【数学】2019届一轮复习人教A版（文）简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词学案

【数学】2019届一轮复习人教A版（文）简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词学案

1．3　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 [知识梳理] 1．简单的逻辑联结词 (1)命题中的或、且、非叫做逻辑联结词． (2)概念 用联结词“且”把命题 p 和命题 q 联结起来，得到复合命题“p 且 q”，记作 p∧q； 用联结词“或”把命题 p 和命题 q 联结起来，得到复合命题“p 或 q”，记作 p∨q； 对命题 p 的结论进行否定，得到复合命题“非 p”，记作綈 p. (3)命题 p∧q，p∨q，綈 p 的真假判断 p q p ∧q p ∨q 綈 p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 (4)命题的否定与否命题的区别 ①定义：命题的否定是直接对命题的结论进行否定，而否命题则 是对原命题的条件和结论分别否定，即命题“若 p，则 q”的否定为“若 p，则綈 q”，而否命题为“若綈 p，则綈 q”． ②与原命题的真假关系：命题的否定的真假与原命题的真假总是 相对的，即一真一假，而否命题的真假与原命题的真假无必然的联 系． 2．全称量词和存在量词 3．全称命题和特称命题 4．复合命题的否定 (1)“綈 p”的否定是“p”；(2)“p∨q”的否定是“(綈 p)∧(綈 q)”；(3)“p∧q”的否定是“(綈 p)∨(綈 q)”． [诊断自测] 1．概念思辨 (1)若 p∧q 为真，则 p∨q 必为真；反之，若 p∨q 为真，则 p∧q 必为真．(　　) (2)全称命题一定含有全称量词，特称命题一定含有存在量 词．(　　) (3)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词．(　　) (4)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，綈 p(x)的真假性相反．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 　 2．教材衍化 (1)(选修 A1－1P26T2)命题“∀x>0，都有 x2－x＋3≤0”的否定是 (　　) A．∃x>0，使得 x2－x＋3≤0 B．∃x>0，使得 x2－x＋3>0 C．∀x>0，都有 x2－x＋3>0 D．∀x≤0，都有 x2－x＋3>0 答案　B 解析　命题“∀x>0，都有 x2－x＋3≤0”的否定是：∃x>0，使 得 x2－x＋3>0.故选 B. (2)(选修 A1－1P28T1)已知命题 p：∃x∈R，x－2>lg x，命题 q：∀ x∈R，x2>0，则(　　) A．命题 p∨q 是假命题 B．命题 p∧q 是真命题 C．命题 p∧(綈 q)是真命题 D．命题 p∨(綈 q)是假命题 答案　C 解析　由于 x＝10 时，x－2＝8，lg x＝lg 10＝1，故命题 p 为真 命题，令 x＝0，则 x2＝0，故命题 q 为假命题， 依据复合命题真假性的判断法则，得到命题 p∨q 是真命题，命 题 p∧q 是假命题，綈 q 是真命题， 进而得到命题 p∧(綈 q)是真命题，命题 p∨(綈 q)是真命题．故 选 C. 3．小题热身 (1)(2015·浙江高考)命题“∀n∈N *，f(n)∈N*且 f(n)≤n”的否定 形式是(　　) A．∀n∈N*，f(n)∉N*且 f(n)>n B．∀n∈N*，f(n)∉N*或 f(n)>n C．∃n0∈N*，f(n0)∉N*且 f(n0)>n0 D．∃n0∈N*，f(n0)∉N*或 f(n0)>n0 答案　D 解析　“f(n)∈N*且 f(n)≤n”的否定为“f(n)∉N*或 f(n)>n”，全称 命题的否定为特称命题．