福建省莆田第六中学2019届高三9月月考数学（理）试题（A卷）

福建省莆田第六中学2019届高三9月月考数学（理）试题（A卷）

莆田第六中 2018-2019 学年高三上学期 9 月月考理科数学（A 卷） （时间 120 分钟，满分 150 分） 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的） 1、若复数 z 满足 ，其中 i 为虚数单位，则 Z 的共轭复数是 等于（ ） A． B． C． D． 2、已知集合 ， ，则 ( ) A．(0,1) B．(0,2] C．[2,4) D．(1, 2] 3、曲线 在点(1,1) 处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 4、已知角 的顶点与原点重合，始边与 轴的非负半轴重合，终边经过点 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 5、若函数 在 上单调递减，则 的值可能是（ ） A. B. C. D. 6、 中，若 ，则（ ） A． B． C． 是直角三角形 D． 或 7、在如图所示的正方向中随机投掷 10000 个点，则落入阴影部分（曲线 为正态分布 的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ） （附：若 ，则 ， . A.906 B．1359 C.2718 D.3413 8、二项式 2 x2的展开式中只有第 6 项的二项式系数最大，则展开式中常数项是 ( ) A．180 B．90 C．45 D．360 9、已知函数 在区间 上的最小值是－2，则 的最小值等于 ( ) A. 2 3 B. 3 2 C．2 D．3 10、若 f(x)＝3sin x－4cos x 的一条对称轴方程是 x＝a，则 a 的取值范围可以是 ( ) A. B. C. D. 11、设函数 （ ， ， 是常数， ， ），且函数 的 部分图象如图所示，则有 （ ） A． B． C． D． 12、已知 5 件产品中有 2 件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为 ， 则 =（ ） A.3 B． C. D．4 第Ⅱ卷 二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卷的横线上。） 13、已知 ， ，则 __________． 14、如图，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形，在大正方形随机取一点，这一 点落在小正方形内的概率为 ，若直角三角形的两条直角边的长分别为 ，则 ． 15、在 中,角 、 、 所对的边分别为 、 、 ， ，且 ， 则 面积的最大值为 ． 16、已知圆 与曲线 有唯一的公共点，且公共点的横坐标为 ， 若 ，则 ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17、（本小题满分 12 分） 已知函数 f(x)＝2sin x·sin π 6 . (1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间； (2)当 x∈ π 2 时，求函数 f(x)的值域． 18、（本小题满分 12 分） 在 中， 分别是角 的对边，且 ， （1）求 的值； （2）若 ，求 的面积. 19、（本小题满分 12 分） 已知圆 ，直线 ，动圆 与圆 相外切，且与直线 相切.设动 圆圆心 的轨迹为 . （1）求 的方程； （2）定点 ， ， 为 上的两个动点，若直线 与直线 垂直，求证：直线 恒过定点. 20、（本小题满分 12 分） 汽车 店是一种以“四位一体”为核心的特许经营模式，包括整车销售、零配件销售、售后 服务、信息反馈等。某品牌汽车 店为了了解 ， ， 三种类型汽车质量问题,对售出的 三种类型汽车各取 100 辆进行跟踪服务,发现各车型一年内需要维修的车辆如下表 1 所示. (I)某公司一次性从 店购买该品牌 ， ， 型汽车各一辆,记 表示这三辆车的一年内 需要维修的车辆数，求 的分布列及数学期望.(各型汽车维修的频率视为其需要维修的概率). (II)该品牌汽车 店为了对厂家新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按使事先拟定的 各种价格进行试销相等时间，得到数据如表 2. 预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从 的关系,且该产品 的成本是 500 元/件,为使 4S 店获得最大利润(利润=销售收入-成本)，该产品的单价应定位多 少元？ 表 1 表 2 车型 频数 20 20 40 21、（本小题满分 12 分） 已知函数 （ 为实常数）． （1）若 ，求证：函数 在 上是增函数； （2）求函数 在[1，e]上的最小值及相应的 值； （3）若存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围． 请考生在（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做， 则按所做第一个题目计分，做答时请用水笔在答题卡上写上所选题号． 22．（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程 单价 (元) 800 820 840 850 880 900 销量 (件) 90 84 83 80 75 68 在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），曲线 的参数方程为 （ 为参数）. 