数学卷·2018届黑龙江省鹤岗市第一中学高二上学期期中考试理科数学试卷（解析版）

数学卷·2018届黑龙江省鹤岗市第一中学高二上学期期中考试理科数学试卷（解析版）

‎2016-2017学年黑龙江省鹤岗市第一中学高二上学期期中考试理科数学 一、选择题：共12题 ‎1．双曲线的焦距为 A.3 B.4 C.3 D.4‎ ‎【答案】D ‎【解析】本题考查双曲线，双曲线的方程以及简单性质.‎ ‎,,‎ ‎ ‎ ‎2．已知抛物线的准线经过点，则抛物线的焦点坐标为 A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】本题考查抛物线,抛物线的方程和抛物线的性质.‎ 抛物线的准线方程为过点,,‎ 故抛物线的焦点坐标为 ‎ ‎ ‎3．已知椭圆的一个焦点为F(1，0)，离心率e＝，则椭圆的标准方程为 A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题考查椭圆,椭圆的标准方程以及简单性质.‎ 焦点F的坐标为(1,0),知焦点落在x轴上，故设椭圆的标准方程为,,离心率,则,‎ 所以椭圆的标准方程为.‎ ‎ ‎ ‎4．某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近年的广告支出与销售额(单位：百万元)进行了初步统计，得到下列表格中的数据：‎ 经测算,年广告支出与年销售额满足线性回归方程,则的值为 A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】本题考查线性回归方程,平均数点以及其应用.‎ 依题意平均数点为满足线性回归方程,故.‎ ‎ ‎ ‎5．已知圆，圆，则圆与圆的公切线的条数是 A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题考查圆,圆的方程和圆与圆的位置关系以及圆的公切线.‎ 圆,则圆心,半径,圆M的标准方程为:,则圆心,半径,,故,即两圆相交,所以有两条公切线.‎ ‎ ‎ ‎6．甲、乙两名同学八次数学测试成绩如茎叶图所示，则甲同学成绩的众数与乙同学成绩的中位数依次为 A.85，86 B.85，85， C.86，85 D.86，86‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题考查统计,数字特征中的众数和中位数.‎ 如图所示甲的众数为85,乙的中位数85.‎ ‎ ‎ ‎7．如图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为16，28，则输出的a=‎ A.0 B.2 C.4 D.14‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题考查算法框图,能看懂框图的步骤,并会计算.易得输出a=4.‎ ‎ ‎ ‎8．焦点是，且与双曲线有相同的渐近线的双曲线的方程是 A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】本题考查双曲线,双曲线方程以及渐近线等性质.‎ 依题意设双曲线方程为,因为双曲线的焦点是,故双曲线的标准方程为,,则,所以该双曲线方程为.‎ ‎ ‎ ‎9．已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0，4)，则顶点A的轨迹方程是 A.(x≠0) B.(x≠0)‎ C.(x≠0) D.(x≠0)‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题考查椭圆,椭圆的定义以及椭圆的标准方程.‎ 依题意可得,根据椭圆的定义可知点A的轨迹是以B,C为焦点,到两焦点的距离之和为12的椭圆上,且点A不在y轴上,因为,即,,即,,所以点A的轨迹方程为(x≠0).‎ ‎ ‎ ‎10．设抛物线的焦点为，经过点的直线与抛物线相交于两点，且点恰为线段的中点，则＝‎ A.13 B.12 C.11 D.10‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题考查抛物线,抛物线的定义以及简单性质,构造梯形,利用梯形中位线求解.‎ 依题意可知抛物线的焦点为,准线方程为,所以点到准线距离d为6,根据抛物线的定义到焦点的距离等于到准线的距离,则.