故选 D. (2)(2015·山东高考)若“∀x∈ [0，π 4]，tanx≤m”是真命题，则实 数 m 的最小值为________． 答案　1 解析　若 0≤x≤π 4 ，则 0≤tanx≤1，∵“∀x∈ [0，π 4]，tanx≤m” 是真命题，∴m≥1.∴实数 m 的最小值为 1. 题型 1　含有逻辑联结词的命题的真假 典例1　　(2018·江西七校联考)已知函数 f(x)＝Error!给出下列两 个命题：命题 p：∃m∈(－∞，0)，方程 f(x)＝0 有解，命题 q：若 m ＝1 9 ，则 f[f(－1)]＝0，那么，下列命题为真命题的是(　　) A．p∧q B．(綈 p)∧q C．p∧(綈 q) D．(綈 p)∧(綈 q) 利用复合命题的真假判断方法逐项验证． 答案　B 解析　因为 3x>0，当 m<0 时，m－x2<0， 所以命题 p 为假命题； 当 m＝1 9 时，因为 f(－1)＝3－1＝1 3 ， 所以 f[f(－1)]＝f( 1 3 )＝1 9 － ( 1 3 )2＝0， 所以命题 q 为真命题， 逐项检验可知，只有(綈 p)∧q 为真命题．故选 B. 典例2　　(2017·武汉模拟)若存在正常数 a，b，使得∀x∈R 有 f(x ＋a)≤f(x)＋b 恒成立，则称 f(x)为“限增函数”．给出下列三个函数：① f(x)＝x2＋x＋1；②f(x)＝ |x|；③f(x)＝sinx2，其中是“限增函数”的 是(　　) A．①②③ B．②③ C．①③ D．③ 注意放缩法的应用． 答案　B 解析　对于①，f(x＋a)≤f(x)＋b 可化为 (x＋a)2＋(x＋a)＋1≤x2＋x＋1＋b， 即 2ax≤－a2－a＋b，即 x≤－a2－a＋b 2a 对一切 x∈R 均成立，因 函数的定义域为 R，故不存在满足条件的正常数 a，b，故 f(x)＝x2＋x ＋1 不是“限增函数”； 对于②，若 f(x)＝ |x|是“限增函数”，则 f(x＋a)≤f(x)＋b 可化为： |x＋a|≤ |x|＋b， ∴|x＋a|≤|x|＋b2＋2b |x|恒成立，又 |x＋a|≤|x|＋a，∴|x|＋a≤|x|＋b2＋2b |x|， ∴ |x|≥a－b2 2b ，显然当 a0”是“x>4”的必要不充分条 件，则下列命题正确的是(　　) A．p∧q B．p∧(綈 q) C．(綈 p)∧q D．(綈 p)∧(綈 q) 答案　C 解 析 　 因 为 01.20 ＝ 1 ， c ＝ log1.20.30 可得 x<－2 或 x>3，故“x 2－x－6>0”是“x>4”的必要 不充分条件，q 为真命题，故(綈 p)∧q 为真命题．故选 C. 2．(2018·山西八校联考)已知命题 p：存在 n∈R，使得 f(x)＝nxn2 ＋2n 是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增；命题 q：“∃x∈R，x2＋ 2>3x”的否定是“∀x∈R，x2＋2<3x”．则下列命题为真命题的是(　　) A．p∧q B．(綈 p)∧q C．p∧(綈 q) D．(綈 p)∧(綈 q) 答案　C 解析　当 n＝1 时，f(x)＝x3 为幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增， 故 p 是真命题，则綈 p 是假命题；“∃x∈R，x 2＋2>3x”的否定是 “∀x∈R，x2＋2≤3x”，故 q 是假命题，綈 q 是真命题．所以 p∧q， (綈 p)∧q，(綈 p)∧(綈 q)均为假命题，p∧(綈 q)为真命题．故选 C. 题型 2　全称命题与特称命题 角度 1　全称命题、特称命题的真假判断 典例　　(2017·贵阳模拟)下列命题是假命题的是(　　) A．∃α，β∈R，使 sin(α＋β)＝sinα＋sinβ B．∀φ∈R，函数 f(x)＝sin(2x＋φ)都不是偶函数 C．∃x0∈R，使 x30＋ax20＋bx0＋c＝0(a，b，c∈R 且为常数) D．∀a>0，函数 f(x)＝ln2x＋ln x－a 有零点 本题用赋值法、分离常数法． 