【数学】2020届一轮复习人教B版简单的逻辑联结词学案

【数学】2020届一轮复习人教B版简单的逻辑联结词学案

1 简单的逻辑联结词 【学习目标】 1.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义； 2. 会用逻辑联结词“或”、“且”、“非”联结两个命题或改写某些数学命题，并判 断命题的真假. 【要点梳理】 要点一、逻辑联结词“且” 一般地，用逻辑联结词“且”把命题 p 和 q 联结起来得到一个新命题，记作： p q ， 读作：“ p 且 q ”。 规定：当 p ， q 两命题有一个命题是假命题时， p q 是假命题； 当 p ， q 两命题都是真命题时， p q 是真命题。 要点诠释： p q 的真假判定的理解： （1）与物理中的电路类比 我们可以从串联电路理解联结词“且”的含义。 若开关 p，q 的闭合与断开分别对应命题 p，q 的真与假，则整个电路的接通与断开分别 对应命题 p∧q 的真与假。 （2）与集合中的交集类比 交集 { | }A B x x A x B   且 中的“且”与逻辑联结词的“且”含义一样，理解时 可参考交集的概念。 要点二、逻辑联结词“或” 一般地，用逻辑联结词“或”把命题 p 和 q 联结起来得到一个新命题，记作： p q ， 读作：“ p 或 q ”。 规定：当 p ， q 两命题有一个命题是真命题时， p q 是真命题； 当 p ， q 两命题都是假命题时， p q 是假命题。 要点诠释： p q 的真假判定的理解： （1）与物理中的电路类比 我们可以从并联电路理解联结词“或”的含义。 若开关 p，q 的闭合与断开对应命题的真与假，则整个电路的接通与断开分别对应命题 的 p∨q 的真与假。 q p （2）与集合中的并集类比 并集 { | }A B x x A x B   或 中的“或”与逻辑联结词的“或”含义一样，理解时 可参考并集的概念。 （3）“或”有三层含义，以“p 或 q”为例： ①p 成立且 q 不成立； ②p 不成立但 q 成立； ③p 成立且 q 也成立。 要点三、逻辑联结词“非” 一般地，对一个命题 p 全盘否定得到一个新命题，记作： p ，读作：“非 p 或 p 的否 定”。 规定：当 p 是真命题时， p 必定是假命题； 当 p 是假命题时， p 必定是真命题。 要点诠释： （1）逻辑联结词中的“非”相当于集合中补集的概念，谈到补集必然要说全集，谈论 “非”时也应该弄清这件事是在一个什么样的范围中研究。 （2）下面是一些常用词的否定： 是 等于 属于 有 都是 至少 一个 至多 一个 一定 x=1 或 x=2 x＞1 且 x＜3 不是 不等于 不属于 没有 不都是 一个 都没 有 至少 两个 一定不 x≠1 且 x≠2 x≤1 或 x≥3 （3）否命题与命题的否定之间的区别： 否命题是对原命题的条件和结论分别做否定后得到的命题（否定二次）；命题的否定 是只对原命题的结论做否定（否定一次），即 p .如： 命题 p : 若 1x  ，则 ( 1)( 1) 0x x   ． 命题 p 的否命题：若 1x  ，则 ( 1)( 1) 0x x   ． 命题 p 的否定即 p :若 1x  ，则 ( 1)( 1) 0x x   ． （4）“或”、“且”联结的命题的否定形式： “p 或 q”的否定  p q 且 ； “p 且 q”的否定  p q 或 要点四、简单命题与复合命题 （1）定义： 简单命题：不含逻辑联结词的命题叫简单命题。 复合命题：由简单命题与逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题叫做复合命题。 （2）复合命题的构成形式： ①p 或 q；记作： p q ②p 且 q；记作： p q ③非 p（即命题 p 的否定）；记作： p （3）复合命题的真假判断 p q p p q p q 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假 要点诠释： ①当 p、q 同时为假时，“p 或 q”为假，其它情况时为真，可简称为“一真必真”； ②当 p、q 同时为真时，“p 且 q”为真，其它情况时为假，可简称为“一假必假”。 ③“非 p”与 p 的真假相反. 【典型例题】 类型一：复合命题的构成 例 1．指出下列复合命题的结构，写出构成其的简单命题． (1) 菱形的对角线互相垂直平分； (2) 2 不是无理数； （3）6 是 12 或 18 的约数. 