湖南省2013届高三六校联考数学理

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湖南省2013年六校联考数学（理）考试试题卷 ‎ 湘潭市一中、长沙市一中、师 大 附中、‎ ‎ 岳阳市一中、株洲市二中、常德市一中 时量120分钟 满分150分 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1、已知全集U=｛0,1,2,3,4,5｝，集合A=｛0,1,3｝，集合B=｛0,3,4,5｝，则（ ）‎ A . B. C. D. ‎ ‎2、下列说法中正确的是（ ）．‎ A．“”是“”必要不充分条件；‎ B．命题“对，恒有”的否定是“，使得”．‎ C．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx (x∈R)是奇函数 D．设，是简单命题，若是真命题，则也是真命题；‎ ‎3、两个变量与的回归模型中，分别选择了4个不同模型，计算出它们的相关指数如下，其中拟合效果最好的模型是 ( ) ‎ A.模型1（相关指数为0.97） B.模型2（相关指数为0.89）‎ C.模型3（相关指数为0.56 ） D.模型4（相关指数为0.45）‎ ‎4、在三角形OAB中，已知OA=6，OB=4，点P是AB的中点，则（ ）‎ A 10 B -10 C 20 D -20‎ 5、 如图是某几何体的三视图，则该几何体体积是（ ） A B C D ‎ ‎6、已知（为锐角）， 则（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎7、如图,抛物线的顶点在坐标原点，焦点为，过抛物线上一点 向准线作垂线，垂足为,若为等边三角形,‎ 则抛物线的标准方程是 ( ）． ‎ A． B． ‎ C． D. ‎ ‎8、已知函数f (x)= 与 g(x)=sin有两个公共点, 则在下列函数中满足条件的周期最大的g(x)=（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 二、填空题（本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上．）‎ ‎（一）选做题（请考生在第9,10,11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分 ）‎ ‎ 9. 以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知曲线C的参数方程是，直线的极坐标方程是，则直线与曲线C相交的交点个数是______.‎ ‎10. 如图，是圆的直径，点在的延长线上，‎ 且．切圆于，是的中点， ‎ 直线交圆于点．则　　　　　　．‎ ‎11、设，则函数y = 的最大值是　　　．‎ 开始 ‎ S=0,T=0,n=00 ‎ ‎ ‎ S=S+4 ‎ n=n+2 ‎ T=T+n ‎ 输出T ‎ 结束 ‎ 是 ‎ 否 ‎ ‎(二) 必做题（12~16题）‎ ‎12、设复数 (其中为虚数单位)，则等于 ‎ ‎ 13、已知的展开式中只有第5项的二项式系数最大，‎ ‎ 则含项的系数= ______. ‎ ‎14、执行右边的程序框图，若输出的T=20， ‎ 则循环体的判断框内应填入的的条件是（填相应编号）‎ ‎ 。（①T≥S，②T＞S，③T≤S，④T＜S） ‎ ‎15. 设矩形区域由直线和所围成的平面图形，区域是由余弦函数、 及所围成的平面图形．在区域内随机的抛掷一粒豆子，则该豆子落在区域的概率是　　　　　　．‎ ‎16. 用三个不同字母组成一个含个字母的字符串，要求由字母 开始，相邻两个字母不能相同. 例如时，排出的字符串是；时排出的字符串是,…….记这种含个字母的所有字符串中，排在最后一个的字母仍是的字符串的个数为. 故. ．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17、（本题满分12分）驾驶证考试规定需依次按科目一（理论）、科目二（场内）、科目三（场外）进行，只有当上一科目考试合格才可以参加下一科目的考试，每个科目只允许有一次补考机会，三个科目考试均合格方可获得驾驶证。现张某已通过了科目一的考试，假设他科目二考试合格的概率为，科目三考试合格的概率为，且每次考试或补考合格与否互不影响。‎ ‎（1）求张某不需要补考就可获得驾驶证的概率。