数学卷·2018届河南省驻马店市西平高中高二上学期第四次月考数学试卷（理科） （解析版）

数学卷·2018届河南省驻马店市西平高中高二上学期第四次月考数学试卷（理科） （解析版）

‎2016-2017学年河南省驻马店市西平高中高二（上）第四次月考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．抛物线y=﹣x2的准线方程为（　　）‎ A． B．y=1 C．x=1 D．‎ ‎2．命题：“若a2+b2=0（a，b∈R），则a=b=0”的逆否命题是（　　）‎ A．若a≠b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0‎ B．若a=b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0‎ C．若a≠0且b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0‎ D．若a≠0或b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0‎ ‎3．不等式2x2﹣5x﹣3≥0成立的一个必要不充分条件是（　　）‎ A．x＜0或x＞2 B．x≥0或x≤﹣2 C．x＜﹣1或x＞4 D．或x≥3‎ ‎4．设等差数列{an}的公差d≠0，a1=2d，若ak是a1与a2k+1的等比中项，则k=（　　）‎ A．2 B．3 C．6 D．8‎ ‎5．双曲线上的点P到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为（　　）‎ A．1或21 B．14或36 C．1 D．21‎ ‎6．平行六面体ABCD﹣A'B'C'D'中，若，则x+y+z=（　　）‎ A． B．1 C． D．‎ ‎7．已知A，B，C，D是抛物线y2=8x上的点，F是抛物线的焦点，且，则的值为（　　）‎ A．2 B．4 C．8 D．16‎ ‎8．在锐角△ABC中，BC=1，∠B=2∠A，AC的取值范围为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知F1，F2分别为双曲线C：﹣=1的左、右焦点，若存在过F1的直线分别交双曲线C的左、右支于A，B两点，使得∠BAF2=∠BF2F1，则双曲线C的离心率e的取值范围是（　　）‎ A．（3，+∞） B．（1，2+） C．（3，2+） D．（1，3）‎ ‎10．若实数x，y满足x2+y2﹣2x﹣2y+1=0，则的取值范围为（　　）‎ A．[0，] B．[，+∞） C．（﹣] D．[﹣，0）‎ ‎11．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，与双曲线x2﹣y2=1的渐近线有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为（　　）‎ A． +=1 B． +=1 C． +=1 D． +=1‎ ‎12．已知O为坐标原点，F是椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．命题“∀x∈R，ax2﹣2ax+3＞‎ ‎0恒成立”是真命题，则实数a的取值范围是　　．‎ ‎14．等比数列{an}的前n项和Sn=3n+t，则t+a3的值为　　．‎ ‎15．不等式2x2﹣2axy+y2≥0对任意x∈[1，2]及任意y∈[1，4]恒成立，则实数a取值范围是　　．‎ ‎16．双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点为F，B为其左支上一点，线段BF与双曲线的一条渐进线相交于A，且，（O为坐标原点），则双曲线的离心率为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．已知等差数列{an}首项是1公差不为0，Sn为的前n和，且S22=S1•S4．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设数列bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎18．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．‎ ‎（1）求角A的大小；‎ ‎（2）若a=4，b+c=8，求△ABC的面积．‎ ‎19．命题p：关于x的不等式x2+（a﹣1）x+a2＜0的解集是空集，命题q：已知二次函数f（x）=x2﹣mx+2满足，且当x∈[0，a]时，最大值是2，若命题“p且q”为假，“p或q”为真，求实数a的取值范围．‎ ‎20．如图，圆柱的高为2，底面半径为3，AE，DF是圆柱的两条母线，B、C是下底面圆周上的两点，已知四边形ABCD是正方形．