【数学】2020届一轮复习人教A版 空间角、空间距离 学案

【数学】2020届一轮复习人教A版 空间角、空间距离 学案

空间角、空间距离 ‎ 审稿: ‎ ‎【考纲要求】‎ ‎1、了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置；‎ ‎2、掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直；‎ ‎3、利用向量法求空间角与距离；‎ ‎4、在解答题中综合考查空间想象能力，计算能力及数形结合思想。‎ ‎【知识网络】‎ 空间向量 定义、加法、减法、数乘运算 数量积 坐标表示：夹角和距离公式 求距离 求空间角 证明平行与垂直 ‎【考点梳理】‎ 考点一、空间向量有关知识 一、空间直角坐标系 ‎1、空间直角坐标系及有关概念 ‎（1）空间直角坐标系：以空间一点O为原点，建立三条两两垂直的数轴：x轴，y轴，z轴。这时建立了空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做坐标原点，X轴，y轴，z轴统称坐标轴。由坐标轴确定的平面叫做坐标平面；‎ ‎（2）右手直角坐标系的含义是：当右手拇指指向x轴正方向，食指指向y轴方向时，中指一定指向z轴的正方向；‎ ‎（3）空间一点M的坐标为有序实数组（x,y,z）,记作M（x,y,z），其中x叫做M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标。‎ ‎2、空间两点间的距离公式 设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则|AB|=‎ 要点诠释：‎ 在空间直角坐标系中，点M（x,y,z）的坐标满足x2+y2+z2=1,则点M的轨迹是一个以原点为球心，以1为半径的球面。‎ 二、空间向量及其运算 空间向量的概念及运算同平面向量基本相同。加减运算遵循三角形或平行四边形法则；数乘运算和数量积运算与平面向量的数乘运算和数量积运算相同；坐标运算与平面向量的坐标运算类似，仅多出了一个竖坐标。‎ 考点二、直线的方向向量与平面的法向量的确定 ‎1、直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量；‎ ‎2、平面的法向量可利用方程组求出：设，是平面α内两不共线向量，为平面α的法向量，则求法向量的方程组为。‎ 要点诠释：‎ 所列方程组中有三个变量，但只有两个方程，如何求法向量？（给其中一个变量恰当赋值，求出该方程组的一组非零解，即可作为法向量的坐标。）‎ 考点三、空间向量与空间角的关系 ‎1、设异面直线，的方向向量分别为则，所成的角θ满足cosθ=|cos<>|;‎ ‎2、设直线的方向向量和平面α的法向量分别为,则直线与平面α所成角θ满足sinθ=|cos<>|;‎ ‎3、求二面角的大小 ‎①如图①，AB，CD是二面角α--β的两个面内与棱垂直的直线，则二面角的大小θ=<,>‎ ‎②如图②，分别是二面角α--β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cosθ=cos<>或-cos<>‎ 考点四、点面距的求法 如图，设AB为平面α的一条斜线段，为平面α的法向量，则B到平面α的距离 要点诠释：‎ 对于以下几类立体几何问题：(1) 共线与共面问题；(2) 平行与垂直问题；(3) 夹角问题；(4) 距离问题；(5) 探索性问题．‎ 运用向量来解决它们有时会体现出一定的优势．用空间向量解题的关键步骤是把所求向量用某个合适的基底表示，适当地建立起空间直角坐标系，把向量用坐标表示，然后进行向量与向量的坐标运算，最后通过向量在数量上的关系反映出向量的空间位置关系，从而使问题得到解决．在寻求向量间的数量关系时，一个基本的思路是列方程，解方程． ‎ ‎【典型例题】‎ 类型一、利用空间向量求空间角 例1（2018 绥化校级二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，点E，F分别为AB和PD中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：直线AF∥平面PEC；‎ ‎（Ⅱ）求PC与平面PAB所成角的正弦值．‎ ‎【解析】（Ⅰ）证明：作FM∥CD交PC于M．‎ ‎∵点F为PD中点，‎ ‎∴．‎ ‎∵点E为AB的中点．‎ ‎∴，‎ 又AE∥FM，‎ ‎∴四边形AEMF为平行四边形，‎ ‎∴AF∥EM，‎ ‎∵AF⊄平面PEC，EM⊂平面PEC，‎ ‎∴直线AF∥平面PEC．‎ ‎（Ⅱ）已知∠DAB=60°，‎ 进一步求得：DE⊥DC，‎ 则：建立空间直角坐标系，‎ 则 P（0，0，1），C（0，1，0），E（，0，0），‎ A（，﹣，0），B（，，0）．‎ 所以：，．‎ 设平面PAB的一个法向量为：，．‎ ‎∵，‎ 则：，‎ 解得：，‎ 所以平面PAB的法向量为：‎ ‎∵，‎ ‎∴设向量和的夹角为θ，‎ ‎∴cosθ=，‎ ‎∴PC平面PAB所成角的正弦值为．‎ ‎【总结升华】求空间角（异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角）一直是高考的热点，如果用几何法求需要作出这些角的平面角，对空间想象能力要求高。