2021届高考数学一轮复习新人教A版教学案：第二章函数概念及基本初等函数Ⅰ第4节幂函数与二次函数
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第4节 幂函数与二次函数
考试要求 1.了解幂函数的概念；结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝的图象，了解它们的变化情况；2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.
知 识 梳 理
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.
(2)常见的五种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.
2.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).
零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.
(2)二次函数的图象和性质
函数
y＝ax2＋bx＋c(a>0)
y＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
(抛物线)
定义域
R
值域
对称轴
x＝－
顶点
坐标
奇偶性
当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性
在上是减函数；
在上是增函数
在上是增函数；
在上是减函数
[常用结论与微点提醒]
1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.
2.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时恒有f(x)>0；当时，恒有f(x)<0.
3.(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限；
(2)幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.
诊 断 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数y＝2x是幂函数.( )
(2)当α>0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上是增函数.( )
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的两个零点可以确定函数的解析式.( )
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈[a，b])的最值一定是.( )
解析 (1)由于幂函数的解析式为f(x)＝xα，故y＝2x不是幂函数，(1)错.
(3)确定二次函数的解析式需要三个独立的条件，两个零点不能确定函数的解析式.
(4)对称轴x＝－，当－小于a或大于b时，最值不是，故(4)错.
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×
2.(老教材必修1P79T1改编)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α＝( )
A. B.1 C. D.2
解析 因为f(x)＝k·xα是幂函数，所以k＝1.
又f(x)的图象过点，所以＝，
所以α＝，所以k＋α＝1＋＝.
答案 C
3.(新教材必修第一册P86T7改编)如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a的取值范围是________.
解析 当a＝0时，f(x)＝2x－3在(－∞，4)单调递增.
当a≠0时，f(x)在(－∞，4)上单调递增.
则a需满足解得－≤a<0.
综上可知，－≤a≤0.
答案
4.(2016·全国Ⅲ卷)已知a＝2，b＝3，c＝25，则( )
A.b
a>b.
答案 A
5.(2020·河南省实验中学质检)已知函数f(x)＝3x2－2(m＋3)x＋m＋3的值域为[0，＋∞)，则实数m的取值范围为( )
A.{0，－3} B.[－3，0]
C.{0，3} D.(－∞，－3]∪[0，＋∞)
解析 依题意，得Δ＝4(m＋3)2－4×3(m＋3)＝0，则m＝0或m＝－3.∴实数m
的取值范围是{0，－3}.
答案 A
6.(2018·上海卷)已知α∈，.若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝______.
解析 由y＝xα为奇函数，知α取－1，1，3.
又y＝xα在(0，＋∞)上递减，∴α<0，取α＝－1.
答案 －1
考点一 幂函数的图象和性质
【例1】 (1)幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数y＝f(x)的大致图象是( )
(2)(2020·衡水中学调研)已知点(m，8)在幂函数f(x)＝(m－1)xn的图象上，设a＝f，b＝f(ln π)，c＝f(2－)，则a，b，c的大小关系是( )
A.a1>2－＝>，
所以f(ln π)>f(2－)>f，则b>c>a.
答案 (1)C (2)A
规律方法 1.对于幂函数图象的掌握，需记住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域.根据α<0，0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.
2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.
【训练1】 (1)(2019·荆门模拟)已知点在幂函数f(x)的图象上，则f(x)是( )
A.奇函数 B.偶函数
C.定义域内的减函数 D.定义域内的增函数
(2)若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为( )
A.－10时，y＝xα在(0，＋∞)上为增函数，且0<α<1时，图象上凸，∴00且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一坐标系内的图象可能是( )
(2)设函数f(x)＝x2＋x＋a(a>0)，已知f(m)<0，则( )
A.f(m＋1)≥0 B.f(m＋1)≤0
C.f(m＋1)>0 D.f(m＋1)<0
解析 (1)若01，则y＝loga x在(0，＋∞)上是增函数，
y＝(a－1)x2－x图象开口向上，且对称轴在y轴右侧，
因此B项不正确，只有选项A满足.
