福建省漳州市第八中学2019-2020学年高二上学期期中考试 数学

福建省漳州市第八中学2019-2020学年高二上学期期中考试 数学

漳州八中 ‎2019-2020学年上学期期中考试高二数学试卷 ‎ （全卷满分：150 分 考试用时：120 分钟）‎ ‎ ‎ 一、选择题：（共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。）‎ ‎1. 已知曲线方程为，为曲线上任意一点，为曲线的焦点，则 A. B. C. D. ‎ ‎2. 抛物线的焦点坐标是 A.（0,1） B. （1,0） C. (0，) D.（，0）‎ ‎3．2017年3月2日至16日，全国两会在北京召开，甲、乙两市近5年与会代表名额数统计如图所示，设甲、乙的数据平均数分别为，中位数分别为，则 A．， B．， C．， D．，‎ ‎4. 双曲线的渐近线方程为 A. B. C. D.‎ ‎5．下列对一组数据的分析，不正确的说法是 ‎ A、数据极差越小，样本数据分布越集中、稳定 B、数据标准差越小，样本数据分布越集中、稳定 C、数据方差越小，样本数据分布越集中、稳定 D、数据平均数越小，样本数据分布越集中、稳定 ‎6. “”是“方程”表示焦点在轴上的椭圆”的 ‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要 ‎7. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若，则的值为 A.10 B.8 C.6 D.4‎ ‎8.从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是 ‎ A．恰有一个红球与恰有二个红球 B．至少有一个红球与都是白球 C．至少有一个红球与至少有一个白球 D．至少有一个红球与都是红球 ‎9..过点的直线与抛物线相交于两点，若为中点，则直线的方程是 ‎ A. B. ‎ ‎ C. D.‎ ‎10.古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出己 知线段的黄金分割点，具体方法如下：（l）取线段，过点作的垂线，并用圆规在垂线上截取，连接；（2）以为圆心，为半径画弧，交 于点；（3）以为圆心，以为半径画弧，交于点．则点即为线段的黄金分割点．若在线段上随机取一点F，则使得的概率约为 （参考数据：）‎ ‎ A．0.618 B. 0.472 C．0.382 D．0.236 ‎ ‎11.已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 ‎ A． B． C． D．‎ ‎12.已知双曲线：的左、右焦点分别为、，过的直线与的两条渐近线分别交于两点．若，，则的离心率为 ‎ A. B. C. D . ‎ 二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）‎ ‎13．设命题,则为______ .‎ ‎14．为椭圆上一点，、为左右焦点，若，则△的面积为 ； ‎ ‎15.过双曲线右焦点作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线和双曲线右支有两个不同交点，则双曲线离心率的取值范围为 ‎ ‎16.以下四个关于圆锥曲线的命题:‎ ‎（1）直角坐标系内,到点和到直线距离相等的点的轨迹是抛物线;‎ ‎（2）设为两个定点，若，则动点的轨迹为双曲线；‎ ‎（3）方程的两根可分别作椭圆和双曲线的离心率；‎ ‎（4）若直线和没有交点,则过点的直线与椭圆的交点个数为.其中真命题的序号为　　　.(写出所有真命题的序号)  ‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17. （本小题满分10分）已知命题，命题，若命题为真命题，命题为假命题，求实数的取值范围．‎ ‎18. （本小题满分12分）某地区有小学21所，中学14所，大学7所.现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校，对学生进行视力检查.‎ ‎(Ⅰ) 求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；‎ ‎(Ⅱ) 若从抽取的6所学校中随即抽取2所学校作进一步数据分析：‎ ①列出所有可能抽取的结果；②求抽取的2所学校没有大学的概率.‎ ‎19.（本小题满分12分）已知椭圆的右焦点为，且椭圆上的点到点的最大距离为3，为坐标原点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）过右焦点倾斜角为的直线与椭圆交于、两点，求弦长 ‎20. (本小题满分12分)某市政府为了引导居民合理用水，决定全面实施阶梯水价，阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价：若用水量不超过12吨时，按4元/吨计算水费；若用水量超过12吨且不超过14吨时，超过12吨部分按6.60元/吨计算水费；若用水量超过14吨时，超过14吨部分按7.80元/吨计算水费．