以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求直线 和曲线 的极坐标方程； （Ⅱ）已知直线 上一点 的极坐标为 ，其中 . 射线 与曲线 交于不 同于极点的点 ，求 的值. 23.（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲 已知函数 . （1）求函数 的值域 ； （2）若 ，试比较 ， ， 的大小. 莆田第六中 2018-2019 高三上学期 9 月月考理科数学（A 卷）答案 一、选择题 ADBDC DBABD CC 二、填空题： 13、7 14、 15、 16、 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17、解：(1)f(x)＝2sin x· 1 cos x＝× 1－cos 2x 2 ＋ 1 2sin 2x＝sin π 3 ＋ 3 2. 函数 f(x)的最小正周期为 T＝π. 由－ π 2 ＋2kπ≤2x－ π 3 ≤ π 2 ＋2kπ，k∈Z，解得－ π 12＋kπ≤x≤ 5π 12 ＋kπ，k∈Z， 所以函数 f(x)的单调递增区间是 5π ＋kπ，k∈Z. 18、解：（1）由 得出： ， 由 及正弦定理可得出： ，所以 ， 再由 知 ，所以 为锐角， ， 所以 （2）由 及 可得出 ， 所以 19、解：（1）设 ，则 . （2）设直线 ： ， ， 将直线 代入到 中得 ， 所以 ， . 又因为 ， ， 所以 ， 故 ， ， ， 可得 或 （此时直线 过点 ， 与题意不符，舍去）， 所以直线 恒过定点 . 20、（本小题满分 12 分） 汽车 店是一种以“四位一体”为核心的特许经营模式，包括整车销售、零配件销售、售后 服务、信息反馈等。某品牌汽车 店为了了解 ， ， 三种类型汽车质量问题,对售出的 三种类型汽车各取 100 辆进行跟踪服务,发现各车型一年内需要维修的车辆如下表 1 所示. (I)某公司一次性从 店购买该品牌 ， ， 型汽车各一辆,记 表示这三辆车的一年内 需要维修的车辆数，求 的分布列及数学期望.(各型汽车维修的频率视为其需要维修的概率). (II)该品牌汽车 店为了对厂家新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按使事先拟定的 各种价格进行试销相等时间，得到数据如表 2. 预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从 的关系,且该产品 的成本是 500 元/件,为使 4S 店获得最大利润(利润=销售收入-成本)，该产品的单价应定位多 少元？ 表 1 表 2 车型 频数 20 20 40 单价 (元) 800 820 840 850 880 900 销量 (件) 90 84 83 80 75 68 (1)根据表格, 型车维修的概率为 , 型车维修的概率为 , 型车维修的概率为 . 由题意, 的可能值为 0,1,2,3, 所以 ； ； 所以ξ的分布列为 0 1 2 3 所以 . (2)设获得的利润为 元,根据计算可得, , ， 代入回归方程得 ,所以 ， 此函数图象为开口向下,以 为对称轴的抛物线， 所以当 时, 取的最大值，即为使 店获得最大利润,该产品的单价应定为 875 元. 21、（本小题满分 12 分） 已知函数 （ 为实常数）． （1）若 ，求证：函数 在 上是增函数； （2）求函数 在[1，e]上的最小值及相应的 值； （3）若存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围． 解：（1）当 a=﹣2 时，f（x）=x2﹣2lnx，当 x∈（1，+∞）， ， （2） ，当 x∈[1，e]，2x2+a∈[a+2，a+2e2]． 若 a≥﹣2，f'（x）在[1，e]上非负（仅当 a=﹣2，x=1 时，f'（x）=0），故函数 f（x）在[1， e]上是增函数，此时[f（x）]min=f（1）=1． 若﹣2e2＜a＜﹣2，当 时， f'（x）=0； 当 时，f'（x）＜0，此时 f（x）是减函数； 当 时，f'（x）＞0，此时 f（x）是增函数． 故[f（x）]min= = ． 若 a≤﹣2e2，f'（x）在[1，e]上非正（仅当 a=﹣2e2，x=e 时，f'（x）=0）， 故函数 f（x）在[1，e]上是减函数，此时[f（x）]min=f（e）=a+e2． 综上可知，当 a≥﹣2 时，f（x）的最小值为 1，相应的 x 值为 1；当﹣2e2＜a＜﹣2 时，f（x） 的最小值为 ，相应的 x 值为 ；当 a≤﹣2e2 时，f（x）的最小值为 a+e2， 相应的 x 值为 e． （3）不等式 f（x）≤（a+2）x，可化为 a（x﹣lnx）≥x2﹣2x． ∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x 且等号不能同时取，所以 lnx＜x，即 x﹣lnx＞0， 因而 （x∈[1，e]）令 （x∈[1，e]），又 ， 当 x∈[1，e]时，x﹣1≥0，lnx≤1，x+2﹣2lnx＞0， 从而 g'（x）≥0（仅当 x=1 时取等号），所以 g（x）在[1，e]上为增函数， 故 g（x）的最小值为 g（1）=﹣1，所以 a 的取值范围是[﹣1，+∞）． 22、解：（Ⅰ）直线 的普通方程为 ，极坐标方程为 曲线 的普通方程为 ，极坐标方程为 ..............4 分 （Ⅱ）∵点 在直线 上，且点 的极坐标为 ∴ ∵ ∴ ∴射线 的极坐标方程为 联立 ，解得 ∴ ..........10 分 23、解：（1） 根据函数 的单调性可知，当 时， .所以函数 的值域 . （2）因为 ，所以 ，所以 . 又 ，所以 ，知 ， ， 所以 ，所以 ，所以 .