北京市第二十二中学2020届高三上学期期中考试数学试题

北京市第二十二中学2020届高三上学期期中考试数学试题

北京市22中学2019-2020学年度第一学期期中测试 高三年级数学 一、选择题 ‎1.设集合A={1，2}，则满足的集合B的个数是 A. 1 B. ‎3 ‎C. 4 D. 8‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：因为，，所以,,,,故选C.‎ 考点：并集及其运算；集合包含关系判断及应用 点评：此题考查了并集及其运算，以及集合的包含关系判断及应用，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．‎ ‎2.已知，令，，，那么之间的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：∵，∴，，，即，故选C．‎ 考点：对数函数与指数函数．‎ ‎3.f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，若y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知条件找到导函数在和为正，在为负，可得原函数的单调性即可得答案.‎ ‎【详解】由题意，可知导函数在区间和上是大于0；在是小于0；所以原函数在和是单调递增，在是单调递减，观察答案可得D选项 故选D ‎【点睛】本题考查了原函数与导函数的关系，熟悉导函数的正负可得原函数的单调性是解题的关键，属于基础题.‎ ‎4.函数是（ ）‎ A. 最小正周期为的偶函数 B. 最小正周期为的奇函数 C. 最小正周期为的偶函数 D. 最小正周期为的奇函数 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：，周期为的奇函数，故答案为B.‎ 考点：1、三角函数的化简；2、三角函数的性质.‎ ‎5.设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 等于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等差数列的性质结合已知求得，再由即可得到答案．‎ ‎【详解】为等差数列，根据等差数列性质可得：，‎ ‎，‎ 根据等差数列前项和可得：‎ 故答案选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列的性质以及等差数列的前项和公式，是基础的计算问题．‎ ‎6.南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为，则“总相等”是“相等”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据充分条件和必要条件的定义，结合祖暅原理进行判断即可.‎ ‎【详解】根据祖暅原理，当总相等时，相等，所以充分性成立；‎ 当两个完全相同的四棱台，一正一反的放在两个平面之间时，此时体积固然相等但截得的面积未必相等，所以必要性不成立.‎ 所以“总相等”是“相等”的充分不必要条件.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判断，属于基础题.‎ ‎7.已知边长为的正方形，点满足，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 数形结合知，，，，利用向量的加法法则及向量的数量积运算即可得解.‎ ‎【详解】方法一：因为四边形ABCD为边长为3的正方形，所以，，，因为，所以，‎ 则 ‎；‎ 方法二：以D为坐标原点建立如图所示直角坐标系，因为，所以点E为线段DC上靠近点C的三等分点，‎ 则，‎ 因为，所以.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查向量的线性运算及数量积，属于基础题.‎ ‎8.过双曲线的一个焦点作一条与其渐近线垂直的直线，垂足为，为坐标原点，若，则此双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 中，,所以 且=c，所以.‎ 根据题意有：，即离心率.‎ 故选C.‎ 点睛：本题主要考查双曲线的渐近线及离心率，离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解． ‎ ‎9.已知函数，若数列满足，且对任意的都有，那么实数的值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，首先可得数列通项公式，这是一个类似与分段函数的通项，结合分段函数的单调性的判断方法，可得，即可解得答案.‎ ‎【详解】解：根据题意，，‎ 要使数列是递增数列，必有 ‎ 解得.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查数列与函数的关系，数列是递增数列，必须结合的单调性进行解题，但要注意数列是递增数列与是增函数的区别与联系.‎ 二、填空题 ‎10.命题“”的否定是 ．‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】‎ 特殊命题的否定需将存在量词改为全称量词，同时否定结论，‎ 故“，”的否定是：，．‎ 故答案为，.‎ ‎11.复数，若是纯虚数，则______；当时，______.‎ ‎【答案】 (1). 1 (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 所给复数z的分子分母同时乘以分母的共轭复数进行化简，由纯虚数的定义即可求得，当时求出复数z再求其共轭复数.