2019届二轮复习数学归纳法学案（全国通用）

2019届二轮复习数学归纳法学案（全国通用）

‎2019届二轮复习 数学归纳法 学案 （全国通用）‎ ‎【考纲解读】‎ 考 点 考纲内容 五年统计 分析预测 数学归纳法 了解数学归纳原理，会用数学归纳法证明简单的数学命题.‎ ‎2017浙江22‎ 利用数学归纳法证明数列问题.‎ 备考重点：‎ ‎1.数学归纳法原理；‎ ‎2.数学归纳法的简单应用.‎ ‎【知识清单】‎ 数学归纳法 ‎1.证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：‎ ‎(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N )‎ 时命题成立．‎ ‎(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N )时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．‎ 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．‎ ‎2.数学归纳法的框图表示 ‎【重点难点突破】‎ 考点1 等差数列和等比数列的综合问题 考点1利用数学归纳法证明等式 ‎【1-1】用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边计算所得的式子为(　)‎ A. 1 B. 1＋2 C. 1＋2＋22 D. 1＋2＋22＋23‎ ‎【答案】D ‎【解析】左边的指数从0开始，依次加1，直到n＋2，所以当n＝1时，应加到23，故选D. ‎ ‎【1-2】已知a，b，c，使等式N+都成立，‎ ‎（1）猜测a，b，c的值；（2）用数学归纳法证明你的结论。‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】‎ 即1•22+2•32+…+k（k+1）2‎ ‎=（3k2+11k+10），‎ 那么当n=k+1时，‎ ‎1•22+2•32+…+k（k+1）2+（k+1）（k+2）2‎ ‎=（3k2+11k+10）+（k+1）（k+2）2‎ ‎=（3k2+5k+12k+24）‎ ‎=[3（k+1）2+11（k+1）+10]，学 ]‎ 由此可知，当n=k+1时，（ ）式也成立．‎ 综上所述，当a=3，b=11，c=10时题设的等式对于一切正整数n都成立．‎ ‎【领悟技法】‎ 数学归纳法证明等式的思路和注意点 ‎(1)思路：用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”‎ ‎，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少．‎ ‎(2)注意点：由n＝k时等式成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法．‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】观察下列等式：‎ ‎； ； ； ；‎ ‎，‎ ‎…………‎ ‎(1)猜想第个等式；‎ ‎(2)用数学归纳法证明你的猜想. + +k ]‎ ‎【答案】(1) .(2)答案见解析.‎ ‎(2)证明：(i)当时，等式显然成立.‎ ‎(ii)假设时等式成立，即，‎ 即.‎ 那么当时，左边 ‎，‎ 右边.‎ 所以当时，等式也成立.‎ 综上所述，等式对任意都成立.‎ ‎【变式二】已知数列中， ，‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）猜想的表达式，并用数学归纳法证明．‎ ‎【答案】(I）；（II）见解析. ‎ 所以n=k+1时，等式成立. ‎ 所以由①②知猜想成立. ‎ 考点2 利用数学归纳法证明不等式 ‎【2-1】【2018届浙江省温州市高三9月一模】已知数列中，，（）．　‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求证：是等差数列；‎ ‎（3）设，记数列的前项和为，求证： ．‎ ‎【答案】 (1)证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.‎ 所以，‎ 即，‎ 即，‎ 所以，数列是等差数列．‎ ‎（3）由（2）知，，‎ ‎∴，‎ ‎【2-2】【2017浙江卷22】已知数列满足： ‎ 证明：当时 ‎（I）;‎ ‎（II）；‎ ‎(III) ‎ ‎【答案】（I）见解析；（II）见解析；（Ⅲ）见解析. ‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）用数学归纳法可证明；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得， 构造函数 ，利用函数的单调性可证； （Ⅲ）由及，递推可得 试题解析：（Ⅰ）用数学归纳法证明： ．‎ 当n=1时，x1=1>0． ]‎ 假设n=k时，xk>0，‎ 那么n=k+1时，若，则，矛盾，故． ‎ 因此．‎ 所以，‎ 因此．‎ ‎（Ⅱ）由得，‎ ‎．