人教A版数学必修一课时提升作业(二十六)
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课时提升作业(二十六)
一次函数、二次函数、幂函数模型的应用举例
(25 分钟 60 分)
一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)
1.随着海拔高度的升高,大气压强下降,空气中的含氧量也随之下降,且含氧量
y(g/m2)与大气压强 x(kPa)成正比例函数关系.当 x=36kPa 时,y=108g/m3,则 y 与
x 的函数解析式为 ( )
A.y=3x(x≥0) B.y=3x
C.y= x(x≥0) D.y= x
【解析】选 A.由题意设 y=kx(k≠0),将(36,108)代入解析式可得 k=3,故 y=3x,
考虑到含氧量不能为负数,所以 x≥0.
【补偿训练】一个矩形的周长是 40,则矩形的长 y 关于宽 x 的函数解析式为
( )
A.y=20-x(0
10,不合题意;若 2x+10=60,则 x=25,满
足题意;若 1.5x=60,则 x=40<100,不合题意.故拟录用人数为 25.
【补偿训练】国家对出书所得稿费纳税进行如下规定:不超过 800 元的不纳税;
超过 800 元而不超过 4000 元的按超过部分的 14%纳税;超过 4000 元的按全稿酬
的 11%纳税.某人出版了一书共纳税 420 元,则这个人的稿费为 ( )
A.3818 元 B.5600 元
C.3800 元 D.3000 元
【解析】选 C.设稿费为 x 元时,纳税 y 元,则由题意得
y=
=
由 0.14x-112=420,解得 x=3800.
由 0.11x=420,解得 x=3818 (舍去).
5.(2015·衡阳高一检测)“弯弓射雕”描述了游牧民族的豪迈气概.当弓箭手以
每秒 a 米的速度从地面垂直向上射箭时,t 秒后的高度 x 米可由 x=at-5t2 确定.
已知射出 2 秒后箭离地面高 100 米,则弓箭能达到的最大高度为 ( )
A.160 米 B.170 米 C.180 米 D.190 米
【解析】选 C.由 x=at-5t2 且 t=2 时,x=100,解得 a=60.所以 x=60t-5t2.
由 x=-5t2+60t=-5(t-6)2+180,
知当 t=6 时,x 取得最大值为 180,
即弓箭能达到的最大高度为 180 米.
二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)
6.某企业生产一种机器的固定成本(即固定投入)为 0.6 万元,但每生产 100 台时,
又需可变成本(即另增加投入)0.25万元,市场对该机器的需求量为1000台,销售
收入(单位:万元)函数为:R(x)=5x- x2(0≤x≤10),其中 x 是产品的数量(单位:
百台),则利润表示为产量的函数为 .
【解析】由题意得总成本为 0.6+0.25x,从而利润为
f(x)=5x- x2-(0.6+0.25x)=- x2+4.75x-0.6(0≤x≤10).
答案:f(x)=- x2+4.75x-0.6(0≤x≤10)
7.(2015·漳州高一检测)为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒,
已知药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量 y(mg)与时间 t(h)成正比;
药物释放完毕后,y 与 t 的函数关系为 y= (a 为常数)其图象如图.根据图
中提供的信息,则从药物释放开始,每立方米空气中的含药量 y(mg)与时间 t(h)
之间的解析式为 .
【解析】设 0≤t≤ 时,y=kt,将(0.1,1)代入得 k=10,当 t> 时,又将(0.1,1)代
入 y= 中,得 a= ,所以 y=
答案:y=
8.某企业生产的新产品必须先靠广告来打开销路.该产品的广告效应应该是产
品的销售额与广告费之间的差.如果销售额与广告费的算术平方根成正比,根据
对市场进行抽样调查显示:每付出 100 元的广告费,所得的销售额是 1000 元.问
该企业应该投入 元广告费,才能获得最大的广告效应.