‎ ‎（1）求证：BC⊥BE；‎ ‎（2）求几何体AEB﹣DFC的体积；‎ ‎（3）求平面DFC与平面ABF所成的锐二面角的余弦值．‎ ‎21．已知椭圆C的方程为，双曲线的两条渐进线为l1、l2，且l1与x轴所成的夹角为30°，且双曲线的焦距为．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）过椭圆C的右焦点F作直线l，l与椭圆C相交于A、B，与圆O：x2+y2=a2相交于D、E两点，当△OAB的面积最大时，求弦DE的长．‎ ‎22．已知E（2，2）是抛物线C：y2=2px上一点，经过点（2，0）的直线l与抛物线C交于A，B两点（不同于点E），直线EA，EB分别交直线﹣2于点M，N．‎ ‎（1）求抛物线方程及其焦点坐标；‎ ‎（2）已知O为原点，求证：以MN为直径的圆恰好经过原点．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年河南省驻马店市西平高中高二（上）第四次月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．抛物线y=﹣x2的准线方程为（　　）‎ A． B．y=1 C．x=1 D．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】将抛物线化成标准方程，得x2=﹣4y，由此求出=1，即可得到该抛物线的准线方程．‎ ‎【解答】解：∵抛物线方程化简，得x2=﹣4y，‎ ‎∴2p=4，可得=1，‎ 因此抛物线的焦点坐标为F（0，﹣1），准线方程为y=1．‎ 故选：B ‎　‎ ‎2．命题：“若a2+b2=0（a，b∈R），则a=b=0”的逆否命题是（　　）‎ A．若a≠b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0‎ B．若a=b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0‎ C．若a≠0且b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0‎ D．若a≠0或b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0‎ ‎【考点】四种命题．‎ ‎【分析】根据逆否命题的定义，直接作答即可，注意常见逻辑连接词的否定形式．‎ ‎【解答】解：“且”的否定为“或”，因此其逆否命题为“若a≠0或b≠0，则a2+b2≠0”；‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎3．不等式2x2﹣5x﹣3≥0成立的一个必要不充分条件是（　　）‎ A．x＜0或x＞2 B．x≥0或x≤﹣2 C．x＜﹣1或x＞4 D．或x≥3‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法．‎ ‎【分析】根据题意，解不等式2x2﹣5x﹣3≥0可得x≤﹣或x≥3，可以转化为找x≤﹣或x≥3的必要不充分条件条件；依次分析选项即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，解不等式2x2﹣5x﹣3≥0可得x≤﹣或x≥3，‎ 则2x2﹣5x﹣3≥0⇔x≤﹣或x≥3；‎ 即找x≤﹣或x≥3的必要不充分条件条件；‎ 依次选项可得：、x＜﹣1或x＞4是x≤﹣或x≥3成立的必要不充分条件条件，‎ 其余三个选项均不符合；‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．设等差数列{an}的公差d≠0，a1=2d，若ak是a1与a2k+1的等比中项，则k=（　　）‎ A．2 B．3 C．6 D．8‎ ‎【考点】等差数列与等比数列的综合．‎ ‎【分析】根据等差数列的通项公式表示出ak与a2k+1，由ak是a1与a2k+1的等比中项，根据等比数列的性质列出关系式，根据公差d不为0，化简后得到关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．‎ ‎【解答】解：由a1=2d，得到ak=2d+（k﹣1）d=（k+1）d，a2k+1=2d+2kd=（2k+2）d，‎ 又ak是a1与a2k+1的等比中项，所以[（k+1）d]2=2d[（2k+2）d]，‎ 化简得：（k+1）2d2=4（k+1）d2，由d≠0，‎ 得到：（k+1）2=4（k+1），即k2﹣2k﹣3=0，k为正整数，‎ 解得：k=3，k=﹣1（舍去），‎ 则k的值为3．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎5．