‎ ‎【详解】，‎ 若是纯虚数，则，；‎ 当时，，则.‎ 故答案为：1；.‎ ‎【点睛】本题考查纯虚数的定义，共轭复数，属于基础题.‎ ‎12.在△中，，，且，则____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 在△中，，，且,故 ‎ 故答案为.‎ 点睛：本题主要考查正弦定理边角互化及余弦定理的应用与特殊角的三角函数，属于简单题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.‎ ‎13.党十九大明确把精准脱贫作为决胜全面建设小康社会必须打好的三个攻坚战之一，作出了新的部署.某地区现有万农村贫困人口，如果计划在未来年内完成脱贫任务，并且后一年的脱贫任务是前一年的一半，为了按时完成脱贫攻坚任务，那么第一年需要完成的脱贫任务是______万人.‎ ‎【答案】16‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设第三年脱贫人口为x万，则第二年脱贫人口为2x万，第一年脱贫人口为4x万，根据题意列出方程求解x即可得解.‎ ‎【详解】设第三年脱贫人口为x万，根据题意，第二年脱贫人口为2x万，第一年脱贫人口为4x万，‎ 三年完成脱贫任务则，解得，‎ 所以第一年脱贫人口应为16万.‎ 故答案为：16‎ ‎【点睛】本题考查材料解析，属于基础题.‎ ‎14.以圆的圆心为焦点的抛物线的标准方程为______，此圆绕直线旋转一周所得的几何体的表面积为______.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 圆的方程化为标准方程，求出圆心与半径，则可直接写出抛物线方程，又因为直线恒过圆心可知圆绕直线旋转一周所得几何体为球，球心即为圆心，球的半径即为圆的半径，相应值代入球的表面积公式即可.‎ ‎【详解】圆即，圆心为，半径为，‎ 以为焦点的抛物线方程为：；‎ 因为直线恒过圆心，‎ 所以圆绕直线旋转一周所得几何体为球，球心即为圆心，球的半径即为圆的半径，‎ 所以球的表面积.‎ 故答案为：；‎ ‎【点睛】本题考查圆的方程，抛物线的方程，几何体的表面积，求出直线所过定点是解题的关键，属于基础题.‎ ‎15.在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转到点，那么点的坐标为______，若直线的倾斜角为，则______.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 点A的坐标表示为，根据题意点B的坐标为，由倾斜角的定义可求出，再利用二倍角公式即可得求得.‎ ‎【详解】的坐标可表示为，直线OA的倾斜角为，‎ 逆时针旋转到点，则点B的坐标为，‎ 若直线的倾斜角为，则，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查直线的倾斜角定义，二倍角公式，属于基础题.‎ ‎16.已知点在圆上运动，且，若点的坐标为，则的最大值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可知为直径，从而，可设，则就是关于的三角函数式，利用可求最大值．‎ ‎【详解】由可知为直径，从而，‎ 设，则，‎ ‎，‎ 当时，的最大值为．填 ‎【点睛】向量数量积或模长计算中，注意向已知长度的向量或与已知的角的边有关的向量转化.同时注意寻找在向量变化的过程中确定的量，以便把动态的向量向这些确定的向量转化.‎ ‎17.已知函数 ‎①当时，函数有______零点；‎ ‎②若函数的值域为，则实数的取值范围是______.‎ ‎【答案】 (1). 2个 (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①求出当时分段函数解析式，求函数的零点个数等价于求方程的根的个数；②当时，利用导数研究函数的单调性从而求函数的值域；当时，由题意知，函数图像为开口向上的二次函数，则最小值，求解不等式即可.‎ ‎【详解】①当时，，‎ 当时，，，；‎ 当时，，解得(舍去)或，‎ 所以是函数的零点，即当时，函数有两个零点；‎ ‎②i、当时，，‎ 令，解得，‎ 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，且函数过原点，最小值为；‎ ii、当时，， ‎ 若，二次函数开口向下，最小值取到负无穷，不符合题意；‎ 若，则函数为单调递减的一次函数，不符合题意；‎ 若，函数图像为开口向上的二次函数，最小值在对称轴处取到，‎ 则.‎ 故答案为：2个；‎ ‎【点睛】本题考查函数与方程，利用函数值域求参数，涉及二次函数的图像与性质，利用导数研究函数的单调性及最值，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎18.已知函数，且.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若在区间上是单调函数，求的最大值.‎ ‎【答案】(1)1;(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）代入函数解析式化简求值；（2）利用两角和与差的正弦、余弦公式化简函数解析式得，若，则，利用正弦函数的单调性即可得解.‎ ‎【详解】（1），；‎ ‎（2）‎ 若，则，‎ 因为函数在区间上单调递增，‎ 所以，解得，则m的最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查两角和与差的正弦、余弦公式，正弦函数的图像与性质，属于基础题.