‎ ‎ ‎ ‎11．椭圆的两个焦点为,过作垂直于轴的直线于椭圆相交，一个交点为=‎ A. B.4  C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】本题考查椭圆,椭圆的定义以及相关性质.‎ 依题意可知焦点,且轴,则点P为,,‎ 根据椭圆定义可得.‎ ‎ ‎ ‎12．已知过双曲线的中心的直线交双曲线于点.在双曲线上任取与点不重合点，记直线的斜率分别为，若恒成立，则离心率的取值范围是 A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】本题考查双曲线的简单性质,双曲线的渐近线以及离心率.高考中离心率的考查一直都是重点考查对象.‎ 设,,由题意知点A,B为过原点的直线与双曲线的交点,∴由双曲线的对称性得A,B关于原点对称,,‎ ‎,点A,P都在双曲线上,‎ ‎,两式相减,可得:,即有,又,由双曲线的渐近线方程为,则k趋近于,‎ 恒成立,则,即有,即,即有，‎ 则.‎ 二、填空题：共4题 ‎13．某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生.为了解学生的就业倾向,用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查,应在丙专业抽取的学生人数为　　　　. ‎ ‎【答案】16‎ ‎【解析】本题考查统计初步的知识,考查分层抽样方法以及基本的运算能力.　应在丙专业抽取的学生人数是×40=16.‎ ‎ ‎ ‎14．椭圆的焦点为，点P在椭圆上，若，则           .‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】本题考查椭圆的定义,椭圆的方程以及简单性质.椭圆的定义向来是高考重点考查对象.‎ 依题意可知,即,,,‎ ‎.‎ ‎ ‎ ‎15．已知点P(2,1),若抛物线的一条弦AB恰好是以P为中点,则弦AB所在直线方程是____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题考查抛物线的性质,中点弦问题,点差法.‎ 设,,则满足,又因为A,B在抛物线上,,两式相减得,则,‎ 即,故由点斜式得直线AB方程为:,即.‎ ‎ ‎ ‎16．以下三个关于圆锥曲线的命题中：‎ ‎①设A、B为两个定点，K为非零常数，若｜PA｜－｜PB｜＝K，则动点P的轨迹是双曲线。‎ ‎②方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率 ‎③双曲线与椭圆有相同的焦点。‎ ‎④已知抛物线y2=2px,以过焦点的一条弦AB为直径作圆，则此圆与准线相切 其中真命题为      (写出所有真命题的序号).‎ ‎【答案】②③④‎ ‎【解析】本题主要考查了圆锥曲线的定义及其简单的几何性质. ①中只有满足，动点P的轨迹为双曲线，故①错误；②中方程的两根可分别2和，因为椭圆的离心率，则可作为椭圆的离心率；因为双曲线的离心率，则2可作为双曲线的离心率，故②正确；③中双曲线的焦点坐标为，椭圆的焦点坐标为，故③正确。④中，设，根据抛物线的定义可知，故半径，又因为的中点即圆的圆心到准线的距离为，所以此圆与准线相切.故④正确.所以真命题的序号为②③④.‎ 三、解答题：共6题 ‎17．已知两直线和.‎ ‎(1)求与交点坐标；‎ ‎(2)求过与交点且与直线平行的直线方程。‎ ‎【答案】(1)联立,‎ ‎(2)可设,把代入得,.‎ ‎【解析】本题考查解析几何初步,直线方程,交点,平行直线方程.‎ ‎(1)通过两直线联立即可得交点坐标为; (2)利用平行直线系方程,再代入交点坐标,即可求出该直线方程为.‎ ‎ ‎ ‎18．已知直线与圆：.‎ ‎(1)直线过定点,求点坐标；‎ ‎(2)求证：直线与圆M必相交；‎ ‎(3)当圆截直线所得弦长最小时，求的值.‎ ‎【答案】(1),直线恒过点(3，0)，‎ ‎(2)(3，0)在圆内，所以直线与圆M必相交；‎ ‎(3)当直线垂直圆心与点连线时，弦长最短.‎ 所以.‎ ‎【解析】本题考查直线过定点问题,直线与圆的位置关系以及弦长最小值问题.‎ ‎(1) 直线即,只需令k的系数为零,即可得定点为(3,0);‎ ‎(2)把定点(3,0)代入圆方程得,故点在圆内,故直线与圆M必相交;‎ ‎(3)当时,弦长最短.