答案　B 解析　取 α＝0 时，sin(α＋β)＝sinα＋sinβ，A 正确；取 φ＝π 2 时， 函数 f(x)＝sin(2x＋π 2)＝cos2x 是偶函数，B 错误；对于三次函数 f(x)＝ x3＋ax2＋bx＋c，当 x→－∞时，y→－∞，当 x→＋∞时，y→＋∞， 又 f(x)在 R 上为连续函数，故∃x0∈R，使 x30＋ax20＋bx0＋c＝0，C 正 确；当 f(x)＝0 时，ln2x＋ln x－a＝0，则有 a＝ln2x＋ln x＝ (ln x＋1 2)2－1 4 ≥－1 4 ，所以∀a>0，函数 f(x)＝ln2x＋ln x－a 有零点，D 正确．故选 B. 角度 2　全称命题、特称命题的否定 典例　　(2018·厦门模拟)已知命题 p：∀x∈ (0，π 2)，sinx0，命题 q：∃x0∈(0，＋∞)，使得 g(x0)＝0，则下列说法 正确的是(　　) A．p 是真命题，綈 p：∃x0∈R，f(x0)<0 B．p 是假命题，綈 p：∃x0∈R，f(x0)≤0 C．q 是真命题，綈 q：∀x∈(0，＋∞)，g(x)≠0 D．q 是假命题，綈 q：∀x∈(0，＋∞)，g(x)≠0 答案　C 解析　f′(x)＝ex－1，由 f′(x)>0 得 x>0，由 f′(x)<0 得 x<0，即 当 x＝0 时，函数 f(x)取得极小值，同时也是最小值 f(0)＝e0－0＝1－0 ＝1>0，所以∀x∈R，f(x)>0 成立，即 p 是真命题． g(x)＝ln x＋x＋1 在(0，＋∞)上为增函数，当 x→0 时，g(x)<0，g(1) ＝0＋1＋1＝2>0，则∃x0∈(0，＋∞)，使得 g(x0)＝0 成立，即命题 q 是真命题． 则綈 p：∃x0∈R，f(x0)≤0， 綈 q：∀x∈(0，＋∞)，g(x)≠0， 综上只有 C 成立．故选 C. 2．(2017·安徽皖江名校联考)命题 p：存在 x∈ [0，π 2]，使 sinx＋ cosx> 2；命题 q：“∃x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是“∀x∈ (0，＋∞)，ln x≠x－1”，则四个命题：(綈 p)∨(綈 q)，p∧q，(綈 p)∧ q，p∨(綈 q)中，正确命题的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　B 解析　因为 sinx＋cosx＝ 2sin(x＋π 4)≤ 2，所以命题 p 是假命题； 又特称命题的否定是全称命题，因此命题 q 为真命题．则(綈 p)∨(綈 q)为真命题，p∧q 为假命题，(綈 p)∧q 为真命题，p∨(綈 q)为假命 题． ∴四个命题中正确的有 2 个命题．故选 B. 题型 3　由命题的真假求参数的取值范围 典例1　　已知命题 P：函数 y＝loga(1－2x)在定义域上单调递增； 命题 Q：不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0 对任意实数 x 恒成立．若 P ∨Q 是假命题，则实数 a 的取值范围是________． 注意分情况讨论． 答案　a≤－2 或 a>2 解析　命题 P：函数 y＝loga (1－2x)在定义域上单调递增；所以 02，所以 P∨Q 为假时 a≤－2 或 a>2. [结论探究 1]　在本例条件下，若 P∨Q 是真命题，则实数 a 的 取值范围为________． 答案　－22，所以 P∨Q 为真时， 有－20，总有 f(x)＝a－x－|lg x|≤0，则 a 的取值范围是(　　) A．(－∞，lg e－lg (lg e)] B．(－∞，1] C．[1，lg e－lg (lg e)] D．[lg e－lg (lg e)，＋∞) 用数形结合法． 答案　A 解析　对任意的 x>0，总有 f(x)＝a－x－|lg x|≤0，即 a－x≤|lg x| 恒成立，设 y＝－x＋a，g(x)＝|lg x|，如图，当直线 y＝－x＋a 与 g(x) 相切时，a 取得最大值，设切点为 A(x，y)， 则－1＝(－lg x)′，得到 x＝lg e，所以 y＝－lg (lg e)， 所以切线方程为：y＋lg (lg e)＝－(x－lg e)，令 x＝0 得到 y＝lg e －lg (lg e)， 所以 a 的取值范围为(－∞，lg e－lg (lg e)]．