2020_2021学年新教材高中数学第7章三角函数7

2020_2021学年新教材高中数学第7章三角函数7

‎7.3.2　‎三角函数的图象与性质 第1课时　正弦、余弦函数的图象 学 习 目 标 核 心 素 养 ‎1．了解正弦函数、余弦函数的图象．‎ ‎2．会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象．(重点)‎ ‎3．借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质．(重点、难点)‎ 通过学习本节内容，培养学生的直观想象的核心素养．‎ 网上百度一下一个物理实验：“沙摆实验”视频，就是将一个装满细砂的漏斗挂在一个铁架上做单摆运动时，沙子落在与单摆运动方向垂直的木板上，我们通过实验看看落在木板上的细砂轨迹是什么？‎ ‎1．正弦曲线、余弦曲线 正弦函数y＝sin x(x∈R)和余弦函数y＝cos x(x∈R)的图象分别叫作正弦曲线和余弦曲线(如图)．‎ ‎2．“五点法”画图 画正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．‎ - 8 -‎ 画余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．‎ ‎3．正弦、余弦曲线的联系 依据诱导公式cos x＝sin，要得到y＝cos x的图象，只需把y＝sin x的图象向左平移个单位长度即可．‎ 思考：作正、余弦函数的图象时，函数自变量能用角度制吗？‎ ‎[提示]　作图象时，函数自变量要用弧度制，自变量与函数值均为实数，因此在x轴、y轴上可以统一单位，这样作出的图象正规便于应用．‎ ‎1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)正弦曲线的图象向左右无限延展． (　　)‎ ‎(2)y＝sin x与y＝cos x的图象形状相同，只是位置不同． (　　)‎ ‎(3)函数y＝cos x的图象与y轴只有一个交点． (　　)‎ ‎[答案]　(1)√　(2)√　(3)√‎ ‎2．用“五点法”作y＝2sin 2x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是________．‎ ‎[答案]　0，，，，π ‎3．不等式cos x＜0，x∈[0,2π]的解集为________．‎ ‎[答案] 利用“五点法”作简图 ‎【例1】　用“五点法”作出下列函数的图象．‎ ‎(1)y＝sin x－1，x∈[0,2π]；‎ ‎(2)y＝2＋cos x，x∈[0,2π]；‎ ‎(3)y＝－1－cos x，x∈[0,2π]．‎ ‎[思路点拨]　先分别取出相应函数在[0,2π]上的五个关键点，再描点连线．‎ ‎[解]　(1)列表如下：‎ x ‎0‎ π π ‎2π - 8 -‎ sin x ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎－1‎ ‎0‎ sin x－1‎ ‎－1‎ ‎0‎ ‎－1‎ ‎－2‎ ‎－1‎ 描点连线，如图①所示：‎ ‎①‎ ‎(2)列表如下：‎ x ‎0‎ π π ‎2π cos x ‎1‎ ‎0‎ ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2＋cos x ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 描点连线，如图②所示：‎ ‎②‎ ‎(3)列表如下：‎ x ‎0‎ π ‎2π cos x ‎1‎ ‎0‎ ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎－1－cos x ‎－2‎ ‎－1‎ ‎0‎ ‎－1‎ ‎－2‎ 描点连线，如图③所示：‎ ‎③‎ 用五点法画函数y＝Asin x＋b(A≠0)或y＝Acos x＋b(A≠0)在[0,2π]上的简图的步骤如下 ‎(1)列表：‎ - 8 -‎ x ‎0‎ π ‎2π sin x(或cos x)‎ y ‎(2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，y)，，(π，y)，，(2π，y)，这里的y是通过函数式计算得到的．‎ ‎(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，不要用线段进行连接．‎ 提醒：对于正、余弦函数的图象问题，要画出正确的正弦曲线、余弦曲线，掌握两者的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到．‎ ‎1．用“五点法”作出函数y＝3＋2cos x在一个周期内的图象．‎ ‎[解]　按五个关键点列表、描点，并将它们用光滑的曲线连接起来．‎ x ‎0‎ π ‎2π cos x ‎1‎ ‎0‎ ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎3＋2cos x ‎5‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎5‎ 利用正、余弦曲线解三角不等式 ‎【例2】　利用正弦曲线，求满足＜sin x≤的x的集合．‎ ‎[思路点拨]　作出正弦函数y＝sin x在一个周期内的图象，然后借助图象求解．‎ ‎[解]　首先作出y＝sin x在[0,2π]上的图象，如图所示，‎ - 8 -‎ 作直线y＝，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y＝sin x，x∈[0,2π]的交点横坐标为和；作直线y＝，该直线与y＝sin x，x∈[0,2π]的交点横坐标为和．