山东省济宁市第一中学2020届高三下学期一轮质量检测数学试题

山东省济宁市第一中学2020届高三下学期一轮质量检测数学试题

济宁一中2017级高三一轮复习质量检测数学试题 第Ⅰ卷 一､选择题 ‎1.在复平面上，复数对应的点位于（　　）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简复数，判断对应点的象限.‎ ‎【详解】，对应点为在第一象限.‎ 故答案选A ‎【点睛】本题考查了复数的计算，属于简单题.‎ ‎2.已知实数集，集合，集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可得集合,求出补集,再求出即可.‎ ‎【详解】由,得,即,‎ 所以,‎ 所以.‎ 故选:A ‎【点睛】本题考查了集合的补集和交集的混合运算,属于基础题.‎ ‎3.过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则实数的值为（ ）‎ A. 0 B. C. 0或 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】当时，直线，即直线，此时过点且与直线垂直的直线为，而是与圆相切，满足题意，所以成立，‎ 当时，过点且与直线垂直的直线斜率为，可设该直线方程为，即，再根据直线与圆相切，即圆心到直线距离为1可得，，解得.故本题正确答案为C.‎ 点晴：本题考查的是直线 与直线，直线与圆的位置关系.当考虑直线与直线位置关系时要分斜率存在和不存在即和两种情况讨论，两直线垂直则斜率互为负倒数;当考虑直线和圆相切时，一方面要分斜率存在和不存在两种情况，另一方面要充分利用圆心到直线距离为半径，列出等式求解即可.‎ ‎4.某次考试，班主任从全班同学中随机抽取一个容量为8的样本，他们的数学､物理分数对应如下表:‎ 学生编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 数学分数 ‎60‎ ‎65‎ ‎70‎ ‎75‎ ‎80‎ ‎85‎ ‎90‎ ‎95‎ 物理分数 ‎72‎ ‎77‎ ‎80‎ ‎84‎ ‎88‎ ‎90‎ ‎93‎ ‎95‎ 绘出散点图如下:‎ 根据以上信息，判断下列结论:‎ ‎①根据此散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系；‎ ‎②根据此散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系；‎ ‎③甲同学数学考了80分，那么，他的物理成绩一定比数学只考了60分的乙同学的物理成绩要高.‎ 其中正确的个数为（ ）.‎ A. 0 B. ‎3 ‎C. 2 D. 1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据散点图的知识，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．‎ ‎【详解】对于①，根据此散点图知，各点都分布在一条直线附近，可以判断数学成绩与物理成绩具有较强的线性相关关系，①正确；‎ 对于②，根据此散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有较强的线性相关关系，‎ 不是一次函数关系，②错误；‎ 对于③，甲同学数学考了80分，他的物理成绩可能比数学只考了60分的乙同学的物理成绩要高，所以③错误．‎ 综上，正确的命题是①，只有1个．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了散点图的应用问题，是基础题．‎ ‎5.函数的部分图象大致是（ ）.‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的奇偶性,单调性和特殊点的函数值估算或变化趋势，来进行排除或确认.‎ ‎【详解】根函数是奇函数，排除D，‎ 根据x取非常小的正实数时，排除B，‎ 是满足的一个值，故排除C，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和函数值的符号判定函数的图象，属基础题.‎ ‎6.设，，是与的等差中项，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎∵是与的等差中项，‎ ‎∴，‎ 即，‎ ‎∴．‎ 所以 ‎ 当且仅当即时取等号，‎ ‎∴的最小值为9．‎ ‎7.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，现从该正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 设，则.‎ ‎∴，‎ ‎∴所求的概率为 故选A.‎ ‎8.双曲线的两顶点为，，虚轴两端点为，，两焦点为，，若以为直径的圆内切于菱形，则双曲线的离心率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得顶点和虚轴端点坐标及焦点坐标，求得菱形的边长，运用等积法可得 ‎，再由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．‎ ‎【详解】‎ 由题意可得，，，，‎ ‎，，‎ 且，菱形的边长为，‎ 由以为直径的圆内切于菱形，切点分别为A，B，C，D．