【数学】2020届一轮复习人教B版空间几何体的结构三视图和直观图学案

【数学】2020届一轮复习人教B版空间几何体的结构三视图和直观图学案

‎§8.1　空间几何体的结构、三视图和直观图 最新考纲 考情考向分析 ‎1.了解多面体和旋转体的概念，理解柱、锥、台、球的结构特征．‎ ‎2.了解简单组合体，了解中心投影、平行投影的含义．‎ ‎3.了解三视图和直观图间的关系，掌握三视图所表示的空间几何体．会用斜二测画法画出它们的直观图.‎ 空间几何体的结构特征、三视图、直观图在高考中几乎年年考查．主要考查根据几何体的三视图求其体积与表面积．对空间几何体的结构特征、三视图、直观图的考查，以选择题和填空题为主.‎ ‎1．多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 结构特征 有两个面互相平行且全等，其余各面都是平行四边形．‎ 每相邻两个四边形的公共边都互相平行 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的多面体 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 侧棱 平行且相等 相交于一点但不一定相等 延长线交于一点 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 ‎2.旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点 轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 ‎3.三视图与直观图 三视图 画法规则：长对正、高平齐、宽相等 直观图 斜二测画法：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x′轴、y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．‎ ‎(2)原图形中平行于坐标轴的线段在直观图中仍平行于坐标轴，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半.‎ 概念方法微思考 ‎1．底面是正多边形的棱柱是正棱柱吗，为什么？‎ 提示　不一定．因为底面是正多边形的直棱柱才是正棱柱．‎ ‎2．什么是三视图？怎样画三视图？‎ 提示　光线自物体的正前方投射所得的正投影称为正视图，自左向右的正投影称为侧视图，自上向下的正投影称为俯视图，几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为三视图．画几何体的三视图的要求是正视图与俯视图长对正；正视图与侧视图高平齐；侧视图与俯视图宽相等．‎ 题组一　思考辨析 ‎1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．(　×　)‎ ‎(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．(　×　)‎ ‎(3)棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得的截面与底面之间的部分．(　√　)‎ ‎(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．(　×　)‎ ‎(5)用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱．(　×　)‎ ‎(6)菱形的直观图仍是菱形．(　×　)‎ 题组二　教材改编 ‎2．[P19T2]下列说法正确的是(　　)‎ A．相等的角在直观图中仍然相等 B．相等的线段在直观图中仍然相等 C．正方形的直观图是正方形 D．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行 答案　D 解析　由直观图的画法规则知，角度、长度都有可能改变，而线段的平行关系不变．‎ ‎3．[P8T1]在如图所示的几何体中，是棱柱的为________．(填写所有正确的序号)‎ 答案　③⑤‎ 题组三　易错自纠 ‎4．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是(　　)‎ A．圆柱B．圆锥C．四面体D．三棱柱 答案　A 解析　由三视图知识知，圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图为三角形，而圆柱的正视图不可能为三角形．‎ ‎5．如图是正方体截去阴影部分所得的几何体，则该几何体的侧视图是(　　)‎ 答案　C 解析　此几何体侧视图是从左边向右边看．故选C.‎ ‎6．(2018·浙江诸暨中学期中)边长为2的正方形，其水平放置的直观图的面积为(　　)‎ A.B．1C．2D．8‎ 答案　C 解析　正方形的边长为2，故面积为8，而原图和直观图面积之间的关系为＝，故直观图的面积为8×＝2.‎ ‎7．(2018·全国Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如下图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在侧视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为(　　)‎ A．2B．2C．3D．2‎ 答案　B 解析　先画出圆柱的直观图，根据题中的三视图可知，点M，N的位置如图①所示．‎ 圆柱的侧面展开图及M，N的位置(N为OP的四等分点)如图②所示，连接MN，则图中MN即为M到N的最短路径．|ON|＝×16＝4，|OM|＝2，‎ ‎∴|MN|＝＝＝2.故选B.‎ 题型一　空间几何体的结构特征 ‎1．以下命题：‎ ‎①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；‎ ‎②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；‎ ‎③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；‎ ‎④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．‎ 其中正确命题的个数为(　　)‎ A．0B．1C．2D．3‎ 答案　B 解析　由圆锥、圆台、圆柱的定义可知①②错误，③正确．