2020届湖北省荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校高三上学期期末考试数学（文）试题

2020届湖北省荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校高三上学期期末考试数学（文）试题

‎“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟” ‎ ‎2020届高三元月联考 ‎ 文 科 数 学 试 题 ‎ 本试卷共2页，共23题（含选考题）．满分150分，考试用时120分钟 ‎★ 祝考试顺利 ★‎ 第Ⅰ卷 选择题（60分）‎ 一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合则 ‎ ‎ A． B. C． D.‎ ‎2.已知复数满足，则的虚部是 ‎ ‎ A．2 B．-2 C．-2i D．2i ‎3.已知，则的大小关系是 A. B. C. D.‎ ‎4.为考察，两种药物预防某疾病的效果，进行动物实验，分别得到如下等高条形图：‎ ‎ ‎ 根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是 A．药物的预防效果优于药物的预防效果 B．药物的预防效果优于药物的预防效果 C．药物、对该疾病均有显著的预防效果 D．药物、对该疾病均没有预防效果 ‎5.定义在上的奇函数满足，，则的值是 A．-1 B．-2 C．1 D． 2‎ ‎6.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题为真命题的是 A.“”是“”的充分条件 B.“”是“”的既不充分又不必要条件 C.“”是“”的充要条件 D.“”是“”的必要条件 ‎ ‎7.已知等差数列的前n项和为，，若，且，则m的值是 A．7 B．8 C． 9 D． 10‎ ‎8.函数的最大值为，最小值为，则的周期是 A. B. C. D.‎ ‎9.在中，已知向量与满足且，则 A.三边均不相同的三角形　　　 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．等边三角形 ‎10.在△ABC中，若，则△ABC的面积S是 A. B. C. D.‎ ‎11. 正方体中，点满足，则异面直线所成角的余弦值为 A. B. C. D.‎ ‎12.众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆．给出以下命题：‎ 第12题图 ‎①在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是；‎ ‎②当时，直线与黑色阴影部分有公共点；‎ ‎③黑色阴影部分中一点,则的最大值为2．‎ 其中所有正确结论的序号是（ ）‎ A． ‎① B．② C．①③ D．①②‎ 第Ⅱ卷 非选择题（90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 若向量a，b满足：(a－b)(2a＋b)＝－4，且|a|＝2，|b|＝4，则a与b的夹角是__________．‎ 14． 按照程序框图（如图所示）执行，第4个输出的数是__________．‎ ‎15.已知双曲线（a＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，P为双曲线右支上一点，且满足，则△PF1F2的周长为 .‎ ‎16.已知直线与曲线切于点，且直线与曲线交于点，若，则________.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（本小题满分12分）为庆祝新中国成立70周年，某市工会组织部分事业单位职工举行“迎国庆，广播操比赛”活动.现有200名职工参与了此项活动，将这200人按照年龄（单位：岁）分组：第一组[15，25)，第二组[25，35)，第三组[35，45)，第四组[45，55)，第五组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示.记事件A为“从这200人中随机抽取一人，其年龄不低于35岁”，已知P（A）=0.75.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）在第二组、第四组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人作为活动的负责人，求这2人恰好都在第四组中的概率.‎ 18． ‎（本小题满分12分）已知等差数列的首项为6，公差为，且成等比数列.‎ （1） 求的通项公式；‎ （2） 若，求的值.‎ 19． ‎（本小题满分12分）如图，多面体中，，平面⊥平面，四边形为矩形，∥，点在线段上，且.‎ (1) 求证：⊥平面；‎ (2) 若，求多面体被平面分成的大、小两部分的体积比.‎ ‎20.（本小题满分12分）已知函数．‎ ‎（1）若是函数的极值点，求的值及函数的极值；‎ ‎（2）讨论函数的单调性．‎ ‎21．（本小题满分12分）已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴的正半轴上，过点的直 线与抛物线相交于，两点，且满足 ‎ （Ⅰ）求抛物线的方程；‎ ‎ （Ⅱ）若是抛物线上的动点，点在轴上，圆内切于，求面积的最小值.