则,故.‎ ‎ ‎ ‎19．某工厂随机抽取部分工人调查其上班路上所需时间(单位：分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图)，若上班路上所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，.‎ ‎(1)求直方图中的值；‎ ‎(2)如果上班路上所需时间不少于1小时的工人可申请在工厂住宿，若招工2400人，请估计所招工人中有多少名工人可以申请住宿；‎ ‎(3)该工厂工人上班路上所需的平均时间大约是多少分钟。‎ ‎【答案】(1)由直方图可得：，‎ 解得：.‎ ‎(2)工人上班所需时间不少于1小时的频率为：，‎ 因为，‎ 所以所招2400名工人中有288名工人可以申请住宿.‎ ‎(3)该工厂工人上班路上所需的平均时间为：(分钟).‎ ‎【解析】本题考查频率分布直方图,频率和频数以及平均数. (1)‎ 由直方图可得:,‎ 解得:. (2) 工人上班所需时间不少于1小时的频率为:,因为,所以所招2400名工人中有288名工人可以申请住宿.(3) 该工厂工人上班路上所需的平均时间为:(分钟).‎ ‎ ‎ ‎20．为椭圆上任意一点，为左、右焦点，如图所示.‎ ‎(1)若的中点为，求证:.‎ ‎(2)若∠，求|PF1|·|PF2|之值；‎ ‎(3)椭圆上是否存在点P，使＝0，若存在，求出P点的坐标，若不存在，试说明理由.‎ ‎【答案】(1)证明：在△F1PF2中，MO为中位线，‎ ‎∴|MO|＝＝＝a－＝5－|PF1|.‎ ‎(2)解：∵ |PF1|＋|PF2|＝10，‎ ‎∴|PF1|2＋|PF2|2＝100－2|PF1|·|PF2|，‎ 在△，‎ ‎∴=100-2-36，∴=.‎ ‎(3)设点.①‎ 易知，‎ ‎，‎ ‎∵，②‎ 由①②组成方程组，此方程组无解，故这样的点P不存在.‎ ‎【解析】本题考查直线与圆锥曲线的关系,椭圆的简单性质.‎ ‎（1）在△F1PF2中,MO为中位线,根据三角形的中位线定理再结合椭圆的定义即可得出答案;‎ ‎（2）先利用椭圆的定义得到:,再在△PF1F2中利用余弦定理得出,两者结合即可求得,由三角形面积公式即可得解;‎ ‎（3）先设点P（x0,y0）,根据椭圆的性质,易知F1（-3,0）,F2（3,0）,写出向量的坐标再结合向量垂直的条件得出关于P点坐标的方程组,由此方程组无解,故这样的点P不存在.‎ ‎ ‎ ‎21．如图，已知抛物线的焦点为F.过点的直线交抛物线于A，B两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点M，N.‎ ‎(Ⅰ)求的值；‎ ‎(Ⅱ)记直线MN的斜率为，直线AB的斜率为证明：为定值 ‎【答案】(Ⅰ)依题意,设直线的方程为.将其代入，消去,整理得.从而.‎ ‎(Ⅱ)AF:与联立,得 由韦达定理得,,‎ 同理，.‎ ‎(定值).‎ ‎【解析】本题考查直线与圆锥曲线的关系,直线的斜率.‎ ‎（Ⅰ）设过P的直线方程为,代入,可得,利用韦达定理,可得结论;（Ⅱ）证明:设M（x3，y3）,N（x4，y4）,设AM直线为,联立得,求出M,N的坐标,再利用斜率公式,即可得证.‎ ‎ ‎ ‎22．如图,点是椭圆的一个顶点,的长轴是圆的直径.是过点且互相垂直的两条直线,其中交圆于两点,交椭圆于另一点 ‎(1)求椭圆的方程;   (2)求面积取最大值时直线的方程.‎ ‎【答案】(Ⅰ)由已知得到,且,‎ 所以椭圆的方程是;‎ ‎(Ⅱ)因为直线,且都过点,所以设直线,直线,所以圆心到直线的距离为,所以直线被圆所截的弦;‎ 由,‎ ‎∴，∴,‎ 所以=‎ ‎===‎ ‎=‎ ‎==,‎ 当时等号成立,此时直线.‎ ‎【解析】本题考查直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程.‎ ‎（1）由题意可得,,即可得到椭圆的方程;（2）设A（x1,y1）,B（x2,y2）,D（x0,y0）.由题意可知:直线l1的斜率存在,设为k,则直线l1的方程为.利用点到直线的距离公式和弦长公式即可得出圆心O到直线l1的距离和弦长|AB|,又l2⊥l1,可得直线l2的方程为,与椭圆的方程联立即可得到点D的横坐标,即可得出|PD|,即可得到三角形ABD的面积,利用基本不等式的性质即可得出其最大值,即得到k的值.‎ ‎ ‎