- 2021-06-11 发布 |
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文档介绍
高考数学复习课时提能演练(七十七) 选修4-4_1
课时提能演练(七十七) 1.在极坐标系中,已知三点的极坐标分别为M(),N(2,0),P().判断M,N,P三点是否在一条直线上?说明理由. 2.在极坐标系中,已知O为极点,A(),B(),判断△OAB的形状. 3.在极坐标系中,已知直线l过点A(1,0),且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为求: (1)直线的极坐标方程; (2)极点到该直线的距离. 4.(1)求以C(4,0)为圆心,半径等于4的圆的极坐标方程; (2)从极点O作圆C的弦ON,求ON的中点M的轨迹方程. 5.在极坐标系中,求圆ρ=2上的点到直线ρ(cosθ+sinθ)=6的距离的最小值. 6.已知半圆的直径|AB|=2r(r>0),半圆外一条直线l与AB所在直线垂直相交于点T,并且|AT|=2a(2a<). 建立极坐标系证明:如果半圆上相异两点M、N到l的距离|MP|、|NQ|满足|MP|=|MA|,|NQ|=|NA|,那么|MA|+|NA|为定值. 7.在极坐标系中,从极点O作直线与另一直线l:ρcosθ=4相交于点M,在OM上取一点P,使|OM|·|OP|=12. (1)求点P的轨迹方程; (2)设R为l上任意一点,试求|RP|的最小值. 8.已知圆C的极坐标方程ρ=2asinθ,求: (1)圆C关于极轴对称的圆的极坐标方程; (2)圆C关于直线对称的圆的极坐标方程. 9.在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρcos(θ-)=1,M,N分别为C与x轴,y轴的交点. (1)写出C的直角坐标方程,并求M,N的极坐标; (2)设MN的中点为P,求直线OP的极坐标方程. 10.在极坐标系中,已知圆C的圆心C(3,),半径r=3. (1)求圆C的极坐标方程. (2)若Q点在圆C上运动,P在OQ的延长线上,且求动点P的轨迹方程. 答案解析 1.【解析】方法一:三点M(2,),N(2,0),P()的直角坐标分别为(1,),(2,0),(3,), 由于 故∥ 所以M,N,P三点共线. 方法二:由点M(2,),N(2,0),P()可知,|OM|=|ON|=2,∠MON=于是 △OMN为等边三角形,所以|MN|=2. 又∠MOP= |OP|=在Rt△MOP中, 在△ONP中,由余弦定理得 因为|MN|+|NP|=2+2=4,|MP|=4,于是|MN|+|NP|=|MP|,所以M,N,P三点共线. 2.【解析】由于点A(-2,)即(2,), 又O(0,0),B 故|OA|=2,|OB|= 所以∠OBA= 所以△OAB为等腰直角三角形. 3.【解析】方法一:(1)如图,由正弦定理得 即 ∴所求直线的极坐标方程为 (2)作OH⊥l,垂足为H,在△OHA中, |OA|=1,∠OHA=∠OAH= 则 即极点到该直线的距离等于 方法二:(1)直线的斜率为又直线过点A(1,0),所以直线的点斜式方程为y=(x-1),化为极坐标方程为ρsinθ=(ρcosθ-1), 即ρ(sinθ-cosθ)=-, ∴即 所以为所求. (2)由上述可知,极点即坐标原点(0,0)到直线的距离为 4.【解析】(1)设P(ρ,θ)为圆C上任意一点,圆C交极轴于另一点A,则|OA|=8,在Rt△AOP中,|OP|=|OA|cosθ,即ρ=8cosθ,这就是圆C的极坐标方程. (2)由r=|OC|=4,连接CM. 因为M为弦ON的中点,所以CM⊥ON. 故M在以OC为直径的圆上. 所以动点M的轨迹方程是ρ=4cosθ(不含极点). 5.【解析】由圆ρ=2得直角坐标方程为x2+y2=4,圆心为(0,0),半径为r=2.