【数学】2020届一轮复习人教版（理）第6章第1讲不等关系与不等式的性质及一元二次不等式学案
第六章 不等式
第1讲 不等关系与不等式的性质及一元二次不等式
[考纲解读] 1.不等式性质是进行变形、证明、解不等式的依据，掌握不等式关系与性质及比较大小的常用方法：作差法与作商法．(重点)
2.能从实际情景中抽象出一元二次不等式模型，通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数，一元二次方程之间的联系，能解一元二次不等式．(重点、难点)
[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点内容，但一般不会单独命题．预测2020年将会考查：利用不等式的性质判断结论的成立性，求参数的取值范围；一元二次不等式的解法，对含参数的二次不等式的分类讨论等．命题时常将不等式与函数的单调性相结合．试题一般以客观题的形式呈现，属中、低档题型.
1．两个实数比较大小的依据
2．不等式的基本性质
3．必记结论
(1)a>b，ab>0⇒<.
(2)a<0
b>0,0.
(4)0b>0，m>0，则<；
>(b－m>0)；>；
<(b－m>0)．
4．一元二次函数的三种形式
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
(2)顶点式：y＝a2＋(a≠0)．
(3)两根式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
5．三个二次之间的关系
1．概念辨析
(1)a＞b⇔ac2＞bc2.( )
(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.( )
(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( )
(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.( )
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×
2．小题热身
(1)设集合M＝{x|x2－3x－4<0}，N＝{x|0≤x≤5}，则M∩N等于( )
A．(0,4] B．[0,4)
C．[－1,0) D．(－1,0]
答案 B
解析 因为M＝{x|－1ac B．c(b－a)<0
C．cb20
答案 A
解析 因为c0，c<0.b的符号不确定，b－a<0，a－c>0，据此判断A成立，B，C，D不一定成立．
(3)设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则有( )
A．M>N B．M≥N C．M0，故M>N.
(4)已知函数f(x)＝ax2＋ax－1，若对任意实数x，恒有f(x)≤0，则实数a的取值范围是________．
答案 [－4,0]
解析 当a＝0时，f(x)＝－1≤0成立，
当a≠0时，若对∀x∈R，f(x)≤0，
须有
解得－4≤a＜0.
综上知，实数a的取值范围是[－4,0]．
题型 不等式性质的应用
1．若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有( )
A.＞ B.＜ C.＞ D.＜
答案 D
解析 解法一：⇒
⇒＞⇒＜.故选D.
解法二：依题意取a＝2，b＝1，c＝－2，d＝－1，
代入验证得A，B，C均错误，只有D正确．故选D.
2．已知等比数列{an}中，a1>0，q>0，前n项和为Sn，则与的大小关系为________．
答案 <
解析 当q＝1时，＝3，＝5，所以<.
当q>0且q≠1时，
－＝－
＝＝<0，
所以<.
综上可知<.
3．已知二次函数y＝f(x)的图象过原点，且1≤f(－1)≤2,3≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围．
解 由题意知f(x)＝ax2＋bx，则f(－2)＝4a－2b，
由f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b，
设存在实数x，y，使得4a－2b＝x(a＋b)＋y(a－b)，
即4a－2b＝(x＋y)a＋(x－y)b，
所以解得
所以f(－2)＝4a－2b＝(a＋b)＋3(a－b)．
又3≤a＋b≤4,3≤3(a－b)≤6，
所以6≤(a＋b)＋3(a－b)≤10，
即f(－2)的取值范围是[6,10]．
1．判断不等式是否成立的方法
(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．
(2)在判断一个关于不等式的命题的真假时，可结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断．
2．比较两个数(式)大小的两种方法
3．求代数式的取值范围
利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径．如举例说明3.
1．若<<0，给出下列不等式：①<；②|a|＋b>0；③a－>b－；④ln a2>ln b2.其中正确的不等式是( )
A．①④ B．②③ C．①③ D．②④
答案 C
解析 因为<<0，所以b|a|，所以|a|＋b<0，ln a2b，－>－可推出a－>b－，显然有<0<，综上知，①③正确，②④错误．
2．若a>0，且a≠7，则( )
A．77aa<7aa7
B．77aa＝7aa7
C．77aa>7aa7
D．77aa与7aa7的大小不确定
答案 C
解析 显然77aa>0,7aa7>0，
因为＝7·a＝7·－a＝7－a.
当a>7时，0<<1,7－a<0，7－a>1，
当01,7－a>0，7－a>1.
综上知77aa>7aa7.
3．若1<α<3，－4<β<2，则α－|β|的取值范围是________．
答案 (－3,3)
解析 ∵－4<β<2，∴0≤|β|<4，∴－4<－|β|≤0.
∴－3<α－|β|<3.
题型 不等式的解法
1．函数f(x)＝的定义域是( )
A．(－∞，1)∪(3，＋∞) B．(1,3)
C．(－∞，2)∪(2，＋∞) D．(1,2)∪(2,3)
答案 D
解析 由题意得
即解得10时，原不等式化为(x＋1)≥0，
解得x≥或x≤－1.
③当a<0时，原不等式化为(x＋1)≤0.
当>－1，即a<－2时，解得－1≤x≤；
当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1满足题意；
当<－1，即0>a>－2，解得≤x≤－1.