‎ ‎（2）若张某不放弃所有考试机会，记为参加考试的次数，求的分布列与数学期望。‎ ‎18．（本题满分12分）由五个直角边为的等腰直角三角形拼成如图的平面凹五边形 ACDEF，沿AD折起，使平面ADEF⊥平面ACD.‎ （1） 求证：FB⊥AD （1） 求二面角C-EF-D的正切值.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 19、（本题满分12分）已知数列是递增的等比数列，满足，且的等差中项，数列满足，其前项和为，且 ‎（1）求数列，的通项公式 ‎（2）数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围。‎ ‎20.（本题满分13分）某小型加工厂生产某种机器部件，每个月投产一批。 该部件由5个A零件和2个B零件构成，加工厂采购这两种零件的毛坯进行精加工, 再组装成部件, 每加工成一个部件需要消耗10度电。 已知A、B两种零件毛坯采购价格均为4元/个, 但如果同一种零件毛坯一次性采购超过1千个时，超过的部分可按优惠价3.6元/个结算。电费按月交纳, 电价按阶梯电价计算：每月用电在5000度以内1元/度, 超过5000度的部分每度电增加c （c > 0）元. 设每月还需要其他成本（不含人工成本）600元. 在不考虑人工成本的条件下, 问：‎ ‎(1) 每月若投入资金1万元, 可生产多少件部件?‎ ‎(2) 每月若有2万元的资金可供使用, 但要平均每件的成本最低, 应投入多少资金?‎ ‎21. （本题满分13分）已知P（0，-1）与Q（0，1）是直角坐标平面内两定点，过曲线C上一动点M（x,y)作Y轴的垂线，垂足为N，点E满足，且。‎ 1） 求曲线C的方程。‎ 2） 设曲线与x轴正半轴交于点，任作一直线与曲线交于两点（不与点重合）且，求证过定点并求定点的坐标。‎ ‎22、（本题满分13分）已知函数 ‎ ‎（1）讨论的单调性与极值点。‎ ‎（2）若, 证明当时，的图象恒在的图象上方.‎ ‎（3）证明 湖南省2013年六校联考数学考试试题答案 一、 选择题：‎ ‎ ‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 C B A B B B D C 二、填空题：‎ ‎9、2‎ ‎10、，，因是的中点，所以．‎ ‎11、由柯西不等式，得．‎ 或用基本不等式：．‎ ‎12、2i ‎13、28‎ ‎14 ②‎ ‎15、阴影面积为 ‎，‎ 故所求的概率为．‎ ‎16、答案： ‎ 解析：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以，‎ 所以， 两式相减得：‎ 当为偶数时，利用累加法得= 所以，；‎ 当为奇数时，利用累加法得= 所以，.‎ 综上所述: ‎ 三、解答题答案：‎ ‎17、答案：‎ 解：设“科目二第一次考试合格”为事件A1； “科目二补考考试合格”为事件A2；‎ ‎“科目三第一次考试合格”为事件B1； “科目三补考考试合格”为事件B2；‎ 则A1、A2、B1、B2相互独立。‎ ‎（1）他不需要补考就可获得驾证的概率为：‎ ‎ …………………………………………5分 ‎（2）的可能取值为2，3，4 ‎ ‎∵‎ ‎ …………………………………………9分 ‎∴的分布列为 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎ …………………………………………………12分 18、 答案：‎ ‎ 解：‎ 法一：(1)作FO⊥AD于O，连OB. .......................(1分）‎ ‎∵等腰直角三角形AFD, ∴点O为AD的中点.‎ 而等腰直角三角形ABD，∴BO⊥AD, 而FO∩BO=O，‎ ‎∴AD⊥平面FOB, ∴FB⊥AD .....................（5分）‎ (2) ‎∵等腰直角三角形ADB和等腰直角三角形CDB,‎ ‎ ∴∠ADC=90°， ∴CD⊥AD .....................（7分）‎ 又 ∵平面ADEF⊥平面ACD，平面ADEF∩平面ACD=AD，‎ ‎ ∴CD⊥平面ADEF. 作DM⊥FE，连接MC，‎ ‎ ∠DMC即为二面角C-EF-D的平面角. ...................（10分）‎ ‎ 在直角三角形MDC中，∠MDC=90°，MD=1 , DC=2 ,‎ ‎ ∴tan∠DMC=2 , ∴二面角C-EF-D的正切值为2. ...................