直线ρ(cosθ+sinθ)=6的直角坐标方程为x+y-6=0,圆心到该直线的距离为且d>r. 故圆ρ=2上的点到直线ρ(cosθ+sinθ)=6的距离的最小值是1. 6.【证明】以A为极点,射线AB为极轴建立极坐标系,则半圆的极坐标方程为ρ=2rcosθ,设M(ρ1,θ1),N(ρ2,θ2),由题意知,M(ρ1,θ1),N(ρ2,θ2)在抛物线上,∴rcos2θ-rcosθ+a=0, 由于2a<则r>4a, ∴Δ=r2-4ra= r(r-4a)>0. ∴cosθ1,cosθ2是方程rcos2θ-rcosθ+a=0的两个根, 由根与系数的关系,得cosθ1+cosθ2=1, ∴|MA|+|NA|=ρ1+ρ2 =2rcosθ1+2rcosθ2=2r(定值). 7.【解题指南】由O、M、P三点共线及|OM|·|OP|=12.设出动点P、M的极坐标,然后代入条件等式求解即可.也可以转化为直角坐标方程解决. 【解析】方法一:(1)设动点P的极坐标为(ρ,θ),则点M为(ρ0,θ). ∵|OM|·|OP|=12,∴ρ0ρ=12,得 ∵M在直线ρcosθ=4上,∴ρ0cosθ=4,即cosθ=4, 于是ρ=3cosθ(ρ>0)为所求的点P的轨迹方程. (2)由于点P的轨迹方程为ρ=3cosθ=2·cosθ, 所以点P的轨迹是圆心为(0),半径为的圆(去掉原点). 又直线l:ρcosθ=4过点(4,0)且垂直于极轴,点R在直线l上,由此可知RP的最小值为1. 方法二:(1)直线l:ρcosθ=4的直角坐标方程为x=4,设点P(x,y)为轨迹上任意一点,点M(4,y0),由∥得(x>0). 又|OM|·|OP|=12,则|OM|2·|OP|2=144. ∴ 整理得x2+y2=3x(x>0), 这就是点P的轨迹的直角坐标方程. (2)由上述可知,点P的轨迹是圆心为(0),半径为的圆(去掉原点). 又点R在直线l:x=4上,故|RP|的最小值为1. 8.【解析】方法一:设所求圆上任意一点M的极坐标为(ρ,θ). (1)点M(ρ,θ)关于极轴对称的点为M(ρ,-θ),代入圆C的方程ρ=2asinθ,得ρ=2asin(-θ),即ρ=-2asinθ为所求. (2)点M(ρ,θ)关于直线θ=对称的点为(ρ,-θ),代入圆C的方程ρ=2asinθ,得ρ=2asin(-θ),即ρ=-2acosθ为所求. 方法二:由圆的极坐标方程ρ=2asinθ,得ρ2=2ρasinθ, 利用公式x=ρcosθ,y=ρsinθ,ρ= 化为直角坐标方程为x2+y2=2ay. 即x2+(y-a)2=a2,故圆心为C(0,a),半径为|a|. (1)关于极轴对称的圆的圆心为(0,-a),圆的方程为x2+(y+a)2=a2, 即x2+y2=-2ay,∴ρ2=-2ρasinθ, 故ρ=-2asinθ为所求. (2)由θ=得tanθ=-1,故直线θ=的直角坐标方程为y=-x, 圆x2+(y-a)2=a2关于直线y=-x对称的圆的方程为(-y)2+(-x-a)2=a2, 即(x+a)2+y2=a2,于是x2+y2=-2ax. ∴ρ2=-2ρacosθ. 此圆的极坐标方程为ρ=-2acosθ. 9.【解析】(1)由ρcos(θ-)=1得 从而C的直角坐标方程为 即x+y=2.当θ=0时,ρ=2,所以M(2,0); 当θ=时,ρ=所以N(). (2)M点的直角坐标为(2,0),N点的直角坐标为(0,).所以P点的直角坐标为(1,),则P点的极坐标为(). 所以直线OP的极坐标方程为θ= (ρ∈R). 10.【解析】(1)设M(ρ,θ)是圆C上任意一点,在△OCM中,∠COM=|θ-|,由余弦定理,得|CM|2=|OM|2+|OC|2-2|OM||OC|cos∠COM. ∴32=ρ2+32-2×3×ρcos(θ-). 即ρ=6cos(θ-)为所求. (2)设点Q为(ρ1,θ1),点P为(ρ,θ),由得 ∴∴代入圆ρ=6cos(θ-)方程得ρ=6cos(θ-),即ρ=9cos(θ-)为所求.查看更多