数学人教B版必修4教案：1-2-4 诱导公式（一） Word版

数学人教B版必修4教案：1-2-4 诱导公式（一） Word版

1.2.4 诱导公式（一） 一、学习目标 1．通过本节内容的教学，使学生掌握 + k2 ，- 角的正弦、余弦和正切的诱导公 式及其探求思路，并能正确地运用这些公式进行任意角的正弦、余弦和正切值的求解、简单 三角函数式的化简与三角恒等式的证明； 2．通过公式的应用，培养学生的化归思想，以及信息加工能力、运算推理能力、分析 问题和解决问题的能力； 二、教学重点、难点 重点：四组诱导公式及这四组诱导公式的综合运用. 难点：公式(四)的推导和对称变换思想在学生学习过程中的渗透. 三、教学方法 先由学生自学，然后由教师设置一些问题供学生思考，在此基础上，可以通 过讲授再现概念，通过练习理解概念，完成教学. 四、教学过程 教学 环节 教学内容 师生互动 设计意图 复习 引入 1、 初中我们已经会求锐角的三 角函数值。 2、 和 30°、45°、60°终边相 同的角如何表示？ 本节我们将研究任意角三角函 数值之间的某中关系，以及如何 求任意角的三角函数值。 教师提问：0°、30°、45°、 60°、90°的正弦、余弦、正 切的三角函数值是多少？ 学生回答 我们如何求 360°、390°、 －315°的三角函数值呢？ 温故知新 公式 导入 1.公式(一)  sin)sin(  2k  cos)cos(  2k  tan)tan(  2k （其中 Zk ） 诱导公式（一）的作用：把 把绝对值大于 360º的任意角的正 弦、余弦、正切的三角函数问题 转化为绝对值小于 360º角的正 弦、余弦、正切三角函数问题， 其方法是先在绝对值小于 360º角 找出与角 终边相同的角，再把 它写成诱导公式（一）的形式， 然后得出结果 2．公式（二）:  -sinsin(  ）  coscos(  ）  tantan(  ） 它说明角- 与角 的正弦值互 1．根据任意角的 三角函数定义可 知两个角若终边 相同，那么它们的 三角函数值也应 该相同。由此导出 公式（一） 2．学生在单位圆 中画出α角与－ α角，观察出角的 终边关于 x 轴对 为相反数，而它们的余弦值相 等．这是因为，若没 的终边与 单位圆交于点 P(x，y)，则角- 的终边与单位圆的交点必为 P´ (x，-y)（如图 4-5-2）．由正弦函 数、余弦函数的定义，即可得 sin =y， cos =x, sin(- )=-y, cos(- )=x, 所 以 ： sin(-  )= -sin  , cos(- )= cosα 公式二的获得主要借助于单位圆 及正弦函数、余弦函数的定义．根 据点 P 的坐标准确地确定点 P´的 坐标是关键，这里充分利用了对 称性质．事实上，在图 1，点 P´ 与点 P 关于 x 轴对称．直观的对 称形象为我们准确写出 P´的坐标 铺平了道路，体现了数形结合这 一数学思想的优越性． 公式(三)    cos2(cos  1)k    sin2(sin  1)k    tan2(tan  1)k 由公式（一）可以看出，角 和 加上 偶数倍的所有三角函数值 相等。角 和 加上 奇数倍的 正，余弦值互为相反数； 角 和  加上 奇数倍的正切函数值相 等。    为偶数， 为奇数，   sin sin)sin( n    为偶数， 为奇数，   cos cos)cos( n  tan)tan(  n 让学生在单位圆中画出α角 与－α角，观察两个角的位置 关系。 引导学生在单位圆中画出α 角与π＋α角，观察其位置关 系，在结合公式（一）得到公 式（三） 称，结合三角函数 定义可得到公式 （二） 3．利用角的终边 在单位圆中的不 同位置关系而得 到相应的诱导公 式。 应用 举例 例 1．下列三角函数值： （1）cos210º； (2)sin 4 5 分析：本题是诱导公式三 的巩固性练习题．求解时，只 须设法将所给角分解成 180º + 或（π+ ）， 为锐角即 解：（1）cos210º=cos(180º+30º)= －cos30º=－ 2 3 ； （2）sin 4 5 =sin( 4   )= －sin 4  =－ 2 2 例 2．求下列各式的值： （1） sin(－ 3 4 )；(2)cos(－60º)－ sin(－210º) 解：（1）sin(－ 3 4 ) =－sin( 3   )=sin 3  = 2 3 ； （2）原式=cos60º+sin(180º+30 º) =cos60º－sin30º= 2 1 － 2 1 =0 例 3．化简 )180sin()180cos( )1080cos()1440sin(     解：原式 = )]180sin([)180cos( cossin     =   sin)cos( cossin   =－1 例 4．已知 cos(π+ )=－ 2 1 ， 2 3 < <2π，则 sin(2π－ )的 值是（ ）． （A） 2 3 (B) 可． 分析：本题是诱导公式 二、三的巩固性练习题．求解 时一般先用诱导公式二把负 角的正弦、余弦化为正角的正 弦、余弦，然后再用诱导公式 三把它们化为锐角的正弦、余 弦来求． 分析：这是诱导公式一、 二、三的综合应用．适当地改 变角的结构，使之符合诱导公 式中角的形式，是解决问题的 关键． 分析：通过本题的求解， 可进一步熟练诱导公式一、 二、三的运用．求解时先用诱 导公式三把已知条件式化简， 2 1 (C)－ 2 3 (D)± 2 3 选 A 然后利用诱导公式一和二把 sin(2π－ )化成－sin , 再用同角三角函数的平方关 系即可． 课堂 练习 1．求下式的值：2sin(－1110 º ) － sin960 º + )210cos()225cos(2  答案：－2 提 示 ： 原 式 =2sin( － 30 º )+sin60 º －  30cos45cos2 =－2 2．化简 sin(－2)+cos(－2 －π)·tan(2－4π)所得的结果 是（ ） （A）2sin2 (B)0 (C)－2sin2 (D) －1 答案：C 选题目的：通过本题练习， 使学生熟练诱导公式一、二、 三的运用． 使用方法：供课堂练习 用． 评估：求解本题时，在灵 活地进行角的配凑，使之符合 诱导公式中角的结构特点方 面有着较高的要求．若只计算 一次便获得准确结果，表明在 利用诱导公式一、二、三求解 三角函数式的值方面已达到 了较熟练的程度． 加强格式的规范 化，减少计算错 误。 课堂 小结 通过本节课的教学，我们获得了 诱导公式．值得注意的是公式右 端符号的确定．在运用诱导公式 进行三角函数的求值或化简中， 我们又一次使用了转化的数学思 想．通过进行角的适当配凑，使 之符合诱导公式中角的结构特 征，培养了我们思维的灵活性． 本节课我们学习了哪些诱导 公式？它们角的终边具有什 么几何特征？如何记住公 式？ 师生共同回顾本 节课所学习的诱 导公式，加强记 忆，熟能生巧。 布置 作业 练习 A、练习 B 通过完成作业巩固诱导 公式的（一）、（二）、（三）， 达到熟练运用。 记准公式，计算准 确