【数学】2020届江苏一轮复习通用版4-2三角函数的图象和性质作业

【数学】2020届江苏一轮复习通用版4-2三角函数的图象和性质作业

‎4.2　三角函数的图象和性质 挖命题 ‎【考情探究】‎ 考点 内容解读 ‎5年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 三角函数的图象及其变换 ‎1.由图象求参数 ‎2.由表达式确定图象 ‎2014江苏,5‎ 三角函数的图象 特殊角的三角函数 ‎★★☆‎ ‎2016江苏,9‎ 三角函数的图象 三角函数的性质及其应用 ‎1.判断三角函数的性质 ‎2.由性质求相关参数 ‎★☆☆‎ 分析解读　　三角函数的图象与性质是江苏高考的热点,考查重点在以下几个方面:函数解析式、函数图象及其变换、两域(定义域、值域)、四性(单调性、奇偶性、对称性、周期性).‎ 破考点 ‎【考点集训】‎ 考点一　三角函数的图象及其变换 ‎　(2017江苏南京、盐城一模,9)将函数y=3sin‎2x+‎π‎3‎的图象向右平移φ‎0<φ<‎π‎2‎个单位后,所得图象对应的函数为偶函数,则φ=　　　　. ‎ 答案　‎‎5π‎12‎ 考点二　三角函数的性质及其应用 ‎1.函数f(x)=sin x-‎3‎cos x(-π≤x≤0)的单调增区间是　　　　. ‎ 答案　‎‎-π‎6‎,0‎ ‎2.(2017江苏徐州沛县中学质检,12)若函数y=sin x+mcos x图象的一条对称轴方程为x=π‎6‎,则实数m的值为　　　　. ‎ 答案　‎‎3‎ 炼技法 ‎【方法集训】‎ 方法一　三角函数的性质 ‎1.函数y=3tan‎2x+‎π‎3‎的图象的对称中心是　　　　. ‎ 答案　kπ‎4‎‎-π‎6‎,0‎(k∈Z)‎ ‎2.函数y=-3sin2x+9sin x+‎5‎‎4‎的最大值为　　　　. ‎ 答案　‎‎29‎‎4‎ 方法二　利用三角函数性质求参数 ‎1.已知ω是正实数,函数f(x)=2sin ωx在‎-π‎3‎,‎π‎4‎上是增函数,则ω的取值范围为　　　　. ‎ 答案　‎‎0,‎‎3‎‎2‎ ‎2.是否存在实数k,使得当x∈π‎6‎‎,‎π‎3‎时,k+tanπ‎3‎‎-2x的值总不大于零?若存在,求出k的范围;若不存在,请说明理由.‎ 解析　假设存在实数k,符合题意,则k≤tan‎2x-‎π‎3‎恒成立,‎ ‎∴k≤tan‎2x-‎π‎3‎min,‎ 而当x∈π‎6‎‎,‎π‎3‎时,0≤2x-π‎3‎≤π‎3‎,‎ ‎0≤tan‎2x-‎π‎3‎≤‎3‎,∴k≤0,‎ 所以存在符合条件的实数k,其取值范围为(-∞,0].‎ 过专题 ‎【五年高考】‎ A组　自主命题·江苏卷题组 ‎1.(2016江苏,9,5分)定义在区间[0,3π]上的函数y=sin 2x的图象与y=cos x的图象的交点个数是　　　　. ‎ 答案　7‎ ‎2.(2014江苏,5,5分)已知函数y=cos x与y=sin(2x+φ)(0≤φ<π),它们的图象有一个横坐标为π‎3‎的交点,则φ的值是　　　　. ‎ 答案　‎π‎6‎ B组　统一命题、省(区、市)卷题组 考点一　三角函数的图象及其变换 ‎1.