‎ 由面积相等，可得，‎ 即为，‎ 即有，‎ 由，可得，‎ 解得，‎ 可得，或(舍去)‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用圆内切等积法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．‎ 二､不定项选择题 ‎9.等差数列是递增数列，满足，前项和为，下列选择项正确的是（  ）‎ A. B. ‎ C. 当时最小 D. 时的最小值为 ‎【答案】ABD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设等差数列的公差为，因为，求得，根据数列是递增数列，得到正确；再由前项公式，结合二次函数和不等式的解法，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，设等差数列的公差为，‎ 因为，可得，解得，‎ 又由等差数列是递增数列，可知，则，故正确；‎ 因为，‎ 由可知，当或时最小，故错误，‎ 令，解得或，即时的最小值为，故正确.‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，以及前项和公式的应用，其中解答中熟练应用等差数列的通项公式和前项和公式，结合数列的函数性进行判断是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎10.已知函数，给出下列四个结论，其中正确的结论是（ ）.‎ A. 函数的最小正周期是 B. 函数在区间上是减函数 C. 函数的图象关于直线对称:‎ D. 函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到 ‎【答案】BC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将化简为，再逐个选项判断即可．‎ ‎【详解】‎ A选项，因为，则的最小正周期，结论错误；‎ B选项，当时，，则在区间上是减函数，结论正确；‎ C选项，因为为的最大值，则的图象关于直线对称，结论正确；‎ D选项，设，则，结论错误．‎ 故选：BC．‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的恒等变换及三角函数的性质，属于中档题.‎ ‎11.已知函数是上的偶函数，对于任意，都有成立，当，且时，都有，给出下列命题，其中所有正确命题为（ ）.‎ A. ‎ B. 直线是函数的图象的一条对称轴 C. 函数在上增函数 D. 函数在上有四个零点 ‎【答案】ABD ‎【解析】‎ 分析】‎ 函数是R上的偶函数，对任意，都有成立，我们令，可得，进而得到恒成立，再由当，且时，都有，我们易得函数在区间单调递增，然后对题目中的四个结论逐一进行分析，即可得到答案．‎ ‎【详解】令，则由，‎ 得，‎ 故,A正确；‎ 由得：，故以6为周期．‎ 又为偶函数即关于直线对称，‎ 故直线是函数的图象的一条对称轴，B正确；‎ 因为当，，时，有成立，‎ 故在上为增函数，‎ 又为偶函数，‎ 故在上为减函数，‎ 又周期为6．‎ 故在上为减函数，‎ C错误；‎ 该抽象函数图象草图如下：‎ 函数周期为6，故 ‎，‎ 故在上有四个零点，‎ D正确．‎ 故答案为：ABD．‎ ‎【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性、周期性、对称性及函数的零点与方程根的关系，属于基础题.‎ ‎12.如图，在正方体中，是棱上动点，下列说法正确的是（ ）.‎ A. 对任意动点，在平面内存在与平面平行的直线 B. 对任意动点，在平面内存在与平面垂直的直线 C. 当点从运动到的过程中，与平面所成的角变大 D. 当点从运动到的过程中，点到平面的距离逐渐变小 ‎【答案】AC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用线面平行判定定理，即可判断A；运用线面垂直的判定定理，可判断B; 由线面角的定义，可判断C; 由平面CBF即平面可知D到平面的距离的变化情况，即可判断选项D.‎ ‎【详解】因为AD在平面内，且平行平面CBF，故A正确；‎ 平面CBF即平面，又平面与平面ABCD斜相交，所以在平面ABCD内不存在与平面CBF垂直的直线，故B错误；‎ F到平面ABCD距离不变且FC变小，FC与平面ABCD所成的角变大，故C正确；‎ 平面CBF即平面，点D到平面的距离为定值，故D错误．‎ 故选：AC．‎ ‎【点睛】本题考查棱柱的结构特征，涉及线面平行、线面垂直、线面角、 ‎ 点到平面距离等，考查学生空间想象能力，属中档题.‎ 第Ⅱ卷 三､填空題 ‎13.已知为单位向量且夹角为 ，设，，在方向上的投影为______ ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可知这样即可求出 及的值，从而得出在方向上的投影的值．‎ ‎【详解】由题可知 ‎ ‎ 故，在方向上的投影为 即答案为.‎ ‎【点睛】考查单位向量及投影的定义，数量积的运算及计算公式．‎ ‎14.在的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是 ．‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】‎ 本题考查二项式定理的知识，利用二项式的通项来解题.