【解析】设销售额为 y 元,广告费为 x 元,因为销售额与广告费的算术平方根成
正比,得 y=k ,依题意,得 1000=k ,得 k=100,
所以广告效应 f(x)=100 -x=-( -50)2+2500,
所以当 x=2500 时,f(x)max=2500.
答案:2500
三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)
9.(2015·衡阳高一检测)为了保护学生的视力,课桌椅的高度都是按一定的关系
配套设计的.研究表明:假设课桌的高度为 ycm,椅子的高度为 xcm,则 y 应是 x 的
一次函数,下表列出了两套符合条件的课桌椅的高度:
第一套 第二套
椅子高度 x(cm) 40.0 37.0
桌子高度 y(cm) 75.0 70.2
(1)请你确定 y 与 x 的函数解析式(不必写出 x 的取值范围).
(2)现有一把高 42.0cm 的椅子和一张高 78.2cm 的课桌,它们是否配套?为什么?
【解析】(1)根据题意,课桌高度 y 是椅子高度 x 的一次函数,故可设函数解析式
为 y=kx+b(k≠0).将符合条件的两套课桌椅的高度代入上述函数解析式,
得 所以 所以 y 与 x 的函数解析式是 y=1.6x+11.
(2)把 x=42 代入(1)中所求的函数解析式中,有 y=1.6×42+11=78.2.
所以给出的这套桌椅是配套的.
10.(2015·龙岩高一检测)某家庭拟进行理财投资,根据预测,投资债券等稳健型
产品的一年收益与投资额成正比.其关系如图(1);投资股票等风险型产品的一
年收益与投资额的算术平方根成正比,其关系如图(2).(注:收益与投资额单位
均为万元)
(1)分别写出两种产品的一年收益与投资额的函数关系.
(2)该家庭现有 20 万元资金,拟全部用于理财投资,问:怎么分配资金能使一年的
投资获得最大收益,其最大收益是多少万元?
【解析】(1)设投资债券类产品的函数关系为 f(x)=k1x,投资股票类产品的函数
关系为 g(x)=k2 ,
所以 f(1)= =k1,g(1)= =k2,
即 f(x)= x(x≥0),g(x)= (x≥0).
(2)设投资债券类产品 x 万元.则投资股票类产品(20-x)万元.
依题意得:y=f(x)+g(20-x)= + (0≤x≤20),令 t= (0≤t≤
2 ),
则 y= + =- (t-2)2+3,
所以当 t=2,即 x=16 万元时,收益最大,ymax=3 万元.
答:投资债券类产品 16 万元,则投资股票类产品 4 万元时,收益最大,为 3 万元.
【补偿训练】某商场试销一种成本为每件 60 元的服装,规定试销期间销售单价
不低于成本价,且获利不得高于45%,经试销发现,销售量y(件)与销售单价x(元)
满足关系 y=-x+120.
(1)销售单价定为多少元时,商场可获得最大利润,最大利润是多少元?
(2)若该商场获得利润不低于 500 元,试确定销售单价 x 的范围.
【解题指南】(1)确定销售利润,利用配方法求最值.
(2)利用该商场获得利润不低于 500 元,建立不等式,即可确定销售单价 x 的范
围.
【解析】(1)由题意,销售利润为
W=(-x+120)(x-60)
=-x2+180x-7200=-(x-90)2+900,
因为试销期间销售单价不低于成本单价,且获利不得高于 45%,
则-(x-90)2+900≤0.45×60(-x+120),
所以 600,所以当 t= =3.75 时,p 取最大值,
故此时的 t=3.75 分钟为最佳加工时间.
二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)
3.某电脑公司 2014 年的各项经营收入中,经营电脑配件的收入为 400 万元,占全
年经营总收入的 40%.该公司预计 2016 年经营总收入要达到 1690 万元,且计划从
2014 年到 2016 年每年经营总收入的年增长率相同,则 2015 年预计经营总收入为
万元.