故选 A. 方法技巧 利用命题真假求参数取值范围的求解策略 1．根据含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤： (1)根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种 情况)； (2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围； (3)根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．见典例 1. 2．全称命题可转化为恒成立问题．同时注意数形结合思想的应 用．见典例 2. 冲关针对训练 (2018·寿县校级月考)已知命题 P：∀x∈(2,3)，x 2＋5>ax 是假命 题，则实数 a 的取值范围是(　　) A．[2 5，＋∞) B． [ 9 2 ，＋∞) C.[ 14 3 ，＋∞) D．(－∞，2 5] 答案　A 解析　若∀x∈(2,3)，x2＋5>ax 恒成立， 则 a<(x＋5 x)min，x∈(2,3)． ∵f(x)＝x＋5 x 在(2， 5)上是减函数，在( 5，3)上为增函数， ∴函数 f(x)的最小值是 f( 5)＝2 5，则 a<2 5， ∵命题 P：∀x∈(2,3)，x2＋5>ax 是假命题， ∴a≥2 5，实数 a 的取值范围是[2 5，＋∞)．故选 A. 　 1．(2017·山东高考)已知命题 p：∀x＞0，ln (x＋1)＞0；命题 q： 若 a＞b，则 a2＞b2.下列命题为真命题的是(　　) A．p∧q B．p∧(綈 q) C．(綈 p)∧q D．(綈 p)∧(綈 q) 答案　B 解析　∵x＞0，∴x＋1＞1，∴ln (x＋1)＞ln 1＝0. ∴命题 p 为真命题，∴綈 p 为假命题． ∵a＞b，取 a＝1，b＝－2，而 12＝1，(－2)2＝4，此时 a2＜b2， ∴命题 q 为假命题，∴綈 q 为真命题． ∴p∧q 为假命题，p∧(綈 q)为真命题，(綈 p)∧q 为假命题，(綈 p)∧(綈 q)为假命题．故选 B. 2．(2018·郑州质检)设命题 p：∀x>0，log2x<2x＋3，则綈 p 为(　　) A．∀x>0，log2x≥2x＋3 B．∃x>0，log2x≥2x＋3 C．∃x>0，log2x<2x＋3 D．∀x<0，log2x≥2x＋3 答案　B 解析　由全称命题的否定为特称命题，知綈 p 为∃x>0，log2x≥2x ＋3.故选 B. 3．(2017·石家庄质检)下列选项中，说法正确的是(　　) A．若 a>b>0，则 ln a(n＋2)·2n－1”的否定是“∀n∈N*,3n≥(n＋ 2)·2n－1” D．已知函数 f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的，则命题“若 f(a)·f(b)<0，则 f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点”的逆命题为假命 题 答案　D 解析　A 中，因为函数 y＝ln x(x>0)是增函数，所以若 a>b>0， 则 ln a>ln b，错误；B 中，若 a⊥b，则 m＋m(2m－1)＝0，解得 m＝ 0，错误；C 中，命题“∀n∈N *,3n>(n＋2)·2 n－1”的否定是“∃n∈ N*,3n≤(n＋2)·2n－1”，错误；D 中，原命题的逆命题是“若 f(x)在区间 (a，b)内至少有一个零点，则 f(a)·f(b)<0”，该逆命题是假命题，如函 数 f(x)＝x2－2x－3 在区间[－2,4]上的图象是连续不断的，且在区间 (－2,4)内有两个零点，但 f(－2)·f(4)>0，正确．故选 D. 4．