根据题意可得，，令，可得常数项为7.‎ ‎15.如图,椭圆的右焦点为,过的直线交椭圆于两点,点是点关于原点的对称点,若且,则椭圆的离心率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作另一焦点,连接和和,则四边形为平行四边,进一步得到三角形为等腰直角三角形,设,求出,在三角形 中由勾股定理得,即可求出,则答案可求.‎ ‎【详解】作另一焦点,连接和和,则四边形为平行四边,‎ 所以,且,则三角形为等腰直角三角形,‎ 设 ,则,解得,‎ ‎,在三角形 中由勾股定理得,‎ 所以,‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆的几何性质,属中档题.‎ ‎16.已知定义域为的函数满足:当时，，且对任意的恒成立，若函数在区间内有6个零点，则实数的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 若函数在区间内有6个零点，则与的图象在区间内有6个交点．画出函数的图象，数形结合可得答案．‎ ‎【详解】对恒成立，‎ 函数的周期为2．‎ 又当时，‎ 函数的图象如下图所示：‎ 令函数，‎ 则，‎ 若函数在区间内有6个零点，‎ 则与的图象在区间内有6个交点．‎ 恒过点，‎ 过，点的直线斜率为，‎ 过，点的直线斜率为，‎ 根据图象可得：‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的零点，数形结合思想，属于较难题．‎ 四､解答題 ‎17.已知是等差数列，是等比数列，且，，，．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前n项和．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，运用通项公式，可得，进而得到所求通项公式； ‎ ‎（2）由（1）求得，运用等差数列和等比数列的求和公式，即可得到数列和．‎ ‎【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，‎ 因为，可得，所以，‎ 又由，所以，‎ 所以数列通项公式为．‎ ‎（2）由题意知，‎ 则数列的前项和为 ‎．‎ ‎【点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的分组求和，其中解答中熟记等差、等比数列的通项公式和前n项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎18.已知函数．‎ ‎（1）求的单调递增区间；‎ ‎（2）设为锐角三角形，角所对边，角所对边，若，求的面积．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用降次公式化简，然后利用三角函数单调区间的求法，求得的单调递增区间.‎ ‎（2）由求得，用余弦定理求得，由此求得三角形的面积.‎ ‎【详解】（1）依题意，由得，令得.所以单调递增区间.‎ ‎（2）由于，所以为锐角，即.由，得，所以.‎ 由余弦定理得，，解得或.‎ 当时，，则为钝角，与已知三角形 为锐角三角形矛盾.所以.‎ 所以三角形的面积为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查二倍角公式，考查三角函数单调性的求法，考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题.‎ ‎19.如图所示，直角梯形ABCD中，，，，四边形EDCF为矩形，，平面平面ABCD．‎ ‎(1)求证：平面ABE；‎ ‎(2)求平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值．‎ ‎(3)在线段DF上是否存在点P，使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为，若存在，求出线段BP的长，若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（I）见解析（II）（III）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎（Ⅰ）取为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，由题意可得平面的法向量，且，据此有，则平面．‎ ‎（Ⅱ）由题意可得平面的法向量，结合(Ⅰ)的结论可得，即平面与平面所成锐二面角的余弦值为．‎ ‎（Ⅲ）设，，则，而平面的法向量，据此可得，解方程有或．据此计算可得．‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）取为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，∴，，‎ 设平面的法向量，∴不妨设，又，‎ ‎∴，∴，又∵平面，∴平面．‎ ‎（Ⅱ）∵，，设平面的法向量，‎ ‎∴不妨设，∴，‎ ‎∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为．‎ ‎（Ⅲ）设 ，，∴，‎ ‎∴，又∵平面的法向量，‎ ‎∴，∴，∴或．‎ 当时，，∴；当时，，∴．