为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100户居民的月用水量（单位：吨），将数据按照，，…，分成8组，制成了如图1所示的频率分布直方图.‎ ‎（图1） （图2）‎ ‎（Ⅰ）试估计100户居民用水价格的平均数和中位数；‎ ‎（Ⅱ）如图2是该市居民李某2017年1～6月份的月用水费(元)与月份的散点图，‎ 其拟合的线性回归方程是. 若李某2017年1～7月份水费总支出为294.6元，试估计李某7月份的水费．‎ ‎21. (本小题满分12分)已知抛物线的准线方程为.‎ ‎(Ⅰ)求抛物线的标准方程；‎ ‎(Ⅱ) 若过点的直线与抛物线相交于两点，且以为直径的圆过原点，求证 为常数，并求出此常数。‎ ‎22.(本小题满分12分〉如图，椭圆:的左、右顶点分别为,离心率，长轴与短轴的长度之和为10.‎ ‎(I)求椭圆的标准方程；‎ ‎(II)在椭圆上任取点（与两点不重合），直线交轴于点，直线交轴于点，证明：为定值。‎ 参考答案 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1. B 2.C 3.B 4.A 5.D 6.C 7.B 8.A 9.C 10.D 11.A 12.D 二.填空题: （本大题共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13．： 14. 15. 16. （3）（4）‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17.（本小题10分）‎ 解：当命题为真命题时：，即；………………………2分 当命题为真命题时：，即； ………………………………………3分 又为真命题，为假命题，‎ ‎∴命题、一真一假，即真假或假真； …………………………………5分 当真假时，则，∴， ……………………………………7分 当假真时，则，∴，……………………………………9分 ‎∴综上所述，实数的取值范围为． …………………………10分 ‎18（本小题12分）‎ ‎(Ⅰ) 解: 学校总数为，分层抽样的比例为…(2分)‎ 计算各类学校应抽取的数目为：，，. (3分)‎ 故从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为所. ……(4分)‎ ‎ (Ⅱ) 解: ① 在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为；2所中学分别记为 ‎；1所大学记为. ……(5分)‎ 则应抽取的2所学校的所有结果为：‎ ‎，，，，，‎ ‎，，，，‎ ‎，，，‎ ‎，，，共15种. ……(10分)‎ ②设“抽取的2所学校没有大学”作为事件.其结果共有10种.‎ 所以，. …………(12分)‎ ‎ ‎ ‎19. （本小题12分）‎ ‎【解答】（Ⅰ）由题意得， ………3分 ‎ 所以， ………5分 所以椭圆的标准方程是；………………… 6分 ‎（Ⅱ）由题意得，直线MN的方程为，方程联立得到，‎ ‎， ………8分 ‎, ………10分 ‎ ………12分 ‎20. （本小题12分）‎ 解：（Ⅰ）可估计全市居民用水价格的平均数的平均数为 ‎ …………3分 由于前4组的频率之和为，‎ 前5组的频率之和为，故中位数在第5组中.‎ 设中位数为吨，则有，所以，‎ 即所求的中位数为吨. …………6分 ‎(Ⅱ) 设李某2017年1～6月份的月用水费（元）与月份的对应点为，它们的平均值分别为，，‎ 则， …………8分 ‎ 又点在直线上，所以， …………10分 因此，所以7月份的水费为元． …………12分 ‎21. （本小题12分）‎ 解:（1）由准线方程为可设抛物线C的方程 求得 ………2分 故所求的抛物线C的方程为： ……………4分 ‎（2） 依题意可设过P的直线l方程为：（m），…………6分 ‎ 设 由得： ‎ 依题意可知，且 ………………8分 原点落在以为直径的圆上 令 ‎ 即 ‎ ‎ 解得：即 为常数，∴ 原题得证 ………………12分 ‎（说明：直线l方程也可设为：y=k（x-），但需加入对斜率不存在情况的讨论，否则扣1分）‎ ‎22. (本小题满分12分)‎ 解析：（Ⅰ）由题可知，，解得.‎ 故椭圆E的标准方程为. ……………5分 ‎（Ⅱ）解法1：设，直线交轴于点，直线交轴于点.则，即.易知同向，故.‎ ‎……………7分 因为，，所以得直线的方程为，令，则；直线的方程为，令，则 所以，为定值. ……………12分 解法2：的左、右顶点分别为、，则有 由（Ⅰ）知，设直线、的斜率分别为，则.…………7分 直线的方程为，令得；直线的方程为 令得.所以. ……………12分 解法3：的左、右顶点分别为、，则……………7分 如题图所示， . ……………12分