【解析】 （1） p 且 q 的形式，其中 p ：菱形的对角线互相垂直， q ：菱形对角线互相平分； （2）非 p 的形式，其中 p ： 2 是无理数； （3） p 或 q 的形式，其中 p ：6 是 12 的约数， q ：6 是 18 的约数. 【总结升华】正确理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义是解题的关键。根据上述 各复合命题中出现的逻辑联结词或语句的意义确定复合命题的形式。 举一反三： 【变式 1】判断下列复合命题的形式，写出构成其的简单命题 （1）1 是奇数或偶数； （2）梯形不是平行四边形； （3）2 是偶数也是质数. 【答案】 （1） p 或 q 的形式，其中 p ：1 是奇数， q ：1 是偶数； （2）非 p 的形式，其中 p ：梯形是平行四边形； （3） p 且 q 的形式，其中 p ：2 是偶数， q ：2 是质数。 例 2.判断下列命题中是否含有逻辑联结词“或”、“且”、“非”，若含有，请指出其中 p、 q 的基本命题. （1） 正方形的对角线垂直相等； （2） 2 是 4 和 6 的约数； （3） 不等式 2 5 6 0x x   的解集为 3 2x x x 或 。 【解析】（1）是“ p 且 q ”形式的命题，其中 p：正方形的对角线互相垂直；q：正方 形的对角线相等. （2）是“ p 且 q ”形式的命题，其中 p：2 是 4 的约数；q：2 是 6 的约数. （3）是简单命题，而不是用“或”联结的复合命题 【总结升华】对于用逻辑联结词“或”、“且”、“非”联结的新命题的结构特点不能仅从字 面上看它是否含有“或”、“且”、“非”等逻辑联结词，而应从命题的结构来看是否用逻辑联结 词联结两个命题. 举一反三： 【高清课堂：简单的逻辑联结词 xxxxxx 例 1】 【变式 1】将下列各组命题用“且”联结组成新命题： （1）p：平行四边形的对角线互相平分， q：平行四边形的对角线相等； （2）p：集合 A 是 A  B 的子集， q：集合 A 是 A  B 的子集； （3）p： 2 1 1x   ， q：3>4. 【答案】 （1）p∧q：平行四边形的对角线互相平分且相等； （2）p∧q：集合 A 是 A B 的子集，且是 A  B 的子集； （3）p∧q： 2 1 1x   ，且 3>4. 【变式 2】分别指出下列复合命题的形式及构成的简单命题。 （1） 李明是老师，赵山也是老师； （2） 1 是合数或质数； （3） 他是运动员兼教练员； 【答案】 （1）这个命题是“ p 且 q ”形式，其中 p：李明是老师，q：赵山是老师。 （2）这个命题是“ p 或 q ”形式，其中 p：1 是合数，q：1 是质数。 （3）这个命题是“ p 且 q ”形式，其中 p：他是运动员，q：他是教练员。 例 3．已知命题 p 、 q ，写出 p 或 q 、 p 且 q 、非 p 的形式并判断真假。 （1） p : 2{ | 1}x x   , q ： Ü 2{ | 1}x x  . （2） p : 3 4 , q :3 4 【解析】 （1） p 或 q ： 2{ | 1}x x   或 Ü 2{ | 1}x x  ，即 2{ | 1}x x   （真命题）， p 且 q ： 2{ | 1}x x   且 Ü 2{ | 1}x x  （假命题）， 非 p （ p ）： 2{ | 1}x x   （真命题）， （2） p 或 q ：3 4 或3 4 ，即3 4 （真命题）， p 且 q ：3 4 且3 4 （假命题）， 非 p （ p ）：3 4 ，即3 4 （假命题）. 【总结升华】 先判断各简单命题的真假，再依据复合命题的构成形式写出复合命题， 最后判断复合命题的真假． 举一反三： 【变式 1】已知命题 p 、q ，试写出 p 或 q 、 p 且 q 、非 p 的形式的命题并判断真假. (1) p :平行四边形的一组对边平行， q :平行四边形的一组对边相等 (2) p ： 2 {1,3,5,7} ， q ： 2 {2,4,6,8} (3) p :1 {1 2} ， , q :{1} Ü {1 2}， 【答案】 （1） p 或 q ：平行四边形的一组对边平行或相等（真命题）； p 且 q ：平行四边形的一组对边平行且相等（真命题）； 非 p ：平行四边形的一组对边不平行（假命题）。 （2） p 或 q ： 2 {1,3,5,7} 或 2 {2,4,6,8} ，即 2 {1,2,3,4,5,6,7,8} （真命题） p 且 q ： 2 {1,3,5,7} 且 2 {2,4,6,8} （假命题） 非 p ： 2 {1,3,5,7} （真命题） （3） p 或 q ：1 {1 2} ， 或{1} Ü {1 2}， （真命题） p 且 q ：1 {1 2} ， 且{1} Ü {1 2}， （真命题） 非 p ：1 {1 2} ， （假命题） 【变式 2】（2015 秋 宣城期末）“a2+b2≠0”的含义为（ ） A．