(2017课标全国Ⅰ理改编,9,5分)已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin‎2x+‎‎2π‎3‎,则下面结论正确的是　　　　(填序号). ‎ ‎①把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π‎6‎个单位长度,得到曲线C2;‎ ‎②把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π‎12‎个单位长度,得到曲线C2;‎ ‎③把C1上各点的横坐标缩短到原来的‎1‎‎2‎,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π‎6‎个单位长度,得到曲线C2;‎ ‎④把C1上各点的横坐标缩短到原来的‎1‎‎2‎,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π‎12‎个单位长度,得到曲线C2.‎ 答案　④‎ ‎2.(2016课标全国Ⅰ改编,6,5分)将函数y=2sin‎2x+‎π‎6‎的图象向右平移‎1‎‎4‎个周期后,所得图象对应的函数为　　　　　. ‎ 答案　y=2sin‎2x-‎π‎3‎ ‎3.(2016课标Ⅲ,14,5分)函数y=sin x-‎3‎cos x的图象可由函数y=2sin x的图象至少向右平移　　　　个单位长度得到. ‎ 答案　‎π‎3‎ 考点二　三角函数的性质及其应用 ‎1.(2018课标全国Ⅱ理改编,10,5分)若f(x)=cos x-sin x在[-a,a]上是减函数,则a的最大值是　　　　. ‎ 答案　‎π‎4‎ ‎2.(2018北京理,11,5分)设函数f(x)=cosωx-‎π‎6‎(ω>0).若f(x)≤fπ‎4‎对任意的实数x都成立,则ω的最小值为　　　　. ‎ 答案　‎‎2‎‎3‎ ‎3.(2017课标全国Ⅲ文改编,6,5分)函数f(x)=‎1‎‎5‎sinx+‎π‎3‎+cosx-‎π‎6‎的最大值为　　　　. ‎ 答案　‎‎6‎‎5‎ ‎4.(2017课标全国Ⅱ文,13,5分)函数f(x)=2cos x+sin x的最大值为　　　　. ‎ 答案　‎‎5‎ ‎5.(2017课标全国Ⅱ理,14,5分)函数f(x)=sin2x+‎3‎cos x-‎3‎‎4‎x∈‎‎0,‎π‎2‎的最大值是　　　　. ‎ 答案　1‎ ‎6.(2016课标全国Ⅱ理改编,7,5分)若将函数y=2sin 2x的图象向左平移π‎12‎个单位长度,则平移后图象的对称轴为　　　　　　　　. ‎ 答案　x=kπ‎2‎+π‎6‎(k∈Z)‎ C组　教师专用题组 ‎1.(2016四川理改编,3,5分)为了得到函数y=sin‎2x-‎π‎3‎的图象,只需把函数y=sin 2x的图象上所有的点向　　　平移　　　个单位长度. ‎ 答案　右;‎π‎6‎ ‎2.(2015湖南改编,9,5分)将函数f(x)=sin 2x的图象向右平移φ‎0<φ<‎π‎2‎个单位后得到函数g(x)的图象.若对满足|f(x1)-g(x2)|=2的x1,x2,有|x1-x2|min=π‎3‎,则φ=　　　　. ‎ 答案　‎π‎6‎ ‎3.(2014辽宁改编,9,5分)将函数y=3sin‎2x+‎π‎3‎的图象向右平移π‎2‎个单位长度,所得图象对应的函数在区间　　　　　　　　　_________上单调递增. ‎ 答案　kπ+π‎12‎,kπ+‎‎7π‎12‎(k∈Z)‎ ‎4.(2015福建,19,13分)已知函数f(x)的图象是由函数g(x)=cos x的图象经如下变换得到:先将g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),再将所得到的图象向右平移π‎2‎个单位长度.‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式,并求其图象的对称轴方程;‎ ‎(2)已知关于x的方程f(x)+g(x)=m在[0,2π)内有两个不同的解α,β.