内蒙古集宁一中2019-2020学年高二上学期12月月考数学（理）试题

内蒙古集宁一中2019-2020学年高二上学期12月月考数学（理）试题

集宁一中西校区2019-2020学年第一学期第二次月考 高二年级理科数学试题 本试卷满分为150分，考试时间为120分钟 第I卷（选择题 共60分)‎ 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1.已知，，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解一元二次不等式求得集合，进而求得两个集合的交集.‎ ‎【详解】由解得，故，故选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.‎ ‎2.命题“若α=，则tanα=‎1”‎的逆否命题是 A. 若α≠，则tanα≠1 B. 若α=，则tanα≠1‎ C. 若tanα≠1，则α≠ D. 若tanα≠1，则α=‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 因为“若，则”的逆否命题为“若，则”，所以 “若α=，则tanα=‎1”‎的逆否命题是 “若tanα≠1，则α≠”.‎ ‎【点评】本题考查了“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，考查分析问题的能力.‎ ‎3.若,则下列不等式成立的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式的性质，逐项判断即可得出结果.‎ ‎【详解】A选项，因为，则，若，则，则，故A错；‎ B选项，因为，则，故B错；‎ C选项，因为，所以，故C正确；‎ D选项，因为，所以，故D错；‎ 故选C ‎【点睛】本题主要考查不等式的性质，结合特殊值法，熟记不等式的性质即可，属于基础题型.‎ ‎4.若等差数列中，，则的前5项和等于（ ）‎ A. 10 B. ‎15 ‎C. 20 D. 30‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列的性质，得到，进而可求出结果.‎ ‎【详解】因为等差数列中，，‎ 则的前5项和.‎ 故选B ‎【点睛】本题主要考查等差数列，熟记等差数列的性质即可，属于基础题型.‎ ‎5.条件；条件是上的增函数，则是成立的　　‎ A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算出命题、的取值范围,再判断即可.‎ ‎【详解】解：不等式可得或,即命题或；‎ 因为在上是增函数,所以,即命题.‎ 所以,,‎ 命题是成立的必要不充分条件.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查解不等式、指数函数的性质和充分条件、必要条件的判定.‎ ‎6.已知数列满足，则（　 ）‎ A. B. ‎5 ‎C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据数列的递推公式写出数列的前项,得出数列是周期为的数列,可得的值.‎ ‎【详解】解：,‎ ‎,‎ ‎.‎ 因此数列是周期为的数列.‎ ‎.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查数列递推公式的意义和根据周期求数列的值.‎ ‎7.若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则实数等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 已知椭圆的焦点在x轴上，故 ，根据椭圆的几何性质得到：离心率为 ，解出方程得到： ‎ 故答案选B． ‎ ‎8.设变量，满足约束条件，则的最大值是（ ）‎ A. 7 B. ‎8 ‎C. 9 D. 10‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出不等式组对应的平面区域，利用的几何意义利用数形结合分析即可得到结论．‎ ‎【详解】‎ 由约束条件作出其所确定的平面区域（阴影部分），‎ 因为，所以，‎ 平移直线，由图象可知当直线经过点时，‎ 目标函数取得最大值，‎ 由，解得，‎ 即，‎ 即，‎ 故的最大值为9．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．要求熟练掌握常见目标函数的几何意义．‎ ‎9.不等式对于恒成立,那么的取值范围是(    )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分当a＝2时，符合题意与a≠2时，则a需满足：，解得a的范围即可.‎ ‎【详解】当a＝2时，﹣4＜0，∴符合题意；‎ a≠2时，则a需满足：‎ ‎，解得﹣2＜a＜2；‎ ‎∴﹣2＜a≤2；‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 考查二次函数的最大值的计算公式，注意讨论二次项的系数是否为0的情况，注意结合二次函数图象，属于中等题.‎ ‎10.设椭圆C:的两个焦点分别为F1,F2，，P是C上一点，若，且，则椭圆C的方程为()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，得到，‎ 在△PF‎1F2中，由正弦定理得到，根据和，可求出，得到答案.‎ ‎【详解】由，‎ 解得，‎ 在△PF‎1F2中，由正弦定理:，‎ 解得，则，‎ 又，可知， ，‎ 得 解得， ， ，所以椭C方程 ‎【点睛】本题考查椭圆的定义，正弦定理解三角形，求椭圆的标准方程，属于中档题.‎ ‎11.已知数列的通项公式是，则(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意,当为奇数时,当为偶数时,,所以可以得到,再根据平方差公式得出,最后求等差数列的前项和.‎ ‎【详解】解：‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了数列的通项公式,分类讨论方法、三角形的周期性,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.‎ ‎12.若命题是真命题，则实数a的取值范围是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 因为命题是真命题，即不等式 对恒成立，即恒成立，当a＋2＝0时，不符合题意，故有，即，解得，则实数a的取值范围是．故选：B．‎ 第II卷（非选择题)‎ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）‎ ‎13.已知等比数列，，则等于__________．‎ ‎【答案】189‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用等比数列的通项公式求公比的平方,再求即可.‎ ‎【详解】解：在等比数列中由,‎ 得 所以 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了等比数列的通项公式,是基础题.‎ ‎14.