‎ 综上，．‎ ‎20.某班级体育课进行一次篮球定点投篮测试，规定每人最多投3次，每次投篮的结果相互独立.在处每投进一球得3分，在处每投进一球得2分，否则得0分.将学生得分逐次累加并用表示，如果的值不低于3分就判定为通过测试，立即停止投篮，否则应继续投篮，直到投完三次为止.现有两种投篮方案:方案1:先在处投一球，以后都在处投；方案2:都在处投篮.已知甲同学在处投篮的命中率为，在处投篮的命中率为.‎ ‎（1）若甲同学选择方案1，求他测试结束后所得总分的分布列和数学期望；‎ ‎（2）你认为甲同学选择哪种方案通过测试的可能性更大?说明理由.‎ ‎【答案】（1）分布列见解析，（2）方案2，理由见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 确定甲同学在A处投中为事件A，在B处第i次投中为事件，根据题意知总分X的取值为0，2，3，利用概率知识求解相应的概率．‎ ‎2设甲同学选择方案1通过测试的概率为，选择方案2通过测试的概率为，利用概率公式得出，，比较即可．‎ ‎【详解】（1）设甲同学在处投中为事件，在处第次投中为事件，‎ 由已知，.‎ 的取值为0，2，3，4.‎ 则， ， ，‎ ‎， ‎ 的分布列为:‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 的数学期望为:.‎ ‎（2）甲同学选择方案1通过测试的概率为，选择方案2通过测试的概率为，‎ 则， ‎ ‎,‎ ‎∵，‎ ‎∴甲同学选择方案2通过测试的可能性更大.‎ ‎【点睛】本题主要考查离散型随机变量分布列及数学期望等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．‎ ‎21.已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）．‎ ‎（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；‎ ‎（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．‎ ‎【答案】(Ⅰ) ，；‎ ‎(Ⅱ)见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)由题意结合点的坐标可得抛物线方程，进一步可得准线方程；‎ ‎(Ⅱ)‎ 联立准线方程和抛物线方程，结合韦达定理可得圆心坐标和圆的半径，从而确定圆的方程，最后令x=0即可证得题中的结论.‎ ‎【详解】(Ⅰ)将点代入抛物线方程：可得：，‎ 故抛物线方程为：，其准线方程为：.‎ ‎(Ⅱ)很明显直线的斜率存在，焦点坐标为，‎ 设直线方程为，与抛物线方程联立可得：.‎ 故：.‎ 设，则，‎ 直线的方程为，与联立可得：，同理可得，‎ 易知以AB为直径的圆的圆心坐标为：，圆的半径为：，‎ 且：，，‎ 则圆的方程为：，‎ 令整理可得：，解得：，‎ 即以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.‎ ‎【点睛】本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定，直线与抛物线的位置关系，圆的方程的求解及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎22.已知函数ae2x+(a﹣2) ex﹣x.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若有两个零点，求a的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）讨论单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，再对按，进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）问，若，‎ 至多有一个零点.若，当时，取得最小值，求出最小值，根据，，进行讨论，可知当时有2个零点.易知在有一个零点；设正整数满足，则.由于，因此在有一个零点.从而可得的取值范围为.‎ 试题解析：（1）的定义域为，，‎ ‎（ⅰ）若，则，所以在单调递减.‎ ‎（ⅱ）若，则由得.‎ 当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增.‎ ‎（2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点.‎ ‎（ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为.‎ ‎①当时，由于，故只有一个零点；‎ ‎②当时，由于，即，故没有零点；‎ ‎③当时，，即.‎ 又，故在有一个零点.‎ 设正整数满足，则.‎ 由于，因此在有一个零点.‎ 综上，的取值范围为.‎ 点睛:研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数 有2个零点求参数a的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断与其交点的个数，从而求出a的取值范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大于0的点.‎