而用向量法求解时，只需利用公式。通过简单的向量运算即可解决，显示了向量这一工具巨大的作用。求二面角时，可以利用法向量求。‎ 举一反三：‎ ‎【变式】（2018 锦州一模）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，，AF=1．‎ ‎（1）求直线DF与平面ACEF所成角的正弦值；‎ ‎（2）在线段AC上找一点P，使与所成的角为60°，试确定点P的位置．‎ ‎【解析】（1）以为正交基底，建立如图空间直角坐标系，‎ 则，，‎ 因为AC⊥BD，AF⊥BD，‎ 所以是平面ACEF法向量，‎ 又因为，‎ 所以，‎ 故直线DF与平面ACEF所成角正弦值为．‎ ‎（2）设P（a，a，0），则．‎ 因为，所以．‎ 解得，故存在满足条件的点P为AC的中点．‎ ‎【例2】ID 401043 【高清视频空间角、空间距离例3】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD,AP=AB=2，BC=2，E,F分别是AD，PC的中点。‎ （1） 证明：PC⊥平面BEF；‎ （2） 求平面BEF与平面BAP夹角的大小。‎ 举一反三：‎ ‎【变式】如图，三棱锥P—ABC中， PC平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD平面PAB．‎ ‎(I) 求证：AB平面PCB；‎ ‎(II) 求异面直线AP与BC所成角的大小； ‎ ‎(III)求二面角C-PA-B的大小的余弦值．‎ ‎【解析】(1) ∵PC⊥平面ABC,平面ABC，‎ ‎∴PCAB.∵CD平面PAB，平面PAB，‎ ‎ ∴CDAB．又，∴AB平面PCB．‎ ‎ (2) 由(I) AB平面PCB，∵PC=AC=2，‎ 又∵AB=BC，可求得BC=．以B为原点，‎ 如图建立坐标系．则Ａ（０,,０），Ｂ（0,0,0）， C（,０,0），P（,０,2）．‎ ‎=(,－,2)，=(,0,0)．‎ 则=×+0+0=2． ‎ ‎=== ．‎ ‎∴异面直线AP与BC所成的角为． ‎ ‎（3）设平面PAB的法向量为m= (x，y，z)．=(0, －,0),=(,－,2)，‎ 则 即解得令z= -1,得 m= (，0，-1)．‎ ‎ 设平面PAC的法向量为n=(x¢, y¢, z¢).＝(0,0,－2), =(,－,0)，‎ ‎ 则 即解得 令x¢=1, 得 n= (1，1，0)． ‎ ‎=. ∴二面角C-PA-B的大小的余弦值为．‎ ‎∴二面角C-PA-B的大小的余弦值为． ‎ 类型二、利用空间向量求空间距离 ‎【例3】已知斜三棱柱ABC-A1B1C1,∠BCA=90°,AC=BC=2,A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知BA1⊥AC1.‎ ‎(1)求证：AC1⊥平面A1BC；‎ ‎(2)求点C1到平面A1AB的距离；‎ ‎(3)求二面角A-A1B-C的余弦值.‎ ‎【解析】(1)如图，取AB的中点E，则DE∥BC，因为BC⊥AC,‎ 所以DE⊥AC,‎ 且A1D⊥平面ABC,‎ 以射线DE,DC,DA1分别为x,y,z轴的正半轴建立空间直角坐标系，则A(0,-1,0),C(0,1,0),B(2,1,0),‎ 设A1(0,0,t),C1(0,2,t),‎ 则=(0,3,t),‎ ‎=(-2,-1,t), =(2,0,0),‎ ‎∴AC1⊥CB,BA1⊥AC1,∴AC1⊥平面A1BC.‎ ‎(2)由(1)知AC1⊥平面A1BC,∴=-3+t2=0,‎ 得t=.[来源:学科网]‎ 设平面A1AB的一个法向量为n=(x,y,z), =(0,1,),‎ ‎=(2,2,0),‎ 所以设z=1,‎ 则.‎ 所以点C1到平面A1AB的距离.‎ ‎(3)设平面A1BC的一个法向量为m=(x1,y1,z1),‎ ‎=(0,-1,), =(2,0,0),‎ 所以设z1=1，则m=(0,,1),‎ 故,‎ 由题意知二面角A-A1B-C为锐角.‎ ‎∴二面角A-A1B-C的余弦值为.‎ ‎【总结升华】利用向量法求点面距，其步骤如下：‎ ‎（1）求出该平面的一个法向量；‎ ‎（2）找出过该点的平面的任一条斜线段对应的向量；‎ ‎（3）求出法向量与斜线段所对应向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点面平面的距离，如图：‎ 点P到平面α的距离。‎ 举一反三：‎ ‎【变式】在三棱锥S—ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点，如图所示. ‎ 求点B到平面CMN的距离.‎ ‎【解析】取AC的中点O，连接OS、OB.‎ ‎∵SA=SC，AB=BC，‎ ‎∴AC⊥SO，AC⊥BO.‎ ‎∵平面SAC⊥平面ABC，‎ 平面SAC∩平面ABC=AC，‎ ‎∴SO⊥平面ABC，∴SO⊥BO.‎ 如图所示，建立空间直角坐标系O—xyz，‎ 则B（0，2，0），C（-2，0，0），S（0，0，2），‎ M（1，，0），N（0，，）.‎ ‎∴=（3，，0），=（-1，0，），=（-1，，0）.‎ 设=(x,y,z)为平面CMN的一个法向量，‎ 则，取z=1，‎ 则x=,y=-,∴=（，-，1）.‎ ‎∴点B到平面CMN的距离d=.‎