a 和 b 都不为 0 B．a 和 b 至少有一个为 0 C．a 和 b 至少有一个不为 0 D．a 不为 0 且 b 为 0，或 b 不为 0 且 a 为 0 【答案】 a2+b2≠0 的等价条件得 a≠0 或 b≠0，即两者中至少有一个不为 0，对照四个选项，只有 C 与此意思相同，C 正确； A 中 a 和 b 都不 0，是 a2+b2≠0 的充分不必要条件； B 中 a 和 b 至少有一个为 0 包括了两个数都是 0，故不对； D 中只是两个数仅有一个为 0，概括不全面，故不对； 故选 C。 类型二：复合命题真假的判定 例 4. (2015 湖南)已知命题 p：若 x＞y，则－x＜－y；命题 q：若 x＞y，则 x2＞y2，在命 题①p∧q；②p∨q；③p∧(￢q)；④(￢p)∨q 中，真命题是( ) A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】C． 【解析】根据不等式的性质可知，若 x＞y，则－x＜－y 成立，即 p 为真命题， 当 x＝1，y＝－1 时，满足 x＞y，但 x2＞y2 不成立，即命题 q 为假命题， 则①p∧q 为假命题；②p∨q 为真命题；③p∧(￢q)为真命题；④(￢p)∨q 为假命题， 故选：C． 【总结升华】解答这类逻辑推理问题关键在于充分利用真值表进行分析，也就是由给出复合 命题的真假情况，利用真值表逆向思考，从而推断出组成复合命题的简单命题的真值情况， 再判断相关命题正确与否. 举一反三： 【变式 1】已知命题： p：对任意 x ∈ R，总有|x|≥0，q：x＝1 是方程 x＋2＝0 的根；则下列命题为真命题的是 ( ) A．p ∧ ￢q B．￢p ∧ q C．￢p ∧ ￢q D． p ∧ q 【答案】根据绝对值的性质可知，对任意 x ∈ R，总有|x|≥0 成立，即 p 为真命题， 当 x＝1 时，x＋2＝3≠0，即 x＝1 不是方程 x＋2＝0 的根，即 q 为假命题， 则 p ∧ ￢q，为真命题， 故选：A． 【变式 2】已知命题 p：3≥3；q：3＞4，则下列判断正确的是（ ） A． p q 为真， p q 为真， p 为假 B． p q 为真， p q 为假， p 为真 C． p q 为假， p q 为假， p 为假 D． p q 为真， p q 为假， p 为假 【答案】D 【高清课堂：简单的逻辑联结词 xxxxxx 例 5】 【变式 3】已知命题 p：所有有理数都是实数，命题 q：正数的对数都是负数，则下列 命题为真命题的是（ ） （A）(¬p)∨q （B） p∧q （C）(¬p)∨(¬q) （D）(¬p)∧(¬q) 【答案】C 类型三：命题的否定与否命题 例 5．写出下列命题的否定和否命题，并判定其真假. （1） p ：在整数范围内， a 、b 都是偶数，则 a b 是偶数 （2） p ：若 0x  且 0y  ，则 0x y  ． 【解析】 (1) p ：在整数范围内， a 、b 都是偶数，则 a b 不是偶数（假命题）； p 的否命题是：在整数范围内，若 a 、b 不都是偶数，则 a b 不是偶数（假命题）； (2) p ：若 0x  且 0y  ，则 0x y  （假命题）； p 的否命题是：若 0x  或 0y  ，则 0x y  （假命题）. 【总结升华】 ①“ 0x  且 0y  ”的否定是“ 0x  或 0y  ”；“ a 、b 都是偶数"的否定为“ a 、b 不都是偶数”． ② 命题的否定和否命题是不一样的. 举一反三： 【变式 1】写出下列命题的否定和否命题，并判定其真假. （1） p ：若 2 2 0x y  ，则 x , y 全为零； （2） p ：若 3x  且 5y  ，则 8x y  . 【答案】 （1） p 的否定：若 2 2 0x y  ，则 x , y 不全为零（假命题）； p 的否命题：若 2 2 0x y  ，则 x , y 不全为零（真命题）； （2） p 的否定：若 3x  且 5y  ，则 8x y  （假命题）； p 的否命题：若 3x  或 5y  ，则 8x y  （假命题）. 【变式 2】“ 0xy  ”是指 （填出符合条件的所有选项） A. 0x  且 0y  B. 0x  或 0y  C. x , y 至少有一个不是 0 D. x , y 都不是 0 E. x , y 不都是 0 【答案】A、D； 【解析】 0xy  指 x , y 都不是 0，即 0x  且 0y  .