综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}；
当a>0时，不等式的解集为{x；
当－21.
若a<0，则原不等式等价于(x－1)>0，解得x<或x>1.
若a>0，原不等式等价于(x－1)<0.
①当a＝1时，＝1，(x－1)<0无解；
②当a>1时，<1，解(x－1)<0得1，解(x－1)<0得11}；当01时，解集为{x.
1．解一元二次不等式的四个步骤
2．分式不等式的解法
求解分式不等式的关键是对原不等式进行恒等变形，转化为整式不等式(组)求解．
(1)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0)；如巩固迁移2.
(2)≥0(≤0)⇔
3.解含参数的一元二次不等式的一般步骤
1．关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a＝( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 由条件知x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝0的两根，则x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2.故(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4×(－8a2)＝36a2＝152，得a＝，故选A.
2．不等式≥－1的解集为________．
答案 {x
解析 将原不等式移项通分得≥0，
等价于解得x≤或x>5.
∴原不等式的解集为{x.
题型 二次不等式中的任意性与存在性
角度1 任意性与存在性
1．(1)若关于x的不等式x2－ax－a＞0的解集为(－∞，＋∞)，求实数a的取值范围；
(2)若关于x的不等式x2－ax－a≤－3的解集不是空集，求实数a的取值范围．
解 (1)设f(x)＝x2－ax－a，则关于x的不等式x2－ax－a＞0的解集为(－∞，＋∞)⇔f(x)＞0在(－∞，＋∞)上恒成立⇔f(x)min＞0，即f(x)min＝－＞0，解得－4＜a＜0(或用Δ<0)．
(2)设f(x)＝x2－ax－a，则关于x的不等式x2－ax－a≤－3的解集不是空集⇔f(x)≤－3在(－∞，＋∞)上能成立⇔f(x)min≤－3，
即f(x)min＝－≤－3，解得a≤－6或a≥2.
角度2 给定区间上的任意性问题
2．(1)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是________．
(2)设函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围．
答案 (1) (2)见解析
解析 (1)要满足f(x)＝x2＋mx－1＜0对于任意x∈[m，m＋1]恒成立，
只需即
解得－＜m＜0.
(2)要使f(x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，即
m2＋m－6<0在x∈[1,3]上恒成立．
有以下两种方法：
解法一：令g(x)＝m2＋m－6，x∈[1,3]．
当m>0时，g(x)在[1,3]上是增函数，
所以g(x)max＝g(3)，即7m－6<0，所以m<，
所以00，
又因为m(x2－x＋1)－6<0，所以m<.
因为函数y＝＝
在[1,3]上的最小值为，所以只需m<即可．
所以m的取值范围是{m.
角度3 给定参数范围的恒成立问题
3．已知a∈[－1,1]时不等式x2＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立，则x的取值范围为( )
A．(－∞，2)∪(3，＋∞)
B．(－∞，1)∪(2，＋∞)
C．(－∞，1)∪(3，＋∞)
D．(1,3)
答案 C
解析 把不等式的左端看成关于a的一次函数，记f(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，
则由f(a)＞0对于任意的a∈[－1,1]恒成立，
所以f(－1)＝x2－5x＋6＞0，
且f(1)＝x2－3x＋2＞0即可，解不等式组
得x＜1或x＞3.故选C.
形如f(x)≥0(f(x)≤0)恒成立问题的求解思路
(1)x∈R的不等式确定参数的范围时，结合二次函数的图象，利用判别式来求解．
(2)x∈[a，b]的不等式确定参数范围时，①根据函数的单调性，求其最值，让最值大于等于或小于等于0，从而求参数的范围；②数形结合，利用二次函数在端点a，b处的取值特点确定不等式求范围．如举例说明2.
(3)已知参数m∈[a，b]的不等式确定x的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．如举例说明3.
1．若不等式x2＋ax－2>0在区间[1,5]上有解，则a的取值范围是________．
答案
解析 由Δ＝a2＋8>0，知方程x2＋ax－2＝0恒有两个不等实数根，又知两根之积为负，所以方程x2＋ax－2＝0必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f(5)>0，解得a>－，故a的取值范围为.
2．函数f(x)＝x2＋ax＋3.
(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；
(2)当x∈[－2,2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；
(3)当a∈[4,6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围．
解 (1)∵当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，
需Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，
∴实数a的取值范围是[－6,2]．
(2)当x∈[－2,2]时，设g(x)＝x2＋ax＋3－a≥0，分如下三种情况讨论(如图所示)：
①如图1，当g(x)的图象恒在x轴上方且满足条件时，有Δ＝a2－4(3－a)≤0，即－6≤a≤2.
②如图2，g(x)的图象与x轴有交点，
但当x∈[－2，＋∞)时，g(x)≥0，
即即
可得解得a∈∅.
③如图3，g(x)的图象与x轴有交点，但当x∈(－∞，2]时，g(x)≥0.
即即
可得∴－7≤a≤－6.
综上，实数a的取值范围是[－7,2]．
(3)令h(a)＝xa＋x2＋3.
当a∈[4,6]时，h(a)≥0恒成立．
只需即
解得x≤－3－或x≥－3＋.
∴实数x的取值范围是(－∞，－3－]∪[－3＋，＋∞)．