‎ 选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）．‎ ‎ 在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为以原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）求曲线C的极坐标方程；‎ ‎（2）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，0），B（0，﹣2），M是曲线C上任意一点，求△ABM面积的最小值．‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）．‎ 设函数 ‎(1)当时，求不等式的解集；‎ ‎(2)若，求的取值范围．‎ ‎“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”‎ 高三 数学（文） 答案 命题学校：夷陵中学 命题人：李国旭 审题人：吴俊峰 一、选择题： CBDAB BCBDA DD 二、填空题：‎ ‎13．120° 14.7 15． 16．‎ 三、解答题：‎ ‎17．解：（1）由题意知P(A)=10×（+0.030+0.010）=0.75，解得=0.035，又10×（+0.010）=0.25,所以=0.015. ‎ ‎ ……4分 ‎（2）在第二组、第四组中用分层抽样的方法抽取6人，则第二组中应抽取2人，分别记为，第四组中应抽取4人，分别记为. ……5分 从这6人中抽取2人的所有可能情况有， ，，，，，，，，，，，，，，‎ 共15种. ……8分 其中从这6人中抽取的2个人恰好都在第四组中的情况有，，，，，，共6种. ……9分 所以所求概率为. ……10分 ‎ 18. 解：（1）‎ 成等差数列，‎ 故·······5分 ‎（2）∵<0，∴=-1，此时 ‎·······7分 ‎ ‎ ‎·······11分 故 ·······12分 18. 解：（1）因为四边形ABCD为矩形，所以CD=AB.‎ 因为AB=DE=2，所以CD=DE=2.‎ 因为点G在线段CE上，且EG=2GC=AB，所以EC=AB=CD=‎ 所以 又平面CDE⊥平面ABCD，平面CDE平面ABCD=CD,DE平面CDE，‎ 所以DE⊥平面ABCD.·······5分 ‎(2)方法1：由（1）知 所以易知 设 因为 故多面体ABCDEF被平面BDG分成的大、小两部分的体积比为11:1‎ 方法2：设三棱锥G-BCD的体积为1，连接EB,AE.‎ 因为EG=2GC,所以CG=EC,所以.‎ 易知 又EF=2BC,BC∥EF，所以 又，‎ 故 故多面体ABCDEF被平面BDG分成的大、小两部分的体积比为11:1.·······12分 ‎20.解：（1）∵，‎ ‎∴，···········1分 由已知，解得，···········2分 此时，，‎ 当和时，，是增函数，‎ 当时，，是减函数，···········4分 所以函数在和处分别取得极大值和极小值．‎ 故函数的极大值为，‎ 极小值为．···········6分 ‎（2）由题意得 ‎，···········7分 ‎①当，即时，则当时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增．···········8分 ‎②当，即时，‎ 则当和时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减．···········9分 ‎③当，即时，‎ 则当和时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减．···········10分 ‎④当，即时，‎ ‎，所以在定义域上单调递增．···········11分 综上：①当时，在区间上单调递减，在区间和上单调递增；‎ ‎②当时，在定义域上单调递增；‎ ‎③当时，在区间上单调递减，在区间和上单调递增；‎ ‎④当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增．······12分 ‎21.解：（1）由题意，设抛物线C的方程为，则焦点F的坐标为.‎ 设直线的方程为·······1分 联立方程得 所以·······3分 因为故抛物线的方程为.·······5分 ‎(2)设易知点M，N的横坐标与P的横坐标均不相同.‎ 不妨设m>n.‎ 易得直线PM的方程为化简得，‎ 又圆心（0,1）到直线PM的距离为1，所以 所以 不难发现 同理可得 所以m，n可以看作是的两个实数根，则 所以 因为是抛物线C上的点，所以 则又，所以从而 当且仅当时取得等号，此时 故△PMN面积的最小值为8.·······12分 ‎22.解：（1）∵曲线C的参数方程为，（θ为参数），‎ ‎∴曲线C的直角坐标方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4，‎ 将，代入得曲线C的极坐标方程为：‎ ρ2﹣6ρcosθ﹣8ρsinθ+21＝0．‎ ‎（2）设点M（3+2cosθ，4+2sinθ）到直线AB：x+y+2＝0的距离为d，‎ ‎，‎ 当sin（）＝﹣1时，d有最小值，‎ 所以△ABM面积的最小值S＝＝9﹣2．‎ ‎23解：(1)当时，‎ 可得的解集为． ‎ ‎(2)等价于 而，当且仅当时等号成立．故等价于.由可得.所以的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．‎ ‎ ……10分