双曲线上的点P到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为（　　）‎ A．1或21 B．14或36 C．1 D．21‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】利用双曲线的定义||PF1|﹣|PF2||=2a=10，结合题意即可求得答案．‎ ‎【解答】解：依题意，设P到另一个焦点的距离为m（m＞0），‎ ‎∵P到一个焦点的距离为11，‎ ‎∴由双曲线的定义得：|11﹣m|=10，‎ ‎∴m=1或m=21．‎ ‎∵a=5，c=7，不妨设点P为右支上的点，则当点P为右顶点，F1为左焦点时，|PF1|≥a+c=12，|PF2|≥7﹣5=2，‎ ‎∴m=1不符合题意，舍去．‎ 故选D．．‎ ‎　‎ ‎6．平行六面体ABCD﹣A'B'C'D'中，若，则x+y+z=（　　）‎ A． B．1 C． D．‎ ‎【考点】平面向量的基本定理及其意义．‎ ‎【分析】由题意，，结合条件，求出x，y，z，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：由题意，，‎ ‎∵，‎ ‎∴x=1，y=，z=﹣，‎ ‎∴x+y+z=1+=．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎7．已知A，B，C，D是抛物线y2=8x上的点，F是抛物线的焦点，且，则的值为（　　）‎ A．2 B．4 C．8 D．16‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】由题意可得，焦点F（2，0），准线为x=﹣2，由，可得x1+x2+x3+x4=8，根据抛物线的定义，可得结论．‎ ‎【解答】解：抛物线y2=8x的准线方程为x=﹣2，焦点F坐标为（2，0）．‎ 设A，B，C，D的横坐标分别为x1，x2，x3，x4，则 ‎∵，‎ ‎∴x1﹣2+x2﹣2+x3﹣2+x4﹣2=0，‎ ‎∴x1+x2+x3+x4=8，‎ 根据抛物线的定义，可得=x1+x2+x3+x4+8=16．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．在锐角△ABC中，BC=1，∠B=2∠A，AC的取值范围为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】三角形中的几何计算．‎ ‎【分析】求出A的范围，由正弦定理可得 b=2cosA，从而得到 b 的取值范围．‎ ‎【解答】解：在锐角△ABC中，BC=1，∠B=2∠A，‎ ‎∴＜3 A＜π，且 0＜2A＜，‎ 故＜A＜，‎ 故 ＜cosA＜． ‎ 由正弦定理可得 =，‎ ‎∴b=2cosA，‎ ‎∴＜b＜，‎ 故选：C ‎　‎ ‎9．已知F1，F2分别为双曲线C：﹣=1的左、右焦点，若存在过F1的直线分别交双曲线C的左、右支于A，B两点，使得∠BAF2=∠BF2F1，则双曲线C的离心率e的取值范围是（　　）‎ A．（3，+∞） B．（1，2+） C．（3，2+） D．（1，3）‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由三角形相似的判断可得△BAF2∽△BF2F1，即有==，运用双曲线的定义和最值的性质，结合离心率公式，即可得到所求范围．‎ ‎【解答】解：在△BAF2和△BF2F1中，‎ 由∠BAF2=∠BF2F1，∠ABF2=∠F2BF1，‎ 可得△BAF2∽△BF2F1，‎ 即有==，‎ 即为==，‎ ‎==e＞1，‎ 可得AF2=e（BF2﹣BA）＞c+a，即有BF2＞BA，‎ 又BA＞2a，‎ 即BF2＞2a，‎ BF2取最小值c﹣a时，BF2也要大于BA，‎ 可得2a＜c﹣a，即c＞3a，‎ 即有e=＞3．‎ 当AF1与x轴重合，即有=，‎ e=，可得e2﹣4e﹣1=0，解得e=2+，‎ 即有3＜e＜2+．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎10．若实数x，y满足x2+y2﹣2x﹣2y+1=0，则的取值范围为（　　）‎ A．[0，] B．[，+∞） C．（﹣] D．[﹣，0）‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】已知等式变形后得到圆方程，找出圆心与半径，求出圆心（1，1）到直线tx﹣y﹣2t+4=0的距离d=≤1，‎ 即可得出所求式子的范围．‎ ‎【解答】解：令=t，即tx﹣y﹣2t+4=0，表示一条直线；又方程x2+y2﹣2x﹣2y+1=0可化为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，表示圆心为（1，1），半径1的圆；‎ 由题意直线与圆有公共点，∴圆心（1，1）到直线tx﹣y﹣2t+4=0的距离d=≤1，‎ ‎∴t≥，即的取值范围为[，+∞）．