（12分）‎ 法二：（1）作FO⊥AD于O，连OB，∵平面ADEF⊥平面ACD，∴FO⊥平面ADC.‎ ‎∵等腰直角三角形AFD, ∴点O为AD的中点.而等腰直角三角形ABD，∴BO⊥AD 如图，建立空间直角坐标系，‎ ‎∴F（0,0,1），A（1,0,0），D（-1,0,0）,C（-1,2,0）,B（0,1,0）E（-2,0,1 ) .................(2分）‎ ‎∵,∴FB⊥AD .................(5分）‎ （2） 显然平面DEF的法向量， ................(7分）‎ 平面CEF中，,‎ ‎∴平面CEF的法向量， ...............(10分）‎ ‎∴ ∴‎ ‎∴二面角C-EF-D的正切值为2. .................(12分）‎ 19、 答案：‎ 解（1）设等比数列的公比为则 是的等差中项 ‎ ‎ ‎ ................(3分）‎ 依题意，数列为等差数列，公差 又 . ...............(6分）‎ ‎（2） . ...............(8分）‎ 不等式 化为 ..........(9分）‎ 对一切恒成立。‎ 而 当且仅当即时等式成立。 ................(12分）‎ 19、 答案：‎ ‎ 解：设产量为x件, 总成本y元, 生产200件需要1000个A零件, 生产500件需要1000个B零件, 并需要5000度电。 …..(1分)‎ 当时, y=(5x+2x)+10x+600=38x+600 y …..(3分)‎ 当时, y=(5x+2x)-(5x-1000)+10x+600=36x+1000‎ y ………..(5分)‎ 当x>500时, ‎ y=(5x+2x)-(7x-2000)+ 10x+(10x-5000)+600=(35.2+10c)x+1400-5000c ‎ y>19000 ………..(7分) ‎ (1) 当y=10000时, 20, 故令 36x+1000=10000, 得 x=250 ‎ 答：若投入资金10000元, 可生产250件. ……….(8分)‎ ‎(2) 平均每件的成本 ……..(10分)‎ ‎ 在(0, 500]上递减, 在[500, )上：‎ 若1400-5000c>0, 即c<0.28时依然递减, 故可全部投入20000元资金使平均每件的成本最低；‎ 若1400-5000c<0, 即c>0.28时递增, x=500时平均每件的成本最低, 可投入资金19000元.‎ 若1400-5000c=0, 即c=0.28时为定值38, 可投入19000元至20000元任意数值的资金.‎ ‎ ………..(13分) ‎ 21、 答案：‎ 解：（1）依题意知N（0，y），.‎ ‎ 又 ........（2分）‎ ‎ .........（3分）‎ ‎ ∴椭圆的标准方程为 ……（5分）‎ ‎（2）设直线的斜率存在，设为，方程为 ‎ 由 得：‎ ‎ ① ……（6分）‎ ‎ ② ③ ……（7分）‎ 又 ‎ ‎ ④ ……（8分）‎ 又即 即 ⑤ ‎ 将②③④代入⑤并整理得：‎ ‎ 或 ……（9分）‎ 当时，①式成立 此时直线的方程为, 过定点（ ……（10分）‎ 当时，①式成立 此时直线的方程为过点 与直线不过点矛盾。 …… （11分）‎ 若直线的斜率不存在，设的方程为 由 得 由得即 解之得 ……（12分）‎ 当时，直线的方程为过点 当时，直线的方程为过点（舍）‎ 由上可知，直线过定点 ……（13分）‎ 21、 答案：(添加计分标准)‎ 解：（1） ................(1分）‎ 当时在（0，）上恒成立 在(0,+∞)单调递增,此时无极值点 ...............(2分）‎ 当在定义域上的变化情况如下表：‎ x ‎（‎ ‎＋‎ ‎－‎ ‎＋‎ 增 减 增 由此表可知在（0 , 1）和（上单调递增, 在（1 , ）上单调递减 为极大值点，为极小值点 . ...............(4分）‎ ‎（2）时 令.....(5分）‎ ‎ 当时时,‎ 在（0 1）递减,在（1，上递增.‎ ‎ 恒成立 ......(7分）‎ 即时恒成立 当 的图象恒在的图象的上方 ......(8分）‎ ‎（3）由（2）知即 ‎. ....(9分）‎ 令 .....(10分）‎ ‎=. ‎ ‎ .....(11分）‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎∴ 不等式成立. ....(13分）‎