高考数学复习课时提能演练(七十七) 选修4-4_1

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高考数学复习课时提能演练(七十七) 选修4-4_1

‎ ‎ 课时提能演练(七十七)‎ ‎1.在极坐标系中,已知三点的极坐标分别为M(),N(2,0),P().判断M,N,P三点是否在一条直线上?说明理由.‎ ‎2.在极坐标系中,已知O为极点,A(),B(),判断△OAB的形状.‎ ‎3.在极坐标系中,已知直线l过点A(1,0),且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为求:‎ ‎(1)直线的极坐标方程;‎ ‎(2)极点到该直线的距离.‎ ‎4.(1)求以C(4,0)为圆心,半径等于4的圆的极坐标方程;‎ ‎(2)从极点O作圆C的弦ON,求ON的中点M的轨迹方程.‎ ‎5.在极坐标系中,求圆ρ=2上的点到直线ρ(cosθ+sinθ)=6的距离的最小值.‎ ‎6.已知半圆的直径|AB|=2r(r>0),半圆外一条直线l与AB所在直线垂直相交于点T,并且|AT|=‎2a(‎2a<).‎ 建立极坐标系证明:如果半圆上相异两点M、N到l的距离|MP|、|NQ|满足|MP|=|MA|,|NQ|=|NA|,那么|MA|+|NA|为定值.‎ ‎7.在极坐标系中,从极点O作直线与另一直线l:ρcosθ=4相交于点M,在OM上取一点P,使|OM|·|OP|=12.‎ ‎(1)求点P的轨迹方程;‎ ‎(2)设R为l上任意一点,试求|RP|的最小值.‎ ‎8.已知圆C的极坐标方程ρ=2asinθ,求:‎ ‎(1)圆C关于极轴对称的圆的极坐标方程;‎ ‎(2)圆C关于直线对称的圆的极坐标方程.‎ ‎9.在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρcos(θ-)=1,M,N分别为C与x轴,y轴的交点.‎ ‎(1)写出C的直角坐标方程,并求M,N的极坐标;‎ ‎(2)设MN的中点为P,求直线OP的极坐标方程.‎ ‎10.在极坐标系中,已知圆C的圆心C(3,),半径r=3.‎ ‎(1)求圆C的极坐标方程.‎ ‎(2)若Q点在圆C上运动,P在OQ的延长线上,且求动点P的轨迹方程.‎ 答案解析 ‎1.【解析】方法一:三点M(2,),N(2,0),P()的直角坐标分别为(1,),(2,0),(3,),‎ 由于 故∥‎ 所以M,N,P三点共线.‎ 方法二:由点M(2,),N(2,0),P()可知,|OM|=|ON|=2,∠MON=于是 ‎△OMN为等边三角形,所以|MN|=2.‎ 又∠MOP= |OP|=在Rt△MOP中, ‎ 在△ONP中,由余弦定理得 因为|MN|+|NP|=2+2=4,|MP|=4,于是|MN|+|NP|=|MP|,所以M,N,P三点共线.‎ ‎2.【解析】由于点A(-2,)即(2,),‎ 又O(0,0),B 故|OA|=2,|OB|=‎ 所以∠OBA=‎ 所以△OAB为等腰直角三角形.‎ ‎3.【解析】方法一:(1)如图,由正弦定理得 即 ‎∴所求直线的极坐标方程为 ‎(2)作OH⊥l,垂足为H,在△OHA中,‎ ‎|OA|=1,∠OHA=∠OAH=‎ 则 即极点到该直线的距离等于 方法二:(1)直线的斜率为又直线过点A(1,0),所以直线的点斜式方程为y=(x-1),化为极坐标方程为ρsinθ=(ρcosθ-1),‎ 即ρ(sinθ-cosθ)=-,‎ ‎∴即 所以为所求.‎ ‎(2)由上述可知,极点即坐标原点(0,0)到直线的距离为 ‎4.【解析】(1)设P(ρ,θ)为圆C上任意一点,圆C交极轴于另一点A,则|OA|=8,在Rt△AOP中,|OP|=|OA|cosθ,即ρ=8cosθ,这就是圆C的极坐标方程.‎ ‎(2)由r=|OC|=4,连接CM.‎ 因为M为弦ON的中点,所以CM⊥ON.‎ 故M在以OC为直径的圆上.‎ 所以动点M的轨迹方程是ρ=4cosθ(不含极点).‎ ‎5.【解析】由圆ρ=2得直角坐标方程为x2+y2=4,圆心为(0,0),半径为r=2.直线ρ(cosθ+sinθ)=6的直角坐标方程为x+y-6=0,圆心到该直线的距离为且d>r.