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎11．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，与双曲线x2﹣y2=1的渐近线有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为（　　）‎ A． +=1 B． +=1 C． +=1 D． +=1‎ ‎【考点】圆锥曲线的共同特征；椭圆的标准方程；双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由题意，双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为y=±x，根据以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，可得（2，2）在椭圆C： +=1．利用，即可求得椭圆方程．‎ ‎【解答】解：由题意，双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为y=±x ‎∵以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，故边长为4，‎ ‎∴（2，2）在椭圆C： +=1（a＞b＞0）上 ‎∴‎ 又∵‎ ‎∴‎ ‎∴a2=4b2‎ ‎∴a2=20，b2=5‎ ‎∴椭圆方程为： +=1‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎12．已知O为坐标原点，F是椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由题意可得F，A，B的坐标，设出直线AE的方程为y=k（x+a），分别令x=﹣c，x=0，可得M，E的坐标，再由中点坐标公式可得H的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值．‎ ‎【解答】解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），‎ 令x=﹣c，代入椭圆方程可得y=±b=±，‎ 可得P（﹣c，±），‎ 设直线AE的方程为y=k（x+a），‎ 令x=﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x=0，可得E（0，ka），‎ 设OE的中点为H，可得H（0，），‎ 由B，H，M三点共线，可得kBH=kBM，‎ 即为=，‎ 化简可得=，即为a=3c，‎ 可得e==．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．命题“∀x∈R，ax2﹣2ax+3＞0恒成立”是真命题，则实数a的取值范围是　0≤a＜3　．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】若命题“∀x∈R，ax2﹣2ax+3＞0恒成立”是真命题，则a=0，或，解得实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：若命题“∀x∈R，ax2﹣2ax+3＞0恒成立”是真命题，‎ 则a=0，或，‎ 解得：0≤a＜3，‎ 故答案为：0≤a＜3．‎ ‎　‎ ‎14．等比数列{an}的前n项和Sn=3n+t，则t+a3的值为　17　．‎ ‎【考点】等比数列的性质；等比数列的前n项和．‎ ‎【分析】由题意易得数列的前3项，可得t的方程，解t值可得答案．‎ ‎【解答】解：由题意可得a1=S1=3+t，a2=S2﹣S1=6，a3=S3﹣S2=18，‎ 由等比数列可得36=（3+t）•18，解得t=﹣1，‎ ‎∴t+a3=﹣1+18=17．‎ 故答案为17．‎ ‎　‎ ‎15．不等式2x2﹣2axy+y2≥0对任意x∈[1，2]及任意y∈[1，4]恒成立，则实数a取值范围是　（﹣∞，]　．‎ ‎【考点】基本不等式在最值问题中的应用．‎ ‎【分析】不等式等价变化为2a≤=+，由x∈[1，2]及y∈[1，4]，求得≤≤4，运用基本不等式求得+的最小值即可．‎ ‎【解答】解：依题意，不等式2x2﹣2axy+y2≤0等价为2a≤=+，‎ 设t=，‎ ‎∵x∈[1，2]及y∈[1，4]，‎ ‎∴≤≤1，即≤≤4，‎ ‎∴≤t≤4，‎ 则+=t+，‎ ‎∵t+≥2=2，‎ 当且仅当t=，即t=∈[，4]时取等号．‎ ‎∴2a≤2，‎ 即a≤，‎ 故答案为：（﹣∞，]．‎ ‎　‎ ‎16．