(2)因为f(x)的对称轴为x＝－，f(0)＝a>0，所以f(x)的大致图象如图所示.
由f(m)<0，得－10，所以f(m＋1)>f(0)>0.
答案 (1)A (2)C
规律方法 1.研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向.
2.求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件.
【训练3】 一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是( )
解析 A中，由一次函数y＝ax＋b的图象可得a>0，此时二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象应该开口向上，A错误；
B中，由一次函数y＝ax＋b的图象可得a>0，b>0，此时二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象应该开口向上，对称轴x＝－<0，B错误；C中，由一次函数y＝ax＋b的图象可得a<0，b<0，此时二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象应该开口向下，对称轴x＝－<0，C正确；
D中，由一次函数y＝ax＋b的图象可得a<0，b<0，此时二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象应该开口向下，D错误.
答案 C
考点四 二次函数的性质 多维探究
角度1 二次函数的单调性与最值
【例4－1】 已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R且a≠0)，x∈R.
(1)若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；
(2)在(1)的条件下，f(x)>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，试求k的取值范围.
解 (1)由题意知解得
所以f(x)＝x2＋2x＋1，
由f(x)＝(x＋1)2知，函数f(x)的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1].
(2)由题意知，x2＋2x＋1>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，即k0时，x＝∈(0，＋∞)，∴f(x)max＝f＝－6.
此时应有－6≤3，且a>0，解得00，所以f(x)在(－∞，2]上是递减的，在[2，＋∞)上是递增的.
(2)∀x∈[－1，1]时，f(x)≥0⇔a(x－1)2≥x－1.(*)
当x＝1时，a∈R，(*)式恒成立.
当x∈[－1，1)时，(*)式等价于a≥恒成立.
又t＝在[－1，1)上是减函数，a≥＝－.
综上知a≥－.
答案 (1)A (2)
A级 基础巩固
一、选择题
1.(2020·濮阳模拟)已知函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋2m－3是幂函数，且其图象与两坐标轴都没有交点，则实数m＝( )
A.－1 B.2 C.3 D.2或－1
解析 由题意，得m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.
当m＝2时，f(x)＝x5的图象与坐标轴有交点，不合题意.
当m＝－1时，f(x)＝x－4的图象与坐标轴无交点，符合题意.
综上可知，m＝－1.
答案 A
2.已知p：|m＋1|<1，q：幂函数y＝(m2－m－1)xm在(0，＋∞)上单调递减，则p是q的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 p：由|m＋1|<1得－20)，当－1≤x≤1时，|f(x)|≤1恒成立，则f＝________.
解析 当x∈[－1，1]时，|f(x)|≤1恒成立.
∴
因此n＝－1，∴f(0)＝－1，f(1)＝1.
由f(x)的图象可知：要满足题意，则图象的对称轴为直线x＝0，∴2－m＝0，m＝2，
∴f(x)＝2x2－1，∴f＝－.
答案 －
14.已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈[－1，1]时，函数y＝f(x)的图象恒在函数y＝2x＋m的图象的上方，求实数m的取值范围.
解 (1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(x＋1)－f(x)＝2x，得2ax＋a＋b＝2x.
所以，2a＝2且a＋b＝0，解得a＝1，b＝－1，
又f(0)＝1，所以c＝1.
因此f(x)的解析式为f(x)＝x2－x＋1.
(2)因为当x∈[－1，1]时，y＝f(x)的图象恒在y＝2x＋m的图象上方，
所以在[－1，1]上，x2－x＋1>2x＋m恒成立；
即x2－3x＋1>m在区间[－1，1]上恒成立.
所以令g(x)＝x2－3x＋1＝－，
因为g(x)在[－1，1]上的最小值为g(1)＝－1，
所以m<－1.故实数m的取值范围为(－∞，－1).
C级 创新猜想
15.(组合选择题)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：
①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a0，即b2>4ac，①正确.
对称轴为x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，②错误.
结合图象，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误.
由对称轴为x＝－1知，b＝2a.
根据抛物线开口向下，知a<0，所以5a<2a，
即5a
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