甘肃省兰州市城关区第一中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

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甘肃省兰州市城关区第一中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

兰州一中2019-2020-1学期期中考试试题高二数学 第Ⅰ卷(选择题)‎ 一、选择题(本大题共12 小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确答案涂在答题卡上.)‎ ‎1.若是任意实数,则 ( )‎ A. 若,则 B. 若,则 C. 若 且,则 D. 若且,则 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ A. 如果,显然不成立;B. ,命题错误;C.利用作差法比较即得大小;D.举反例判断得解.‎ ‎【详解】A.如果,显然不成立,所以该命题是假命题;‎ B.如果,则,所以该命题假命题;‎ C.因为,所以,因为,所以,所以,所以该命题是真命题;‎ D.如果,则,所以该命题是假命题.‎ 故选:C ‎【点睛】本题主要考查不等式的基本性质的应用,考查实数大小的比较,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎2.在等差数列中,如果,则数列前9项的和为( )‎ A. 297 B. ‎144 ‎C. 99 D. 66‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析:,,∴a4=13,a6=9,S9==99‎ 考点:等差数列性质及前n项和 点评:本题考查了等差数列性质及前n项和,掌握相关公式及性质是解题的关键.‎ ‎3.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若acosA=bcosB,则△ABC的形状为( )‎ A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理由acosA=bcosB,可得sinAcosA=sinBcosB,再利用二倍角的正弦即可判断△ABC的形状.‎ ‎【详解】在△ABC中,∵acosA=bcosB,‎ ‎∴由正弦定理得:sinAcosA=sinBcosB,‎ 即sin‎2A=sin2B,‎ ‎∴‎2A=2B或‎2A+2B =π,‎ ‎∴A=B或A+B=,‎ ‎∴△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形.‎ 故选:C.‎ 考点:三角形形状判断.‎ ‎4.已知实数x,y满足约束条件,则的最大值为( )‎ A. 24 B. ‎20 ‎C. 16 D. 12‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 画出可行域如图所示,为目标函数,可看成是直线的纵截距四倍,画直线,平移直线过点时有最大值20,故选B.‎ 考点:简单线性规划 ‎5.已知等差数列,则( )‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设等差数列的公差为,根据已知求出,再求得解.‎ ‎【详解】设等差数列的公差为,‎ 由题得.‎ 所以.‎ 故选:C ‎【点睛】本题主要考查等差数列通项的基本量的计算,考查等差数列的通项的应用,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎6.在各项均为正数的等比数列中,若,则的值为( )‎ A. 12 B. ‎10 ‎C. 8 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 因为 所以,‎ 故选:B 点睛:本题重点考查了等比数列的重要性质,当时,,注意等式两边的项数,都是两项.‎ ‎7.设,则等于 ( )‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析:‎ 数列是首项为2,公比为的等比数列,‎ 所以.‎ 考点:等比数列通项公式.‎ ‎8.在中,“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 在三角形中,若,则,由正弦定理,得,若,则正弦定理,得,则,是 的充要条件,故选C.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查正弦定理及三角形性质、充分条件与必要条件,属于中档题.判断充要条件应注意:首先弄清条件和结论分别是什么,然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题,除借助集合思想化抽象为直观外,还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性,转化为判断它的等价命题;对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.‎ ‎9.若不等式的解集为,那么不等式的解集为 (  )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题中所给的二次不等式的解集,结合三个二次的关系得到,由根与系数的关系求出的关系,再代入不等式,求解即可.‎ ‎【详解】因为不等式的解集为,所以和是方程的两根,且,所以,即,代入不等式整理得,因为,所以,‎ 所以,‎ 故选D ‎【点睛】本题主要考查含参数的一元二次不等式的解法,已知一元二次不等式的解求参数,通常用到韦达定理来处理,难度不大.‎ ‎10.在中,角所对边长分别为,若,则的最小值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎,由余弦定理得,当且仅当时取“”,的最小值为,选C.‎ ‎11.正数满足,若不等式对任意实数恒成立,则实数的取值范围为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出(当且仅当时取等号),问题转化为对任意实数恒成立,即可求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】由题意,‎ 正数,满足,‎ ‎(当且仅当时取等号).‎ 对任意实数恒成立,‎ 即对任意实数恒成立,‎ 的最大值为6,‎ ‎,‎ 故选:.‎ ‎【点睛】本题考查求实数的取值范围,考查基本不等式的运用,考查函数的最值,属于中档题.‎ ‎12.若钝角三角形三内角的度数成等差数列,且最大边长与最小边长之比值为,则的范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设三个角分别为,,,由正弦定理可得,利用两角和差 的正弦公式化为,利用单调性求出它的值域.‎ ‎【详解】钝角三角形三内角、、的度数成等差数列,则,,‎ 可设三个角分别为,,.‎ 故.‎ 又,.‎ 令,且,‎ 则 因为函数在,上是增函数,‎ ‎,‎ 故选:.‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理、两角和差的正弦公式,利用单调性求函数的值域,得到 ‎,是解题的关键和难点.‎ 第Ⅱ卷(非选择题)‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案写在答题卡上.)‎ ‎13.在△ABC中,若b = 1,c =,,则a = ‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】由正弦定理可得,即 ,故,, . 再由 可得,解得 . 故答案为 1.‎ ‎【此处有视频,请去附件查看】‎ ‎14.若正实数满足,则的最小值是 ______.‎ ‎【答案】18‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】因为是正实数,由基本不等式得,,‎ 设,则,即,‎ 所以,所以,‎ 所以的最小值是18.‎ ‎【此处有视频,请去附件查看】‎ ‎15.【变式探究】 ax2+2x+1=0只有负实根的充要条件是________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 关于x的方程ax2+2x+1=0只有负实根,考虑一元一次方程和一元二次方程两种情况,分别讨论可得答案.‎ ‎【详解】(1)当a=0时,方程是一个一次方程,恰有一个负实根,满足条件;‎ ‎(2)当a≠0,当关于x的方程ax2+2x+1=0有实根,△≥0,解可得a≤1且a≠0;‎ ‎①若a<0,则关于x的方程ax2+2x+1=0有两个异号实根,不满足条件;‎ ‎②若0<a≤1,则关于x的方程ax2+2x+1=0有二个负实根,满足条件;‎ 综上可得,0≤a≤1;‎ 故答案为:0≤a≤1‎ ‎【点睛】本题考查学生对一元二次方程的根的分布与系数的关系,考查分类讨论的数学思想,属于中档题.‎ ‎16.在圆x2+y2=5x内,过点有n条弦的长度成等差数列,最短弦长为数列的首项a1,最长弦长为an,若公差,那么n的取值集合为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由已知2+y2=,‎ 圆心为,半径为,得 a1=2×=2×2=4,‎ an=2×=5,‎ 由an=a1+(n-1)d⇔n=+1,‎ 又
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