‎ 故圆ρ=2上的点到直线ρ(cosθ+sinθ)=6的距离的最小值是1.‎ ‎6.【证明】以A为极点,射线AB为极轴建立极坐标系,则半圆的极坐标方程为ρ=2rcosθ,设M(ρ1,θ1),N(ρ2,θ2),由题意知,M(ρ1,θ1),N(ρ2,θ2)在抛物线上,∴rcos2θ-rcosθ+a=0,‎ 由于‎2a<则r>‎4a,‎ ‎∴Δ=r2-4ra= r(r-‎4a)>0.‎ ‎∴cosθ1,cosθ2是方程rcos2θ-rcosθ+a=0的两个根,‎ 由根与系数的关系,得cosθ1+cosθ2=1,‎ ‎∴|MA|+|NA|=ρ1+ρ2‎ ‎=2rcosθ1+2rcosθ2=2r(定值).‎ ‎7.【解题指南】由O、M、P三点共线及|OM|·|OP|=12.设出动点P、M的极坐标,然后代入条件等式求解即可.也可以转化为直角坐标方程解决.‎ ‎【解析】方法一:(1)设动点P的极坐标为(ρ,θ),则点M为(ρ0,θ).‎ ‎∵|OM|·|OP|=12,∴ρ0ρ=12,得 ‎∵M在直线ρcosθ=4上,∴ρ0cosθ=4,即cosθ=4,‎ 于是ρ=3cosθ(ρ>0)为所求的点P的轨迹方程.‎ ‎(2)由于点P的轨迹方程为ρ=3cosθ=2·cosθ,‎ 所以点P的轨迹是圆心为(0),半径为的圆(去掉原点).‎ 又直线l:ρcosθ=4过点(4,0)且垂直于极轴,点R在直线l上,由此可知RP的最小值为1.‎ 方法二:(1)直线l:ρcosθ=4的直角坐标方程为x=4,设点P(x,y)为轨迹上任意一点,点M(4,y0),由∥得(x>0).‎ 又|OM|·|OP|=12,则|OM|2·|OP|2=144.‎ ‎∴‎ 整理得x2+y2=3x(x>0),‎ 这就是点P的轨迹的直角坐标方程.‎ ‎(2)由上述可知,点P的轨迹是圆心为(0),半径为的圆(去掉原点).‎ 又点R在直线l:x=4上,故|RP|的最小值为1.‎ ‎8.【解析】方法一:设所求圆上任意一点M的极坐标为(ρ,θ).‎ ‎(1)点M(ρ,θ)关于极轴对称的点为M(ρ,-θ),代入圆C的方程ρ=2asinθ,得ρ=2asin(-θ),即ρ=-2asinθ为所求.‎ ‎(2)点M(ρ,θ)关于直线θ=对称的点为(ρ,-θ),代入圆C的方程ρ=2asinθ,得ρ=2asin(-θ),即ρ=-2acosθ为所求.‎ 方法二:由圆的极坐标方程ρ=2asinθ,得ρ2=2ρasinθ,‎ 利用公式x=ρcosθ,y=ρsinθ,ρ= ‎ 化为直角坐标方程为x2+y2=2ay.‎ 即x2+(y-a)2=a2,故圆心为C(0,a),半径为|a|.‎ ‎(1)关于极轴对称的圆的圆心为(0,-a),圆的方程为x2+(y+a)2=a2,‎ 即x2+y2=-2ay,∴ρ2=-2ρasinθ,‎ 故ρ=-2asinθ为所求.‎ ‎(2)由θ=得tanθ=-1,故直线θ=的直角坐标方程为y=-x,‎ 圆x2+(y-a)2=a2关于直线y=-x对称的圆的方程为(-y)2+(-x-a)2=a2,‎ 即(x+a)2+y2=a2,于是x2+y2=-2ax.‎ ‎∴ρ2=-2ρacosθ.‎ 此圆的极坐标方程为ρ=-2acosθ.‎ ‎9.【解析】(1)由ρcos(θ-)=1得 从而C的直角坐标方程为 即x+y=2.当θ=0时,ρ=2,所以M(2,0);‎ 当θ=时,ρ=所以N().‎ ‎(2)M点的直角坐标为(2,0),N点的直角坐标为(0,).所以P点的直角坐标为(1,),则P点的极坐标为().‎ 所以直线OP的极坐标方程为θ= (ρ∈R).‎ ‎10.【解析】(1)设M(ρ,θ)是圆C上任意一点,在△OCM中,∠COM=|θ-|,由余弦定理,得|CM|2=|OM|2+|OC|2-2|OM||OC|cos∠COM.‎ ‎∴32=ρ2+32-2×3×ρcos(θ-).‎ 即ρ=6cos(θ-)为所求.‎ ‎(2)设点Q为(ρ1,θ1),点P为(ρ,θ),由得 ‎∴∴代入圆ρ=6cos(θ-)方程得ρ=6cos(θ-),即ρ=9cos(θ-)为所求.‎
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