双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点为F，B为其左支上一点，线段BF与双曲线的一条渐进线相交于A，且，（O为坐标原点），则双曲线的离心率为　　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由题意，OA垂直平分BF，设F（c，0），B（m，n），运用点关于直线对称的特点，由中点坐标公式和垂直的条件解得m，n，代入双曲线方程，化简整理，结合离心率公式计算即可得到．‎ ‎【解答】解：由题意，OA垂直平分BF，‎ 设F（c，0），B（m，n），‎ 则，且n=•（c+m），‎ 解得m=，n=．‎ 将B代入双曲线方程，﹣=1，b2=c2﹣a2．‎ 化简整理可得，c2=5a2，‎ ‎∴e=，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．已知等差数列{an}首项是1公差不为0，Sn为的前n和，且S22=S1•S4．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设数列bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】（1）由等差数列的性质可得：，即，由a1=1，d≠0，求得d，根据等差数列通项公式，即可求得数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）由（1）可得=（﹣），利用“裂项法”即可求得数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【解答】解：（1）由已知，得，即，‎ ‎∴，‎ 又由a1=1，d≠0，‎ ‎∴d=2，‎ an=1+2（n﹣1）=2n﹣1，‎ 数列{an}的通项公式an=2n﹣1；‎ ‎（2）由（1）可得=（﹣‎ ‎），‎ Tn=b1+b2+b3+…+bn，‎ ‎=，‎ 数列{bn}的前n项和Tn=．‎ ‎　‎ ‎18．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．‎ ‎（1）求角A的大小；‎ ‎（2）若a=4，b+c=8，求△ABC的面积．‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】（1）由正弦定理将已知等式化成角的正弦的形式，化简解出sinA=，再由△ABC是锐角三角形，即可算出角A的大小；‎ ‎（2）由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA的式子，结合题意化简得b2+c2﹣bc=16，与联解b+c=8得到bc的值，再根据三角形的面积公式加以计算，可得△ABC的面积．‎ ‎【解答】解：（1）∵△ABC中，，‎ ‎∴根据正弦定理，得，‎ ‎∵锐角△ABC中，sinB＞0，‎ ‎∴等式两边约去sinB，得sinA=‎ ‎∵A是锐角△ABC的内角，∴A=；‎ ‎（2）∵a=4，A=，‎ ‎∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，得16=b2+c2﹣2bccos，‎ 化简得b2+c2﹣bc=16，‎ ‎∵b+c=8，平方得b2+c2+2bc=64，‎ ‎∴两式相减，得3bc=48，可得bc=16．‎ 因此，△ABC的面积S=bcsinA=×16×sin=4．‎ ‎　‎ ‎19．命题p：关于x的不等式x2+（a﹣1）x+a2＜0的解集是空集，命题q：已知二次函数f（x）=x2﹣mx+2满足，且当x∈[0，a]时，最大值是2，若命题“p且q”为假，“p或q”为真，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】对于命题p：由关于x的不等式x2+（a﹣1）x+a2＜0的解集是空集，可得△≤0，解得p的取值范围．由已知得二次函数f（x）=x2﹣mx+2的对称轴为，可得m，可得f（x）=x2﹣3x+2，当x∈[0，a]时，最大值是2，由对称性知a的取值范围．由命题“p且q”为假，“p或q”为真，可知：p，q恰一真一假．‎ ‎【解答】解：对于命题p：∵关于x的不等式x2+（a﹣1）x+a2＜0的解集是空集，‎ ‎∴△=﹣3a2﹣2a+1≤0，解得，‎ 由已知得二次函数f（x）=x2﹣mx+2的对称轴为，‎ 即，∴m=3，f（x）=x2﹣3x+2，‎ 当x∈[0，a]时，最大值是2，由对称性知q：0＜a≤3．‎ 由命题“p且q”为假，“p或q”为真，可知：p，q恰一真一假．‎ 当p真q假时，，∴a≤﹣1或a＞3，‎ 当p假q真时，，∴，‎ 综上可得，．‎ ‎　‎ ‎20．如图，圆柱的高为2，底面半径为3，AE，DF是圆柱的两条母线，B、C是下底面圆周上的两点，已知四边形ABCD是正方形．‎ ‎（1）求证：BC⊥BE；‎ ‎（2）求几何体AEB﹣DFC的体积；‎ ‎（3）求平面DFC与平面ABF所成的锐二面角的余弦值．