2017-2018学年黑龙江省牡丹江市第一高级中学高二10月月考数学（文）试题-解析版

2017-2018学年黑龙江省牡丹江市第一高级中学高二10月月考数学（文）试题-解析版

黑龙江省牡丹江市第一高级中学2017-2018学年高二10月月考数学（文）试题 一、选择题 ‎1．已知椭圆（）的左焦点为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：根据焦点坐标可知焦点在轴，所以，，，又因为，解得，故选C.‎ 考点：椭圆的基本性质 ‎2．设双曲线 的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可得，双曲线的 则 ， 则双曲线的渐近线方程为 即为 ‎ 故选D．‎ ‎3．已知椭圆C： 的左、右焦点为、，离心率为，过的直线交C于A、B两点，若的周长为，则椭圆C的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：如图， ‎ 的周长为 所求的椭圆成为，故选A．‎ 考点：1.椭圆的几何性质；2. 椭圆的焦点三角形问题；3．椭圆方程的求法．‎ ‎4．抛物线上横坐标为6的点到焦点的距离是10，则焦点到准线的距离是（ ）‎ A. 4 B. 8 C. 16 D. 32‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵横坐标为6的点到焦点的距离是10，∴该点到准线的距离为10， 抛物线的准线方程为 ， ∴ ‎ 故选B．‎ ‎5．直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到直线的距离为其短轴长的, 则该椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】设椭圆的方程为 ，直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点， 则直线方程为 ，椭圆中心到l的距离为其短轴长的 ， 可得 ‎ 故选：B．‎ ‎6．已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是(　 　)‎ A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 ‎【答案】B ‎【解析】点P在线段AN的垂直平分线上,故|PA|=|PN|,又AM是圆的半径,∴|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=6>|MN|,由椭圆的定义知,点P的轨迹是椭圆.‎ ‎7．已知F是抛物线的焦点，M是抛物线上的一个动点，P(3，1)是一个定点，则的最小值为（ ）‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5‎ ‎【答案】C ‎【解析】设点 在准线上的射影为，则根据抛物线的定义可知 ∴要求 |取得最小值，即求| |取得最小， 当三点共线时 |最小，为 ．‎ 故选C ‎【点睛】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当三点共线时最小，是解题的关键．‎ ‎8．椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，则的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵椭圆的方程为，可得 ‎ ‎ 中， ‎ ‎ ‎ 故选A ‎9．点P是双曲线上的点，是其焦点，双曲线的离心率是，且,若的面积是9，则的值等于（ ）‎ A. 4 B. 7 C. 6 D. 5‎ ‎【答案】B ‎【解析】双曲线的离心率是 ， ‎ ‎ 的面积 ‎ 在 中，由勾股定理可得 故选 C．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，利用双曲线的定义是解题的关键．‎ ‎10．抛物线上的点到直线的距离的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】由 得 令 ，易得切点的横坐标为 即切点 利用点到直线的距离公式得 ‎ 故选C ‎11．已知F1,F2是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，且，线段PF1与y轴的交点为Q，O为坐标原点，若△F1OQ与四边形OF2PQ的面积之比为1: 2，则该椭圆的离心率等于 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意设 与四边形 的面积之比为 与 的面积之比为 ‎ 又 ‎ ‎ ，即 ‎ 将 和代入椭圆方程得 ‎ 即 解得 ‎ 故选 C ‎【点睛】本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，特别是椭圆离心率的求法，利用已知几何条件建立关于 的等式，是解决本题的关键 ‎12．抛物线的焦点为，已知点为抛物线上的两个动点，且满足，过弦的中点作准线的垂线，垂足为，则的最大值为（ ）‎ A. 1 B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】如图所示，设| 连接 由抛物线定义，得| 在梯形 中， 由余弦定理得， 配方得 又 ‎ ‎ 得到| ‎ 所以 ，即的最大值为 ‎【点评】本题考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值和余弦定理的应用等.在抛物线中，利用定义和余弦定理（或正弦定理）是解决之一类问题的基本思路．‎ 二、填空题 ‎13．若方程表示双曲线，则的取值范围为______________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由题意可知或，所以的范围是 考点：双曲线方程及性质 ‎14．已知椭圆的右焦点为．短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是____________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图所示，设F′为椭圆的左焦点，连接AF′，BF′，则四边形AFBF′是平行四边形，‎ ‎∴4=|AF|+|BF|=|AF′|+|AF|=2a，∴a=2．