(2017·皖南名校联考)设命题 p：函数 f(x)＝x 3－ax－1 在区间 [－1,1]上单调递减；命题 q：函数 y＝ln (x2＋ax＋1)的值域是 R，如 果命题 p 或 q 是真命题，p 且 q 为假命题，则实数 a 的取值范围是 (　　) A．(－∞，3] B．(－∞，－2]∪[2,3) C．(2,3] D．[3，＋∞) 答案　B 解析　若 p 为真命题，则 f′(x)＝3x2－a≤0 在区间[－1，1]上恒 成立，即 a≥3x2 在区间[－1,1]上恒成立，所以 a≥3；若 q 为真命题， 则方程 x2＋ax＋1＝0 的判别式 Δ＝a2－4≥0，即 a≥2 或 a≤－2.由题 意知，p 与 q 一真一假．当 p 真 q 假时，Error!则 a∈∅；当 p 假 q 真 时，Error!则 a≤－2 或 2≤a<3. 综上所述，a∈(－∞，－2]∪[2,3)．故选 B. [基础送分提速狂刷练] 一、选择题 1．(2018·武邑模拟)已知命题 p：∀x>0，总有(x＋1)ex>1，则綈 p 为(　　) A．∃x0≤0，使得(x0＋1)ex0≤1 B．∃x0>0，使得(x0＋1)ex0≤1 C．∀x>0，总有(x＋1)ex≤1 D．∀x≤0，总有(x＋1)ex≤1 答案　B 解析　“∀x>0，总有(x＋1)ex>1”的否定是“∃x0>0，使得(x0＋ 1)ex0≤1”．故选 B. 2．下列四个命题： p1：∃x0∈(0，＋∞)， ( 1 2 )x0<( 1 3 )x0； p2：∃x0∈(0,1)，log 1 2 x0>log 1 3 x0； p3：∀x∈(0，＋∞)， ( 1 2 )x>log 1 2 x； p4：∀x∈ (0，1 3)， ( 1 2 )x( 1 3 )x0 成立， 故 p1 是假命题；对于 p2，当 x0＝1 2 时，有 1＝log 1 2 1 2 ＝log 1 3 1 3 >log 1 3 1 2 成立， 故 p2 是真命题；对于 p3，结合指数函数 y＝ ( 1 2 )x 与对数函数 y＝log 1 2 x 在(0，＋∞)上的图象，可以判断 p3 是假命题；对于 p4，结合指数 函数 y＝ ( 1 2 )x 与对数函数 y＝log 1 3 x 在 (0，1 3)上的图象可以判断 p4 是 真命题．故选 D. 3．已知 a>0，函数 f(x)＝ax2＋bx＋c.若 x0 满足关于 x 的方程 2ax ＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是(　　) A．∃x∈R，f(x)≤f(x0) B．∃x∈R，f(x)≥f(x0) C．∀x∈R，f(x)≤f(x0) D．∀x∈R，f(x)≥f(x0) 答案　C 解析　由题知：x0＝－ b 2a 为函数 f(x)图象的对称轴方程，所以 f(x0) 为函数的最小值，即对所有的实数 x，都有 f(x)≥f(x0)，因此∀x∈R， f(x)≤f(x0)是错误的．故选 C. 4．(2018·广东五校一诊)下列命题错误的是(　　) A．若 p∨q 为假命题，则 p∧q 为假命题 B．若 a，b∈[0,1]，则不等式 a2＋b2<1 4 成立的概率是 π 16 C．命题“∃x∈R，使得 x2＋x＋1<0”的否定是“∀x∈R，x2＋ x＋1≥0” D．已知函数 f(x)可导，则“f′(x0)＝0”是“x0 是函数 f(x)的极值 点”的充要条件 答案　D 解析　选项 A，若 p∨q 为假命题，则 p 为假命题，q 为假命题， 故 p∧q 为假命题，正确；选项 B，使不等式 a2＋b2<1 4 成立的 a，b∈ (0，1 2)，故不等式 a2＋b2<1 4 成立的概率是 1 4 × π × ( 1 2 )2 1 × 1 ＝ π 16 ，正确； 选项 C，特称命题的否定是全称命题，正确；选项 D，令 f(x)＝x3， 则 f′(0)＝0，但 0 不是函数 f(x)＝x3 的极值点，错误．故选 D. 5．(2017·河西区三模)已知命题 p：∀x∈[1,2]，使得 ex－a≥0.若 綈 p 是假命题，则实数 a 的取值范围为(　　) A．(－∞，e2] B．(－∞，e] C．[e，＋∞) D．