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积．‎ ‎【分析】（1）根据AE⊥底面BEFC，可得AE⊥BC，而AB⊥BC，又AE∩AB=A满足线面垂直的判定定理所需条件，则BC⊥面ABE，根据线面垂直的性质可知BC⊥BE；．‎ ‎（2）根据题意可知四边形EFBC为矩形则BF为圆柱下底面的直径，设正方形ABCD的边长为x，建立方程，解之即可求出经，由此能求出几何体AEB﹣DFC的体积．‎ ‎（3）以F为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面DFC与平面ABF所成的锐二面角的余弦值．‎ ‎【解答】证明：（1）∵AE是圆柱的母线，∴AE⊥底面BEFC，‎ ‎∵BC⊂面BEFC，∴AE⊥BC，‎ ‎∵ABCD是正方形，∴AB⊥BC，‎ 又AE∩AB=A，∴BC⊥面ABE，‎ 又BE⊂面AB，∴BC⊥BE．‎ ‎（2）∵四边形AEFD为矩形，且ABCD是正方，∴EFBC，‎ ‎∵BC⊥BE，∴四边形EFBC为矩形，‎ ‎∴BF为圆柱下底面的直径，‎ 设正方形ABCD的边长为x，则AD=EF=AB=x，‎ 在直角△AEB中，AE=2，AB=x，且BE2+AE2=AB2，得BE2=x2﹣4，‎ 在直角△BEF中，BF=6，EF=x，且BE2+EF2=BF2，得BE2=36﹣x2，‎ 解得x=2，即正方形ABCD的边长为2，‎ ‎∴何体AEB﹣DFC的体积V=S△AEB•EF==‎ ‎=8．‎ ‎（3）如图以F为原点建立空间直角坐标系，‎ 则A（2，0，2），B（2，4，0），F（0，0，0），C（0，4，0），D（0，0，2），‎ ‎=（2，0，2），=（2，4，0），=（0，4，0），=（0，0，2），‎ 设平面ABF的法向量=（x，y，z），‎ 则，取x=，得=（，﹣，﹣5），‎ 设平面CDF的法向量=（1，0，0），‎ 设平面DFC与平面ABF所成的锐二面角为θ，‎ 则cosθ===．‎ ‎∴平面DFC与平面ABF所成的锐二面角的余弦值为．‎ ‎　‎ ‎21．已知椭圆C的方程为，双曲线的两条渐进线为l1、l2，且l1与x轴所成的夹角为30°，且双曲线的焦距为．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）过椭圆C的右焦点F作直线l，l与椭圆C相交于A、B，与圆O：x2+y2=a2‎ 相交于D、E两点，当△OAB的面积最大时，求弦DE的长．‎ ‎【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（1）因为直线l1的倾斜角为30°，所以，因为双曲线的焦距为4，所以c=4再根据a，b，c关系，可得椭圆方程．‎ ‎（2）设直线l的方程为：my=x﹣2．与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，利用弦长公式可得弦弦长|AB|，利用点到直线的距离公式可得原点到直线l的距离d，再利用S△OAB=|AB|d，导利用基本不等式求最值，及直线方程，再求圆的弦．‎ ‎【解答】解：（1）由已知得，a2+b2=8．解得：a2=6，b2=2，∴椭圆C的方程为：．‎ ‎（2）解：∵椭圆C的右焦点F（2，0），故设直线l的方程为：x=my+2．‎ 联立得化为（3+m2）y2+4my﹣2=0．‎ ‎|AB|==，点O到直线l的距离d=．‎ S△OAB=|AB|d=，‎ 令=t≥1，S△OAB=f（t）=，‎ 当t=，即m=±1时，△OAB的面积最大．‎ 此时直线l的方程为：x=±y+2，‎ 圆心O到直线l的距离为d1=，DE=2．‎ ‎　‎ ‎22．已知E（2，2）是抛物线C：y2‎ ‎=2px上一点，经过点（2，0）的直线l与抛物线C交于A，B两点（不同于点E），直线EA，EB分别交直线﹣2于点M，N．‎ ‎（1）求抛物线方程及其焦点坐标；‎ ‎（2）已知O为原点，求证：以MN为直径的圆恰好经过原点．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】（1）将E（2，2）代入y2=2px，可得抛物线方程及其焦点坐标；‎ ‎（2）设出直线方程代入抛物线方程，利用韦达定理及向量知识，计算=0，即可得到结论．‎ ‎【解答】（1）解：将E（2，2）代入y2=2px，得p=1‎ 所以抛物线方程为y2=2x，焦点坐标为 ‎（2）证明：设，，M（xM，yM），N（xN，yN），‎ 设直线l方程为x=my+2，与抛物线方程联立，消去x，得：y2﹣2my﹣4=0‎ 则由韦达定理得：y1y2=﹣4，y1+y2=2m 直线AE的方程为：，即，‎ 令x=﹣2，得 同理可得：‎ ‎∴=4+yMyN=4+=4+=0‎ ‎∴OM⊥ON，即∠MON为定值．‎ ‎　‎ ‎2017年4月19日