观察图象可知，在[0,2π]上，当＜x≤，或≤x＜时，不等式＜sin x≤成立，‎ 所以＜sin x≤的解集为．‎ 利用正弦曲线、余弦曲线解三角不等式的一般步骤 (1)画出正弦函数y＝sin x或余弦函数y＝cos x在[0，2π]上的图象；‎ (2)写出适合不等式在区间[0，2π]上的解集；‎ (3)把此解集推广到整个定义域上去.‎ ‎2．求下列函数的定义域：‎ ‎(1)y＝；(2)y＝．‎ ‎[解]　(1)要使y＝有意义，则必须满足2sin x＋1≥0，即sin x≥－．‎ 结合正弦曲线或三角函数线，‎ 如图所示，知函数y＝的定义域为 ．‎ ‎(2)要使函数有意义，必须满足sin x－cos x≥0．‎ 在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示．‎ 在[0,2π]内，满足sin x＝cos x的x为， - 8 -‎ ‎，再结合正弦、余弦函数的图象，知所求定义域为．‎ 正、余弦函数图象的应用 ‎[探究问题]‎ ‎1．你能借助图象的变换作出y＝|sin x|的图象吗？试画出其图象．‎ ‎[提示]　先画出y＝sin x的图象，然后将其x轴下方的部分对称到x轴的上方(x轴上方的保持不变)即可得到y＝|sin x|的图象，如图．‎ ‎2．方程|sin x|＝a，a∈R在[0,2π]上有几解？‎ ‎[提示]　当a＜0时，方程|sin x|＝a无解；‎ 当a＝0时，方程|sin x|＝a有三解；‎ 当0＜a＜1时，方程|sin x|＝a有四解；‎ 当a＝1时，方程|sin x|＝a有两解；‎ 当a＞1时，方程|sin x|＝a无解．‎ ‎【例3】　在同一坐标系中，作函数y＝sin x和y＝lg x的图象，根据图象判断出方程sin x＝lg x的解的个数．‎ ‎[思路点拨]　―→―→ ‎―→ ‎[解]　建立直角坐标系xOy，先用五点法画出函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，再依次向右连续平移2π个单位，得到y＝sin x的图象．‎ 描出点，(1,0)，(10,1)，并用光滑曲线连接得到y＝lg x的图象，如图所示．‎ 由图象可知方程sin x＝lg x的解有3个．‎ ‎1．利用三角函数图象能解决求方程解的个数问题，也可利用方程解的个数(或两函数图象的交点个数)求参数的范围问题．‎ ‎2．常见的函数图象变换 - 8 -‎ ‎(1)y＝f(x) 的图象向左(右)平移a个单位，得到函数y＝f(x＋a)[y＝f(x－a)]的图象；‎ ‎(2)y＝f(x)的图象向上(下)平移b个单位，得到函数y＝f(x)＋b[y＝f(x)－b]的图象；‎ ‎(3)y＝f(x)的图象作关于x轴对称的图象，得到函数y＝－f(x)的图象；‎ ‎(4)y＝f(x)的图象作关于y轴对称的图象，得到函数y＝f(－x)的图象；‎ ‎(5)y＝f(x)的图象作关于原点对称的图象，得到函数y＝－f(－x)的图象；‎ ‎(6)y＝f(x)的图象保留x轴及其上方的图象，同时x轴下方的图象作关于x轴对称的图象，得到函数y＝|f(x)|的图象；‎ ‎(7)y＝f(x)的图象保留y轴及其右侧的图象，再去掉y轴左侧的图象，最后y轴右侧的图象作关于y轴对称的图象，得函数y＝f(|x|)的图象．‎ ‎3．函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，求k的取值范围．‎ ‎[解]　f(x)＝的图象如图所示，故由图象知1＜k＜3．‎ ‎1．本节课的重点是“五点法”作正弦函数和余弦函数的图象，难点是图象的应用．‎ ‎2．本节课要重点掌握正、余弦函数图象的三个问题 ‎(1)正、余弦函数图象的画法．‎ ‎(2)利用正、余弦函数的图象解不等式．‎ ‎(3)正、余弦曲线与其他曲线的交点问题．‎ ‎3．本节课要牢记正、余弦函数图象中五点的确定 y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝cos x，x∈[0,2π]的图象上的关键五点分为两类：①图象与x轴的交点；②图象上的最高点和最低点．其中，y＝sin x，x∈[0,2π]与x轴有三个交点：(0,0)，(π，0)，(2π，0)，图象上有一个最高点，一个最低点；y＝cos x，x∈[0,2π]与x轴有两个交点：， - 8 -‎ ‎，图象上有两个最高点：(0,1)，(2π，1)，一个最低点(π，－1)．‎ ‎1．用“五点法”作出函数y＝3－cos x的图象，下列点中不属于五点作图中的五个关键点的是________．(填序号)‎ ‎①(π，－1)；②(0,2)；③；④(π，4)；⑤．‎ ‎①⑤　[由五点作图法知五个关键点分别为(0,2)，，(π，4)，，(2π，2)，故①⑤不是关键点．]‎ ‎2．函数y＝sin x与函数y＝－sin x的图象关于________对称．‎ x轴　[在同一坐标系中画出函数y＝sin x与函数y＝－sin x的图象(图略)，可知它们关于x轴对称．]‎ ‎3．sin x＞0，x∈[0,2π]的解集是________．‎ ‎(0，π)　[如图所示是y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，‎ 由图可知满足sin x＞0，x∈[0,2π]的解集是(0，π)．]‎ ‎4．用“五点法”作出y＝(0≤x≤2π)的简图．‎ ‎[解]　y＝＝|cos x|(x∈[0,2π])．‎ 列表：‎ x ‎0‎ π ‎2π cos x ‎1‎ ‎0‎ ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎|cos x|‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ 描点作图，如图．‎ - 8 -‎