‎ ‎(i)求实数m的取值范围;‎ ‎(ii)证明:cos(α-β)=‎2‎m‎2‎‎5‎-1.‎ 解析　(1)将g(x)=cos x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y=2cos x的图象,再将y=2cos x的图象向右平移π‎2‎个单位长度后得到y=2cosx-‎π‎2‎的图象,故f(x)=2sin x.‎ 从而函数f(x)=2sin x图象的对称轴方程为x=kπ+π‎2‎(k∈Z).‎ ‎(2)(i)f(x)+g(x)=2sin x+cos x=‎5‎‎2‎‎5‎sinx+‎1‎‎5‎cosx=‎5‎sin(x+φ)其中sinφ=‎1‎‎5‎,cosφ=‎‎2‎‎5‎.‎ 依题意知,sin(x+φ)=m‎5‎在[0,2π)内有两个不同的解α,β,当且仅当m‎5‎<1,故m的取值范围是(-‎5‎,‎5‎).‎ ‎(ii)证法一:因为α,β是方程‎5‎sin(x+φ)=m在[0,2π)内的两个不同的解,‎ 所以sin(α+φ)=m‎5‎,sin(β+φ)=m‎5‎.‎ 当1≤m<‎5‎时,α+β=2π‎2‎‎-φ,‎ 即α-β=π-2(β+φ);‎ 当-‎5‎0)的最小正周期为4,则ω=　　　　. ‎ 答案　‎π‎2‎ ‎2.(2017江苏南通中学高三上学期期中,7)函数y=2sin‎2x-‎π‎6‎的图象与y轴最近的对称轴方程是　　　　. ‎ 答案　x=-‎π‎6‎ ‎3.(2017江苏扬州中学月考,7)关于x的方程cos2x+4sin x-a=0有解,则实数a的取值范围是　　　　. ‎ 答案　[-4,4]‎ ‎4.(2019届江苏启东中学上学期期初)函数f(x)=sin‎2x-‎π‎4‎在区间‎0,‎π‎2‎上的值域为　　　　. ‎ 答案　‎‎-‎2‎‎2‎,1‎ ‎5.(2019届江苏扬州中学高三10月月考)若函数g(x)=sin ωx+cosωx+‎π‎6‎(ω>0)的图象关于点(2π,0)对称,且在区间‎-π‎3‎,‎π‎6‎上是单调函数,则ω的值为　　　　. ‎ 答案　‎1‎‎3‎或‎5‎‎6‎ ‎6.(2019届江苏淮安淮海中学高三上学期第二阶段测试)已知函数f(x)=sin x(x∈[0,π])和函数g(x)=‎ ‎1‎‎2‎tan x的图象交于A,B,C三点,则△ABC的面积为　　　　. ‎ 答案　‎3‎‎4‎π ‎7.(2018江苏无锡高三期中,7)将函数y=sin 2x的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度,若所得图象过点π‎3‎‎,‎‎1‎‎2‎,则φ的最小值为　　　　. ‎ 答案　‎π‎4‎ ‎8.(2017江苏泰州中学第一学期期中,10)已知函数f(x)=‎3‎sin 2ωx-cos 2ωx(其中ω∈(0,1)),若f(x)的图象经过点π‎6‎‎,0‎,则f(x)在区间[0,π]上的单调递增区间为　　　　. ‎ 答案　‎‎0,‎2‎‎3‎π 二、解答题(共30分)‎ ‎9.(2019届江苏扬州中学高三10月月考)函数f(x)=6cos2ωx‎2‎+‎3‎sin ωx-3(ω>0)在一个周期内的图象如图所示,A为图象的最高点,B、C为图象与x轴的交点,且△ABC为正三角形.‎ ‎(1)求ω的值及函数f(x)的值域;‎ ‎(2)若f(x0)=‎8‎‎3‎‎5‎,且x0∈‎-‎10‎‎3‎,‎‎2‎‎3‎,求f(x0+1)的值.