对于命题④，只有用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，④不正确．‎ ‎2．给出下列四个命题：‎ ‎①有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱；‎ ‎②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；‎ ‎③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；‎ ‎④底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱．‎ 其中不正确的命题为________．(填序号)‎ 答案　①②③‎ 解析　对于①，平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故①错；对于②，对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明(如图)，故②错；对于③，若底面不是矩形，则③错；④由线面垂直的判定，可知侧棱垂直于底面，故④正确．‎ 综上，命题①②③不正确．‎ 思维升华空间几何体概念辨析题的常用方法 ‎(1)定义法：紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，根据定义进行判定．‎ ‎(2)反例法：通过反例对结构特征进行辨析．‎ 题型二　简单几何体的三视图 命题点1　已知几何体识别三视图 例1(2018·全国Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是(　　)‎ 答案　A 解析　由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示，由直观图可知其俯视图应选A.‎ 命题点2　已知三视图，判断简单几何体的形状 例2如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是(　　)‎ A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱 答案　B 解析　由题意知，该几何体的三视图为一个三角形、两个四边形，经分析可知该几何体为三棱柱．‎ 命题点3　已知三视图中的两个视图，判断第三个视图 例3一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下列选项中，不可能是该锥体的俯视图的是(　　)‎ 答案　C 解析　A，B，D选项满足三视图作法规则，C不满足三视图作法规则中的宽相等，故C不可能是该锥体的俯视图．‎ 思维升华三视图问题的常见类型及解题策略 ‎(1)注意观察方向，看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线．‎ ‎(2)还原几何体．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，结合空间想象还原．‎ ‎(3)由部分视图画出剩余的部分视图．先猜测，还原，再判断．当然作为选择题，也可将选项逐项代入．‎ 跟踪训练1(1)(2018·杭州模拟)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的正投影可能是(　　)‎ A．①② B．①④‎ C．②③ D．②④‎ 答案　B 解析　P点在上下底面投影落在AC或A1C1上，所以△PAC在上底面或下底面的投影为①，在前、后面以及左、右面的投影为④.‎ ‎(2)(2018·宁波模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图(等腰直角三角形)和侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是(　　)‎ 答案　C 解析　该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P—ABCD，如图所示，该几何体的俯视图为C.‎ 题型三　空间几何体的直观图 例4已知等腰梯形ABCD，上底CD＝1，腰AD＝CB＝，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为________．‎ 答案　 解析　如图所示，作出等腰梯形ABCD的直观图．‎ 因为OE＝＝1，所以O′E′＝，E′F＝，‎ 则直观图A′B′C′D′的面积S′＝×＝.‎ 思维升华用斜二测画法画直观图的技巧 在原图形中与轴平行的线段在直观图中与轴平行，不平行的线段先画线段的端点再连线．‎ 跟踪训练2如图，一个水平放置的平面图形的直观图(斜二测画法)是一个底角为45°、腰和上底长均为2的等腰梯形，则这个平面图形的面积是(　　)‎ A．2＋ B．1＋ C．4＋2 D．8＋4 答案　D 解析　由已知直观图根据斜二测画法规则画出原平面图形，如图所示，所以这个平面图形的面积为＝8＋4，故选D.‎ ‎1．在一个密闭透明的圆柱筒内装一定体积的水，将该圆柱筒分别竖直、水平、倾斜放置时，指出圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状不可能是(　　)‎ A．圆面 B．矩形面 C．梯形面 D．椭圆面或部分椭圆面 答案　C 解析　将圆柱桶竖放，水面为圆面；将圆柱桶斜放，水面为椭圆面或部分椭圆面；将圆柱桶水平放置，水面为矩形面，所以圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状不可能是梯形面，故选C.‎ ‎2.如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形，起辅助作用)，则四面体ABCD的三视图是(用①②③④⑤⑥代表图形)(　　)‎ A．①②⑥ B．①②③‎ C．④⑤⑥ D．③④⑤‎ 答案　B 解析　正视图应该是边长为3和4的矩形，其对角线左下到右上是实线，左上到右下是虚线，因此正视图是①，侧视图应该是边长为5和4的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此侧视图是②；俯视图应该是边长为3和5的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此俯视图是③.‎ ‎3．