【解析】设从 2014 年到 2016 年每年经营总收入的年增长率为 x.
由题意,得 2014 年经营总收入为 =1000(万元),
则有 1000(1+x)2=1690.解得 x=0.3,
故 2015 年预计经营总收入为 1000(1+0.3)=1300(万元).
答案:1300
4.(2015·安阳高一检测)将进货单价为 8 元/个的商品按 10 元/个销售时,每天
可卖出 100 个,若此商品的销售单价每上涨 1 元,日销量就减少 10 个,为了获取
最大利润,此商品的销售单价应定为 .
【解析】设销售单价应再涨 x 元/个,则实际销售单价为(10+x)元,此时日销售量
为(100-10x)个,每个商品的利润为(10+x)-8=(2+x)(元),
所以总利润 y=(2+x)(100-10x)=-10x2+80x+200=-10(x-4)2+360(0≤x<10,且 x∈
N),
所以当 x=4 时,y 有最大值,此时单价为 14 元/个.
答案:14 元/个
【误区警示】此题易对每件商品的利润理解出现失误,应为提高后的单价减去进
货单价,每件商品的利润与日销量的乘积,即为每日获得的利润.
【补偿训练】某机床总成本 y(万元)与产量 x(台)之间的函数关系为 y=x2-75x,
若每台机器售价为 25
万元,则该厂获利润最大时应生产机器台数为 .
【解析】设生产 x 台,则利润 f(x)=-x2+100x
=-(x-50)2+2500,
则当 x=50 时利润最大.
答案:50
三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)
5.某汽车公司拥有汽车 100 辆,当每辆汽车的月租金为 3000 元时,可全部租出;
当每辆车的月租金每增加 50 元时,未租出的汽车将会增加 1 辆,租出的汽车每辆
每月需要维护费 150 元,未租出的汽车每辆每月需要维护费 50 元.
(1)当每辆汽车的月租金定为 3600 元时,能租出多少辆汽车?
(2)当每辆汽车的月租金定为多少时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多
少?
【解析】(1)当每辆汽车租金为 3600 元时,未租出的汽车数为 =12,所以
此时租出了 88 辆汽车.
(2)设每辆汽车的月租金定为 x 元,则公司月收益为
f(x)= (x-150)- ×50,整理得
f(x)=- (x-4050)2+307050(x>3000),
所以当 x=4050 时,月收益最大,最大为 307050 元.
答:当每辆汽车的月租金定为 4050 元时,租赁公司的月收益最大,最大月收益是
307050 元.
6.(2015·韶关高一检测)某企业决定从甲、乙两种产品中选择一种进行投资生
产,已知投资生产这两种产品的有关数据如下:
年固定
成本
每件产
品成本
每件产品
销售价
每年最多
生产的件数
甲产品 30 a 10 200
乙产品 50 8 18 120
其中年固定成本与生产的件数无关,a 为常数,且 4≤a≤8.另外年销售 x 件乙产
品时需上交 0.05x2 的特别关税.
(1)写出该厂分别投资生产甲、乙两种产品的年利润 y1,y2 与生产相应产品的件数
x 之间的函数解析式.
(2)分别求出投资生产这两种产品的最大利润.
(3)如何决定投资可获得最大年利润.
【解析】(1)根据题意,y1=(10-a)x-30,0≤x≤200,x∈N,
y2=10x-50-0.05x2,0≤x≤120,x∈N.
(2)因为 4≤a≤8,所以 10-a>0,故 y1=(10-a)x-30,0≤x≤200,x∈N 为定义域上的
增函数,所以 x=200 时,y1 取得最大值 1970-200a.y2=10x-50-0.05x2,0≤x≤120,x
∈N 则 x=100 时,y2 取得最大值 450.
(3)令 1970-200a=450,解得 a=7.6,所以 4≤a<7.6 时,投资甲产品;当 7.6
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