在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据约束条件画出可行域,然后求出交点坐标,根据交点求三角形的面积.‎ ‎【详解】解：不等式组表示平面区域如图阴影部分所示,‎ 平面区域为一个三角形及其内部,‎ 三个顶点的坐标分别为：,, ,‎ 所以平面区域的面积为：‎ ‎.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了二元一次不等式组表示的可行域,以及求可行域的面积,属于基础题.‎ ‎15.命题“”的否定是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 全程命题的否定为特称命题，则：命题“”的否定是.‎ ‎16.给出以下四个命题：‎ ‎（1）命题，使得，则，都有； ‎ ‎（2）已知函数f(x)＝|log2x|，若a≠b，且f(a)＝f(b)，则ab＝1；‎ ‎（3）若平面α内存在不共线三点到平面β的距离相等，则平面α平行于平面β； ‎ ‎（4）已知定义在上函数 满足函数 为奇函数，则函数的图象关于点对称．‎ 其中真命题的序号为______________．（写出所有真命题的序号）‎ ‎【答案】（1）（2）（4）‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】对于（1），由含量词的命题的否定可得正确．‎ 对于（2），由得，因为，所以，因此 ‎，故，所以（2）正确． ‎ 对于（3），由题意满足条件的平面α平和平面β的位置关系是平行或相交．故（3）不正确．‎ 对于（4），因为函数向右平移各单位后得到函数 为奇函数，所以函数的图象关于点对称，即（4）正确．‎ 综上（1），（2），（4）正确．‎ 答案：（1），（2），（4）‎ 点睛：本题（4）中考查的是函数的性质的综合应用．对于反应的时函数的周期性，由于函数 为奇函数，故函数的图象关于点（0,0）对称，将函数的图象向右平移个单位可得函数的图象，故函数的图象关于点对称，从而，解题中要注意这些性质的应用．‎ 三、解答题 ‎17.已知，求的最小值，并求取到最小值时x的值；‎ 已知，，，求xy的最大值，并求取到最大值时x、y的值．‎ ‎【答案】当时，y的最小值为7． ，时，xy的最大值为6．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用基本不等式的关系式的变换求出结果．‎ 直接利用基本不等式的关系式的变换求出结果．‎ ‎【详解】已知，‎ 则：，‎ 故：，‎ 当且仅当：，‎ 解得：，‎ 即：当时，y的最小值为7．‎ 已知，，，‎ 则：，‎ 解得：，‎ 即：，‎ 解得：，时，xy的最大值为6．‎ ‎【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.‎ ‎18.已知命题方程表示焦点在轴上的椭圆，命题关于的方程无实根，若“”为假命题，“”为真命题.求实数的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：分别求出命题为真时的取值范围，并且由复合命题的真假可知，真假或假真，分两种情况求的取值范围.‎ 试题解析：∵方程表示焦点在轴上的椭圆.‎ ‎∴，‎ 解得：，‎ ‎∴若命题为真命题，求实数的取值范围是；‎ 若关于的方程无实根，则判别式，‎ 即，得，‎ 若“”为假命题，“”为真命题，则、为一个真命题，一个假命题，‎ 若真假，则，此时无解，‎ 若假真，则，得 综上，实数的取值范围是.‎ ‎19.设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且 ‎.‎ ‎（1）求数列、的通项公式.‎ ‎（2）求数列的前项和 ‎【答案】（1）;(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据列出关于公比、公差方程组，解方程组可得与的值，从而可得数列的通项公式； (2),利用错位相减法，结合等比数列求和公式可得结果.‎ ‎【详解】（1）设等差数列公差为,等比数列公比为,‎ 则由题意得方程组:，‎ ‎..‎ ‎(2)‎ ‎，‎ 两式相减得:‎ ‎【点睛】“错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项 的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以.‎ ‎20.已知椭圆焦点为且过点，椭圆上一点到两焦点,的距离之差为2，‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）求的面积.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题意可得c=2,同时代入点的坐标，结合椭圆的简单性质，联立可得答案.‎ ‎(2)由，解得,满足 ‎，​可知为直角三角形，可求三角形的面积.‎ ‎【详解】解：（1）由,解得,‎ 所以椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）由，解得.‎ 又，故满足.‎ ‎∴为直角三角形.‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的标准方程的求法和椭圆的几何性质的应用,相对不难.‎ ‎21.解关于的不等式.‎ ‎【答案】当时，不等式的解集为；‎ 当时，不等式的解集为或；‎ 当时，不等式的解集为；‎ 当时，不等式的解集为；‎ 当时，不等式的解集为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将原不等式因式分解化为，对参数分5种情况讨论：，，，，，分别解不等式．‎ ‎【详解】解：原不等式可化为，即，‎ ‎①当时，原不等式化为，解得，‎ ‎②当时，原不等式化为，‎ 解得或，‎ ‎③当时，原不等式化为.‎ 当，即时，解得；‎ 当，即时，解得满足题意；‎ 当，即时，解得.‎ 综上所述，当时，不等式的解集为；‎ 当时，不等式的解集为或；‎ 当时，不等式的解集为；‎ 当时，不等式的解集为；‎ 当时，不等式的解集为.‎ ‎【点睛】本题考查含参不等式的求解，求解时注意分类讨论思想的运用，对分类时要做到不重不漏的原则，同时最后记得把求得的结果进行综合表述.‎ ‎22.已知数列满足，且.‎ ‎（Ⅰ）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若记为满足不等式的正整数的个数，设，求数列的最大项与最小项的值.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2)最大项为，最小项为.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）对两边取倒数，移项即可得出，故而数列为等差数列，利用等差数列的通项公式求出，从而可得出；（Ⅱ）根据不等式 ‎，，得，又，从而，当为奇数时，单调递减，；当为偶数时单调递增，综上的最大项为，最小项为.‎ 试题解析：（Ⅰ）由于，，则 ‎∴，则，即为常数 ‎ 又，∴数列是以1为首项，为公比的等比数列 从而，即.‎ ‎（Ⅱ）由即，得，‎ 又，从而 故 当为奇数时，，单调递减，；‎ 当为偶数时，，单调递增，‎ 综上的最大项为，最小项为.‎ ‎ ‎