[e2，＋∞) 答案　B 解析　命题 p：∀x∈[1,2]，使得 ex－a≥0. ∴a≤(ex)min＝e，若綈 p 是假命题，∴p 是真命题， ∴a≤e.则实数 a 的取值范围为(－∞，e]．故选 B. 6．已知命题 p：∃x∈R，mx2＋1≤0，命题 q：∀x∈R，x2＋mx ＋1>0，若 p∧q 为真命题，则实数 m 的取值范围是(　　) A．(－∞，－2) B．[－2,0) C．(－2,0) D．(0,2) 答案　C 解析　由题可知若 p∧q 为真命题，则命题 p 和命题 q 均为真命 题，对于命题 p 为真，则 m<0，对于命题 q 为真，则 m2－4<0，即－ 20，则 x>sinx 恒成立； ②命题“若 x－sinx＝0，则 x＝0”的逆否命题为“若 x≠0，则 x －sinx≠0”； ③“命题 p∧q 为真”是“命题 p∨q 为真”的充分不必要条件； ④命题“∀x∈R，x－ln x>0”的否定是“∃x 0 ∈R，x 0 －ln x0<0”． 其中正确结论的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　C 解析　对于①，令 y＝x－sinx，则 y′＝1－cosx≥0，则函数 y＝ x－sinx 在 R 上递增，则当 x>0 时，x－sinx>0－0＝0，即当 x>0 时， x>sinx 恒成立，故①正确； 对于②，命题“若 x－sinx＝0，则 x＝0”的逆否命题为“若 x≠0，则 x－sinx≠0”，故②正确； 对于③，命题 p∨q 为真即 p，q 中至少有一个为真，p∧q 为真 即 p，q 都为真，可知“p∧q 为真”是“p∨q 为真”的充分不必要条 件，故③正确； 对于④，命题“∀x∈R，x－ln x>0”的否定是“∃x0∈R，x0－ln x0≤0”，故④错误． 综上，正确结论的个数为 3.故选 C. 8．(2017·广东七校联考)已知命题 p：∃a∈ (－∞，－1 4)，函数 f(x) ＝ |x＋ a x＋1|在 [ 1 2 ，3]上单调递增；命题 q：函数 g(x)＝x＋log2x 在区间 ( 1 2 ，＋∞)上无零点．则下列命题中是真命题的是(　　) A．綈 p B．p∧q C．(綈 p)∨q D．p∧(綈 q) 答案　D 解析　设 h(x)＝x＋ a x＋1 .易知当 a＝－1 2 时，函数 h(x)为增函数， 且 h( 1 2 )＝1 6 >0，则此时函数 f(x)在 [ 1 2 ，3]上必单调递增，即 p 是真命 题；∵g( 1 2 )＝－1 2 <0，g(1)＝1>0，∴g(x)在 ( 1 2 ，＋∞)上有零点，即 q 是假命题，根据真值表可知 p∧(綈 q)是真命题．故选 D. 9．已知命题 p：∃x0∈(－∞，0)，使得 3x0<4x0；命题 q：∀x∈ (0，π 2)，有 tanx>x，则下列命题中的真命题是(　　) A．p∧q B．p∨(綈 q) C．p∧(綈 q) D．(綈 p)∧q 答案　D 解析　由 3x<4x 得 ( 4 3 )x>1，当 x<0 时不等式不成立，故 p 为假 命题；由图象知 tanx>x 在 (0，π 2)上恒成立，故 q 为真命题．故 D 项为 真．故选 D. 10．(2017·泰安模拟)已知命题 p：存在 x0∈R，mx20＋1<1，q：对 任意 x∈R，x2＋mx＋1≥0，若 p∨(綈 q)为假命题，则实数 m 的取值 范围是(　　) A．(－∞，0)∪(2，＋∞) B．(0,2] C．[0,2] D．R 答案　C 解析　对于命题 p，mx 2＋1<1，得 mx2<0，若 p 为真命题，则 m<0，若 p 为假命题，则 m≥0；对于命题 q，对任意 x∈R，x2＋mx＋ 1≥0，若命题 q 为真命题，则 m2－4≤0，即－2≤m≤2，若命题 q 为 假命题，则 m<－2 或 m>2.因为 p∨(綈 q)为假命题，则需要满足命题 p 为假命题且命题 q 为真命题，即Error!解得 0≤m≤2.故选 C. 二、填空题 11．若∀a∈(0，＋∞)，∃θ∈R，使 asinθ≥a 成立，则 cos(θ－π 6)的值为________． 答案　1 2 解析　因为∀a∈(0，＋∞)，∃θ∈R，使 asinθ≥a 成立，所以 sinθ≥1.