大值.‎ ‎21. 已知函数（,是自然对数的底数）.‎ ‎（1）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所作的第一题记分． ‎ ‎22．（本题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求圆C的普通方程；（Ⅱ）直线的极坐标方程是，射线与圆C的交点为O、P，与直线的交点为Q，求线段PQ的长.‎ ‎23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数，不等式的解集为.（Ⅰ）求；（Ⅱ）证明：当，时，.‎ 桃江一中2017年下学期期中考试 高三数学文科答案 一、选择题：‎ ‎ 1-5 ADAAD, 6-10 BCBCC 11、12 AB 二、填空题：‎ ‎13. 14. 10 15. 16. ‎ 三、解答题：‎ ‎ ……10分 ‎17.解：（Ⅰ）由，解得.‎ 在中，，‎ 即， .‎ ‎（Ⅱ）因为，且，可以求得，.‎ 依题意，，即，解得.‎ 因为，故，故.‎ 在中，由正弦定理可得，解得.‎ ‎18.解：(1)这15天中PM2.5的最大值为112，PM10的最大值为199.2分 ‎(2)从这15天中连续取2天的取法有(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)，(5，6)，(6，7)，(7，8)，(8，9)，(9，10)，(10，11)，(11， 12)，(12，13)，(13，14)，(14，15)，共14种.5分 这2天空气质量均为优、良的取法有(1，2)，(7，8), (10，11)，(11，12)， (12，13)，共5种．所以从这15天中连续取2天，这2天空气质量均为优、良的概率为.8分 ‎(3)由前8个月空气质量优、良的天数约占55%，可得空气质量优、良的天数为55%×240＝132，10分 ‎9月份这15天空气优、良的天数有8天，空气质量优、良的频率为，2016年后4个月该市空气质量优、良的天数约为120×＝64，132＋64＝196>190，‎ 所以估计该市到2016年底，能完成全年优、良天数达到190天的目标.12分 ‎19.（1）证明：取的中点,连接.‎ 都是等边三角形,,‎ ‎,平面.‎ A ‎ ‎ B ‎ ‎ C ‎ ‎ D ‎ ‎ P ‎ ‎ M ‎ ‎ N ‎ ‎ 图 ‎2‎ ‎ ‎ 分别为的中点,,‎ ‎,四边形是平行四边形.‎ ‎,平面平面平面 ‎(2)设点到平面的距离为 平面平面,平面 ‎,=.‎ ‎20.解（1）因为，所以①‎ 又直线与椭圆的两个交点间的距离为.‎ 所以椭圆过点，代入椭圆方程得②‎ 又③‎ 由①②③得 所以椭圆方程为…………………………….4分 ‎（2）设直线的方程为 由得 显然，设 则………………………….6分 所以 ‎=‎ 又点到直线的距离为 所以…………………………9分 令，则 所以 因为，在上单调递增 所以当时，即时，取最小值4‎ 所以…………………………………………….12分 ‎21.【解析】（Ⅰ）当时，有，‎ 则．‎ 又因为，‎ ‎∴曲线在点处的切线方程为，即．‎ ‎（Ⅱ）因为，令 有（）且函数在上单调递增 ‎ 当时，有，此时函数在上单调递增，则 ‎（ⅰ）若即时，有函数在上单调递增，‎ 则恒成立；‎ ‎（ⅱ）若即时，则在存在，‎ 此时函数在 上单调递减，上单调递增且，‎ 所以不等式不可能恒成立，故不符合题意；‎ 当时，有，则在存在，此时上单调递减，上单调递增所以函数在上先减后增．‎ 又，则函数在上先减后增且．‎ 所以不等式不可能恒成立，故不符合题意；‎ 综上所述，实数的取值范围为． ‎ ‎22.(I)由圆的参数方程（为参数）知，圆的圆心为，‎ 半径为，圆的普通方程为 ……4分 将代入得圆的极坐标方程为 ……5分 设，则由解得 ……7分 设，则由解得 ……9分 所以 ‎ ‎23.解：（Ⅰ）‎ 由的单调性及得，或． ‎ 所以不等式的解集为. ……5分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，所以，，‎ ‎， 所以，‎ 从而有． ……10分 ‎