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是(　　)‎ A．圆柱 B．圆锥 C．球体 D．圆柱、圆锥、球体的组合体 答案　C 解析　截面是任意的且都是圆面，则该几何体为球体．‎ ‎4．某几何体的正视图与侧视图如图所示，则它的俯视图不可能是(　　)‎ 答案　C 解析　若几何体为两个圆锥体的组合体，则俯视图为A；若几何体为四棱锥与圆锥的组合体，则俯视图为B；若几何体为两个四棱锥的组合体，则俯视图为D；不可能为C，故选C.‎ ‎5．(2018·丽水、衢州、湖州三地市质检)若将正方体(如图1)截去两个三棱锥，得到如图2所示的几何体，则该几何体的侧视图是(　　)‎ 答案　B 解析　从左向右看，该几何体的侧视图的外轮廓是一个正方形，且AD1对应的是实线，B1C对应的是虚线．故选B.‎ ‎6．(2011·浙江)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是(　　)‎ 答案　D 解析　A，B的正视图不符合要求，C的俯视图显然不符合要求，故选D.‎ ‎7．(2019·台州模拟)已知底面是直角三角形的直棱柱的正视图、俯视图如下图所示，则该棱柱的侧视图的面积为(　　)‎ A．18 B．18 C．18 D. 答案　C 解析　设侧视图的长为x，则x2＝6×3＝18，∴x＝3.‎ 所以侧视图的面积为S＝3×6＝18.故选C.‎ ‎8．用一个平面去截正方体，则截面不可能是(　　)‎ A．直角三角形 B．等边三角形 C．正方形 D．正六边形 答案　A 解析　用一个平面去截正方体，则截面的情况为：‎ ‎①截面为三角形时，可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角形、直角三角形；‎ ‎②截面为四边形时，可以是梯形(等腰梯形)、平行四边形、菱形、矩形、正方形，但不可能是直角梯形；‎ ‎③截面为五边形时，不可能是正五边形；‎ ‎④截面为六边形时，可以是正六边形．‎ ‎9．(2018·湖州模拟)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的长为(　　)‎ A.B．2C．3D．2 答案　C 解析　在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N分别为AD，BC的中点，该几何体的直观图如图中三棱锥D1—MNB1，故通过计算可得D1B1＝2，D1M＝B1N＝，MN＝2，MB1＝ND1＝3，故该三棱锥中最长棱的长为3.‎ ‎10.一水平放置的平面四边形OABC，用斜二测画法画出它的直观图O′A′B′C′如图所示，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面四边形OABC的面积为________．‎ 答案　2 解析　因为直观图的面积是原图形面积的倍，且直观图的面积为1，所以原图形的面积为2.‎ ‎11.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥P－ABC的正视图与侧视图的面积的比值为________．‎ 答案　1‎ 解析　如题图所示，设正方体的棱长为a，则三棱锥P－ABC的正视图与侧视图都是三角形，且面积都是a2，故面积的比值为1.‎ ‎12．给出下列命题：‎ ‎①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；‎ ‎②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；‎ ‎③在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；‎ ‎④存在每个面都是直角三角形的四面体．‎ 其中正确命题的序号是________．‎ 答案　②③④‎ 解析　①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；②正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面所在的三个平面的二面角都是直二面角；③正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；④正确，如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中的三棱锥C1－ABC，四个面都是直角三角形．‎ ‎13.如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球O1，O2，这两个球外切，且球O1与正方体共顶点A的三个面相切，球O2与正方体共顶点B1的三个面相切，则两球在正方体的面AA1C1C上的正投影是(　　)‎ 答案　B 解析　由题意可以判断出两球在正方体的面上的正投影与正方形相切．由于两球球心连线AB1与面ACC1A1不平行，故两球球心射影所连线段的长度小于两球半径的和，即两个投影圆相交，即为图B.‎ ‎14.我国古代数学家刘徽在学术研究中，不迷信古人，坚持实事求是．他对《九章算术》中“开立圆术”给出的公式产生质疑，为了证实自己的猜测，他引入了一种新的几何体“牟合方盖”：以正方体相邻的两个侧面为底做两次内切圆柱切割，然后剔除外部，剩下的内核部分．如果“牟合方盖”的正视图和侧视图都是圆，则其俯视图的形状为(　　)‎ 答案　B 解析　由题意得在正方体内做两次内切圆柱切割，得到的几何体的直观图如图所示，由图易得其俯视图为B，故选B.‎ ‎15．(2018·嘉兴模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧视图中的虚线部分是(　　)‎ A．圆弧 B．抛物线的一部分 C．椭圆的一部分 D．双曲线的一部分 答案　D 解析　根据几何体的三视图，可得侧视图中的虚线部分是由平行于旋转轴的平面截圆锥所得，故侧视图中的虚线部分是双曲线的一部分，故选D.‎ ‎16．(2018·台州模拟)如图是一个几何体的三视图，则该几何体中最长棱的长是________．‎ 答案　 解析　由三视图可知，该几何体是棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中三棱锥M—A1B1N，如图所示，M是棱AB上靠近点A的一个三等分点，N是棱C1D1的中点，所以 A1B1＝2，A1N＝B1N＝＝，‎ A1M＝＝，‎ B1M＝＝，‎ MN＝＝，‎ 所以该几何体中最长棱的长是.‎