又 sinθ∈[－1,1]，所以 sinθ＝1，故 θ＝π 2 ＋2 π( ∈ )．所以 cos (θ－π 6)＝cos [( π 2 ＋2kπ)－π 6]＝cos( π 3 ＋2kπ)＝cosπ 3 ＝1 2 . 12．已知命题 p：方程 x2－mx＋1＝0 有实数解，命题 q：x2－2x＋ m>0 对任意 x 恒成立．若命题 q∨(p∧q)真、綈 p 真，则实数 m 的取 值范围是________． 答案　(1,2) 解析　由于綈 p 真，所以 p 假，则 p∧q 假，又 q∨(p∧q)真， 故 q 真，即命题 p 假、q 真．当命题 p 假时，即方程 x2－mx＋1＝0 无实数解，此时 m2－4<0，解得－21.所以所求的 m 的取值范围是 10)，∀x1∈[－1,2]，∃x0∈[－ 1,2]，使 g(x1)＝f(x0)，则实数 a 的取值范围是________． 答案　 (0，1 2]解析　由于函数 g(x)在定义域[－1,2]内是任意取值的，且必存在 x0∈[－1,2]，使得 g(x1)＝f(x0)，因此问题等价于函数 g(x)的值域是函 数 f(x)值域的子集．函数 f(x)的值域是[－1,3]，函数 g(x)的值域是[2－ a，2＋2a]，则有 2－a≥－1 且 2＋2a≤3，即 a≤1 2 .又 a>0，故 a 的取 值范围是 (0，1 2]. 14．(2017·衡水调研)直线 x＝1 与抛物线 C：y 2＝4x 交于 M，N 两点，点 P 是抛物线 C 准线上的一点，记OP → ＝aOM → ＋bON → (a，b∈R)， 其中 O 为抛物线 C 的顶点． (1)当OP → 与ON → 平行时，b＝________； (2)给出下列命题： ①∀a，b∈R，△PMN 不是等边三角形； ②∃a<0 且 b<0，使得OP → 与ON → 垂直； ③无论点 P 在准线上如何运动，a＋b＝－1 恒成立． 其中，所有正确命题的序号是________． 答案　(1)－1　(2)①②③ 解析　(1)∵OM → ＝(1,2)，ON → ＝(1，－2)， ∴OP → ＝aOM → ＋bON → ＝(a＋b,2a－2b)． ∵OP → ∥ON → ，∴2a－2b＋2(a＋b)＝0， ∴a＝0.∵抛物线的准线为 x＝－1，点 P 在准线上， ∴P 点的横坐标为－1，∴a＋b＝－1，∴b＝－1. (2)对于①，假设是等边三角形，则 P(－1,0)，|PM|＝2 2，|MN|＝ 4，|MN|≠|PM|，这与假设矛盾，∴假设不成立，原结论正确；对于 ②，OP → 与ON → 垂直，OP → ·ON → ＝0，得到 a＝5 3 b，∴②正确；③显然成 立． 三、解答题 15．(2018·吉林大学附中模拟)设 a 为实常数，y＝f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x<0 时，f(x)＝9x＋a2 x ＋7.若“∃x∈[0，＋∞)，f(x)0 时，9x＋a2 x － 7≥a＋1，结合基本不等式有 6|a|－7≥a＋1，得 a≥8 5 或 a≤－8 7 ，①② 取交集得 a 的取值范围是 a≤－8 7 . 16．(2018·福建晨曦中学模拟)已知命题 p：函数 y＝x2－2x＋a 在 区间(1,2)上有 1 个零点，命题 q：函数 y＝x2＋(2a－3)x＋1 的图象与 x 轴交于不同的两点．如果 p∧q 是假命题，p∨q 是真命题，求 a 的取 值范围． 解　若命题 p 为真，则函数 y＝x2－2x＋a 在区间(1,2)上有 1 个零 点， 因为二次函数图象开口向上，对称轴为 x＝1， 所以Error!所以 00，得 4a2－12a＋5>0，解得 a< 1 2 或 a>5 2 . 因为 p∧q 是假命题，p∨q 是真命题，所以 p，q 一真一假． ①若 p 真 q 假，则Error!所以1 2 ≤a<1； ②若 p 假 q 真，则Error! 所以 a≤0 或 a>5 2 . 故实数 a 的取值范围是 a≤0 或1 2 ≤a<1 或 a>5 2 .