‎ 解析　(1)f(x)=3cos ωx+‎3‎sin ωx=2‎3‎sinωx+‎π‎3‎,‎ ‎∴正三角形ABC的高为2‎3‎,从而BC=4,‎ ‎∴函数f(x)的周期T=4×2=8,即‎2π‎|ω|‎=8,‎ 又ω>0,∴ω=π‎4‎.‎ 易知函数f(x)的值域为[-2‎3‎,2‎3‎].‎ ‎(2)∵f(x0)=‎8‎‎3‎‎5‎,由(1)有f(x0)=2‎3‎sinπ‎4‎x‎0‎‎+‎π‎3‎=‎8‎‎3‎‎5‎,‎ 即sinπ‎4‎x‎0‎‎+‎π‎3‎=‎4‎‎5‎,由x0∈‎-‎10‎‎3‎,‎‎2‎‎3‎,知π‎4‎x0+π‎3‎∈‎-π‎2‎,‎π‎2‎,‎ ‎∴cosπ‎4‎x‎0‎‎+‎π‎3‎=‎1-‎‎4‎‎5‎‎2‎=‎3‎‎5‎.‎ ‎∴f(x0+1)=2‎3‎sinπ‎4‎x‎0‎‎+π‎4‎+‎π‎3‎ ‎=2‎3‎sinπ‎4‎x‎0‎‎+‎π‎3‎‎+‎π‎4‎ ‎=2‎‎3‎sinπ‎4‎x‎0‎‎+‎π‎3‎cosπ‎4‎+cosπ‎4‎x‎0‎‎+‎π‎3‎sinπ‎4‎ ‎=2‎3‎×‎4‎‎5‎‎×‎2‎‎2‎+‎3‎‎5‎×‎‎2‎‎2‎=‎7‎‎6‎‎5‎.‎ ‎10.(2019届江苏海安高级中学上学期第一次月考)已知a=(2cos x,1),b=(‎3‎sin x+cos x,-1),函数f(x)=a·b.‎ ‎(1)求f(x)在区间‎0,‎π‎4‎上的最大值和最小值;‎ ‎(2)若f(x0)=‎6‎‎5‎,x0∈π‎4‎‎,‎π‎2‎,求cos 2x0的值;‎ ‎(3)若函数y=f(ωx)在区间π‎3‎‎,‎‎2π‎3‎上是单调递增函数,求正数ω的取值范围.‎ 解析　(1)f(x)=a·b=2cos x(‎3‎sin x+cos x)-1‎ ‎=‎3‎sin 2x+cos 2x=2sin‎2x+‎π‎6‎,‎ 因为x∈‎0,‎π‎4‎,所以π‎6‎≤2x+π‎6‎≤‎2π‎3‎,‎ 所以‎1‎‎2‎≤sin‎2x+‎π‎6‎≤1,‎ 所以f(x)max=2, f(x)min=1.‎ ‎(2)因为f(x0)=‎6‎‎5‎,所以2sin‎2x‎0‎+‎π‎6‎=‎6‎‎5‎,‎ 所以sin‎2x‎0‎+‎π‎6‎=‎3‎‎5‎,‎ 因为x0∈π‎4‎‎,‎π‎2‎,所以‎2π‎3‎≤2x0+π‎6‎≤‎7π‎6‎,‎ 所以cos‎2x‎0‎+‎π‎6‎=-‎1-sin‎2‎‎2x‎0‎+‎π‎6‎=-‎4‎‎5‎,‎ 所以cos 2x0=cos‎2x‎0‎+‎π‎6‎‎-‎π‎6‎=‎3‎‎2‎cos‎2x‎0‎+‎π‎6‎+‎1‎‎2‎sin‎2x‎0‎+‎π‎6‎=‎3‎‎2‎×‎-‎‎4‎‎5‎+‎1‎‎2‎×‎3‎‎5‎=‎3-4‎‎3‎‎10‎.‎ ‎(3)f(ωx)=sin‎2ωx+‎π‎6‎,‎ 令2kπ-π‎2‎≤2ωx+π‎6‎≤2kπ+π‎2‎,k∈Z,‎ 得kπω-π‎3ω≤x≤kπω+π‎6ω,k∈Z,‎ 因为函数f(x)在π‎3‎‎,‎‎2π‎3‎上是单调递增函数,‎ 所以存在k0∈Z,使得π‎3‎‎,‎‎2π‎3‎⊆k‎0‎πω‎-π‎3ω,k‎0‎πω+‎π‎6ω,‎ 所以有k‎0‎πω‎-π‎3ω≤π‎3‎,‎k‎0‎πω‎+π‎6ω≥‎2π‎3‎.‎ 即‎3k‎0‎≤1+ω,‎‎6k‎0‎+1≥4ω.‎ 因为ω>0,所以k0>-‎1‎‎6‎,又因为‎2π‎3‎-π‎3‎≤‎1‎‎2‎·‎2π‎2ω,‎ 所以0<ω≤‎3‎‎2‎,所以k0≤‎5‎‎6‎.‎ 从而有-‎1‎‎6‎

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