‎ 取M（0，b），∵点M到直线l的距离不小于，∴，解得b≥1．‎ ‎∴e==≤．‎ ‎∴椭圆E的离心率的取值范围是．‎ 故选：A．‎ 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. ‎ ‎15．已知椭圆 离心率为，双曲线 的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形面积为16，则椭圆的方程为_______________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意，双曲线的渐近线方程为 ‎ ‎∵以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，故边长为4， 在椭圆上，‎ ‎ ， ‎ ‎∴椭圆方程为：‎ 故答案为：‎ ‎16．已知点为双曲线右支上一点， 分别为双曲线的左、右焦点，且为的内心，若成立，则的值为___________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：设的内切圆的半径为，由双曲线的定义得， ，由题意得，所以，因为，所以，所以，所以，即．‎ 考点：双曲线的定义及其简单的几何性质的应用．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了双曲线的定义、标准方程及其简单的几何性质的应用，同时考查了三角形的面积的计算与内切圆的性质，其中利用三角形的内切圆的性质，表示出的面积，利用关系式，求出的表达式是解答的关键，着重考查了学生分析问题、解答问题的能力，属于中档试题．‎ 三、解答题 ‎17．已知直线与抛物线交于两点，求弦长的值。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：联立直线与抛物线方程，利用弦长公式得弦长为 试题解析：设 由 得 由韦达定理有 ，‎ 所以弦 的长度为 ‎18．（1）已知椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为4，求椭圆的标准方程。‎ ‎（2）已知双曲线过点，一个焦点为，求双曲线的标准方程。‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由已知，先确定 的值，进而求出 ，可得椭圆的标准方程 ‎（2）由已知可得双曲线焦点在轴上且，将点代入双曲线方程，可求出，即得双曲线的标准方程 试题解析：‎ ‎（1）由椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为4，得，即 ‎ ‎ （2）因为双曲线过点，一个焦点为，所以即 ‎19．已知直线与双曲线的右支交于两点，且在双曲线的右支上存在点，使，求的值及点C的坐标。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由得 ，由直线与双曲线联立方程组，利用韦达定理解得 试题解析：‎ 设 ，则 由直线与双曲线方程联立，可得 ‎ ‎ ‎ 解得 ‎ ‎ ‎ ‎20．已知抛物线的焦点，为坐标原点，是抛物线上异于的两点，若直线的斜率之积为，求证：直线过轴上一定点。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：利用抛物线的焦点，可得抛物线 的方程； ‎ 然后分类讨论，设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合斜率公式，可求直线方程，即可得出结论．‎ 试题解析：抛物线方程为，当直线斜率不存在时，设 ，由斜率之积为得，此时直线方程为。当直线斜率存在，设方程为，与联立得，。又解得即，‎ 综上所述，直线过定点 ‎21．已知椭圆：（）的左焦点为，长轴长为。‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设为坐标原点，为直线上一点，过作的垂线交椭圆于，。当四边形是平行四边形时，求四边形的面积。‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题意可得解出即可；‎ ‎（2）由（1）可得 ，设 ，可得直线TF的斜率 ，由于 ，可得直线 的方程为 设 ．直线方程与椭圆方程可得根与系数的关系．由于四边形 是平行四边形，可得 ‎ ，即可解得 ．此时四边形的面积 ‎ 试题解析：（1）椭圆C的标准方程为.‎ ‎（2）设点的坐标为（，），则直线的斜率.‎ 当时，直线的斜率，直线的方程是.‎ 当时，直线的方程是，也符合的形式.‎ 设，将直线的方程与椭圆的方程联立，得.‎ 消去，得.其判别式>‎ 所以，，.‎ 因为四边形是平行四边形，所以,即.‎ 所以.解得.‎ 此时四边形的面积.‎ ‎22．已知椭圆其左，右焦点分别为，离心率为点又点在线段的中垂线上。‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设椭圆的左右顶点分别为，点在直线上(点不在轴上)，直线与椭圆交于点直线与椭圆交于线段的中点为，证明： 。‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】试题分析;: （1）由已知条件得，，，由此能求出椭圆 的方程．  （2）设的方程为（），方程为)，由方程组 ‎，得(，由此求出 ，化简后 ，，三角形为直角三角形， 为斜边中点，从而能证明 ．‎ 试题解析：（1） 在PF1的中垂线上, ‎ ‎ 解得 ‎ ‎ ‎ ‎ (2)由(1)可知 设的方程为（），则P坐标（）‎ 所以， 所以方程为 由方程组 消去y,整理得 ‎ 求解可得,所以，‎ 因为 ，化简后 ，‎ 所以，则三角形为直角三角形，Q为斜边中点，‎ 所以 ‎【点睛】本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆等椭圆知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等