‎ 记函数，‎ ‎，‎ ‎【领悟技法】‎ 数学归纳法证明不等式的适用范围及关键 ‎(1)适用范围：当遇到与正整数n有关的不等式证明时，若用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．‎ ‎(2)关键：由n＝k时命题成立证n＝k＋1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用均值不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化 ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】设正项数列的前项和，且满足.‎ ‎（Ⅰ）计算的值，猜想的通项公式，并证明你的结论；‎ ‎（Ⅱ）设是数列的前项和，证明：.‎ ‎【答案】(1) （2）见解析 ‎【解析】试题分析：（1）先根据 关系，将条件转化为项与项递推关系，依次代入求解，可得的值，根据规律猜想，利用项与项递推关系及归纳假设证明n=k+1时情况（2）利 于是对于一切的自然数，都有 ‎（Ⅱ）证法一：因为，‎ 证法二：数学归纳法 证明：（ⅰ）当n=1时，，，‎ ‎（ⅱ）假设当n=k时，‎ 则当n=k+1时，‎ 要证：只需证：‎ 由于 所以 于是对于一切的自然数，都有.‎ ‎【变式二】已知数列中，满足记为前n项和．‎ ‎（I）证明： ；‎ ‎（Ⅱ）证明： ‎ ‎（Ⅲ）证明： .‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．‎ 当时， 成立 假设时， 成立， 学 ]‎ 那么当时， ，‎ 所以综上所述，对任意， …………………………………………6分 考点3 归纳、猜想、证明 ‎【3-1】给出下列不等式：‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，……‎ ‎（1）根据给出不等式的规律，归纳猜想出不等式的一般结论； ‎ ‎（2）用数学归纳法证明你的猜想.‎ ‎【答案】（1）；（2）详见解析. ‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用归纳推理以及所给式子的结构特征，得出结论-.‎ ‎（2）先证明 时，等式成立，假设 时，等式成立，即-‎ 成立，在此基础上利用假设证明 时，等式也成立，从而得到等式对任意的 均成立．‎ 试题解析：‎ ‎【3-2】观察下列等式：‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎………‎ ‎（1）照此规律，归纳猜想出第个等式；‎ ‎（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.‎ ‎【答案】（1） （）；（2）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)结合所给的规律可猜想第个等式为 （）；‎ ‎(2)首先说明n=1等式成立，然后假设当（）时，等式成立，证明当时等式成立即可.‎ 试题解析：‎ ‎【领悟技法】‎ ‎(1)“归纳——猜想——证明”的一般步骤 ‎①计算(根据条件，计算若干项)．‎ ‎②归纳猜想(通过观察、分析、综合、联想，猜想出一般结论)．‎ ‎③证明(用数学归纳法证明)． ‎ ‎(2)与“归纳——猜想——证明”相关的常用题型的处理策略 ‎①与函数有关的证明：由已知条件验证前几个特殊值正确得出猜想，充分利用已知条件并用数学归纳法证明．‎ ‎②与数列有关的证明：利用已知条件，当直接证明遇阻时，可考虑应用数学归纳法．‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】设等差数列的公差，且，记 ‎ （1）用分别表示，并猜想；‎ ‎ （2）用数学归纳法证明你的猜想.‎ ‎【答案】（1）.；（2）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）分别求出的值，观察共有性质，从而可归纳猜想出；‎ ‎（2）根据数学归纳法的基本原理，①当n＝1时，验证猜想正确，②假设当n＝k时(k∈N )时结论成立，证 ‎【变式二】数列中，已知，．‎ ‎(1) 求的值，并猜想的表达式．‎ ‎(2) 请用数学归纳法证明你的猜想．(注：不用数学归纳法证明一律不得分）‎ ‎【答案】（1）见解析.（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎（）∵， ∴，‎ ‎ ．‎ 由此可猜想：，‎ ‎（）证明：当时，，等式成立，‎ 假设时，等式成立，即，‎ 则当时， ，‎ 即当时，等式也成立， 综上所述，对任意自然数，．‎ ‎【易错试题常警惕】‎ 易错典例：数列满足，且.‎ ‎（1）写出的前3项，并猜想其通项公式；‎ ‎（2）用数学归纳法证明你的猜想.‎ 易错分析：对于归纳猜想证明类问题，有三个易错点.一是归纳结论不正确；二是应用数学归纳法，确认n的初始值n0不准确；三是在第二步证明中，忽视应用归纳假设.‎ 温馨提示：1.数学归纳法证题时初始值n0不一定是1.‎ ‎2.推证n＝k＋1时一定要用上n＝k时的假设，否则不是数学归纳法.‎ ‎3.解“归纳——猜想——证明”题的关键是准确计算出前若干具体项，这是归纳、猜想的基础，否则将会做大量无用功.‎