‎ ‎19.如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值；‎ ‎（Ⅲ）若点在棱上，且平面，求线段的长．‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析． （Ⅱ）．（Ⅲ）． ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：第一问根据面面垂直的性质和线面垂直的性质得出线线垂直的结论，注意在书写的时候条件不要丢就行；第二问建立空间直角坐标系，利用法向量所成角的余弦值来求得二面角的余弦值；第三问利用向量共线的关系，得出向量的坐标，根据线面平行得出向量垂直，利用其数量积等于零，求得结果.‎ ‎（Ⅰ）证明：因为平面⊥平面，‎ 且平面平面，‎ 因为⊥，且平面 所以⊥平面．‎ 因为平面，‎ 所以⊥． ‎ ‎（Ⅱ）解：在△中，因为，，，‎ 所以，所以⊥． ‎ 所以，建立空间直角坐标系，如图所示．‎ 所以，，，‎ ‎，，‎ ‎，． ‎ 易知平面的一个法向量为． ‎ 设平面的一个法向量为，‎ 则， 即，‎ 令，则． ‎ 设二面角的平面角为，可知为锐角，‎ 则，‎ 即二面角的余弦值为．‎ ‎（Ⅲ）解：因为点在棱，所以，．‎ 因为，‎ 所以，． ‎ 又因为平面，为平面的一个法向量，‎ 所以，即，所以．‎ 所以，所以． ‎ ‎20.设函数，曲线在点处的切线方程为，‎ ‎（1）求，值；‎ ‎（2）求的单调区间.‎ ‎【答案】（Ⅰ），；（2）的单调递增区间为.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）根据题意求出，根据求a,b的值即可；‎ ‎（Ⅱ）由题意判断的符号，即判断的单调性，知g(x)>0，即>0，由此求得f(x)的单调区间.‎ 试题解析：（Ⅰ）因为，所以.‎ 依题设，即 解得.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知.‎ 由及知，与同号.‎ 令，则.‎ 所以，当时，，在区间上单调递减；‎ 当时，，在区间上单调递增.‎ 故是在区间上的最小值，‎ 从而.‎ 综上可知，，.故的单调递增区间为.‎ ‎【考点】导数的应用；运算求解能力 ‎【名师点睛】用导数判断函数的单调性时，首先应确定函数的定义域，然后在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．在对函数划分单调区间时，除必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义区间内的间断点．‎ ‎21.已知椭圆的一个焦点为，左右顶点分别为.经过点的直线与椭圆交于两点.‎ ‎（1）求椭圆方程及离心率.‎ ‎（2）当直线的倾斜角为时，求线段的长；‎ ‎（3）记的面积分别为和，求最大值.‎ ‎【答案】(1) ; (2);(3).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由焦点坐标可求出c的值，根据a,b,c的平方关系可求得a的值；（2）写出直线方程，与椭圆方程联立得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得；（3）当直线l的斜率不存在时可求得；当直线l斜率存在时，设出直线方程并与椭圆方程联立得到关于x的一元二次方程，根据韦达定理用k表示出，，转化为关于的式子，再转化为关于k的表达式，利用基本不等式即可求得最大值.‎ ‎【详解】（1）因为为椭圆的焦点，所以，又，‎ 所以，椭圆方程为，离心率为；‎ ‎（2）直线l的斜率为且过点，则直线l的方程为，‎ 与椭圆方程联立，得到，‎ 所以，‎ ‎；‎ ‎（3）当直线l的斜率不存在时，直线方程为，‎ 此时，，的面积相等，；‎ 当直线l的斜率存在(显然)时，设直线方程为，‎ 设，‎ 直线方程与椭圆方程联立得，消y得，‎ 显然，方程有根，且，，‎ 此时，‎ ‎，当且仅当 时等号成立.‎ 综上所述，的最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的标准方程及几何性质，圆锥曲线相关的面积问题与弦长问题，属于较难题.‎ ‎22.在数列中，，.数列满足，且.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求数列的通项公式；‎ ‎（3）设数列的前项和为，若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1); (2) ；(3) 当n为奇数时；当n为偶数时.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由递推公式求出，再根据即可求出的值；（2）由，，结合同角三角函数关系，可化简得，进而确定数列的首项与公比，代入等比数列通项公式即可得解；（3）由（2）中数列的通项公式，求出数列的前n项和，分n为奇数与n为偶数两种情况进行讨论求的取值范围.‎ ‎【详解】（1），，又且，‎ 所以；‎ ‎（2）因为，且，‎ 所以，‎ 所以，则，‎ 因此数列是首项为，公比为的等比数列，；‎ ‎（3）由是首项为，公比为的等比数列知，‎ 因为，得，‎ ‎①当n为奇数时，，因为上式对正奇数恒成立，所以；‎ ‎②当n为偶数时，，因为上式对正偶数恒成立，所以.‎ 综上所述，当n为奇数时；当n为偶数时.‎ ‎【点睛】本题考查数列与不等式的综合，等差数列的通项公式、数列的递推公式，二倍角的正弦、余弦公式，属于中档题.‎