云南省玉溪第一中学2020届高三上学期期中考试（月考3）数学（理）试题 含解析

云南省玉溪第一中学2020届高三上学期期中考试（月考3）数学（理）试题 含解析

玉溪一中2020届高三上学期期中考试数学理试题 一、选择题（本大题共12小题）‎ 1. 已知集合A={x|log2（x+3）＜1}，B={x|-4＜x＜-2}，则A∪B=（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 2. ‎“m=”是“直线x-my+‎4m-2=0与圆x2+y2=4相切”的（　　）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 在△ABC中，若bcosC+ccosB=asinA，则角A的值为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 4. 已知定义域为[a-4，‎2a-2]的奇函数f（x）=2020x3-sinx+b+2，则f（a）+f（b）的值为（　　）‎ A. 0 B. ‎1 ‎C. 2 D. 不能确定 5. 设m，n为空间两条不同的直线，α，β为空间两个不同的平面，给出下列命题： ①若m⊥α，m∥β，则α⊥β；  ②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β； ③若m∥α，n∥α，则m∥n；    ④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n． 其中所有正确命题的序号是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 6. 七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（　　）‎ A. 3600种 B. 1440种 C. 4820种 D. 4800种 7. 如图，在矩形OABC内随机取一点，则它位于阴影部分的概率为（　　） ‎ A. B. C. D. ‎ 8. 已知log2x=log3y=log5z＜0，则、、的大小排序为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 1. 公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面‎1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍．当比赛开始后，若阿基里斯跑了‎1000米，此时乌龟便领先他‎100米；当阿基里斯跑完下一个‎100米时，乌龟仍然前于他10米．当阿基里斯跑完下一个‎10米时，乌龟仍然前于他‎1米……，所以，阿基里斯永远追不上乌龟．按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为10﹣‎2米时，乌龟爬行的总距离为（  ）‎ A. B. C. D. ‎ 2. 已知sin（α-β）=，sin2β=，α，β，则α+β=（　　）‎ A. B. C. 或 D. 或 3. 在ABC中，|CA|=1，|CB|=2，∠ACB=，点M满足=+2，则•=（　　）‎ A. 0 B. ‎2 ‎C. D. 4‎ 4. 已知F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P是椭圆上位于第一象限内的点，延长PF2交椭圆于点Q，若PF1⊥PQ且|PF1|=|PQ|，则椭圆的离心率为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题）‎ 5. 已知向量，，，若，则λ=______．‎ 6. 已知数列{an}满足a1=1，an+1=，n∈N*，则a2019=______．‎ 7. 已知正数,满足,则的最小值是 ______．‎ 8. 已知函数f（x）=xex，g（x）=xlnx，若f（x1）=g（x2）=t，其中t＞0，则的取值范围是______．‎ 三、解答题（本大题共7小题）‎ 9. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，a2+S2=-5，S5=-15． （1）求数列{an}的通项公式； （2）求． ‎ 1. 已知向量，，且． （1）求f（x）的单调递增区间； （2）先将函数y=f（x）的图象上所有点的横坐标缩小到原来的倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求方程g（x）=1在区间上所有根之和． ‎ 2. 已知三棱锥P-ABC的展开图如图二，其中四边形ABCD为边长等于的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形，在三棱锥P-ABC中； （1）证明：平面PAC⊥平面ABC； （2）若M是PA的中点，求二面角P-BC-M的余弦值． ‎ 3. 在△ABC中，角A，B，C的对边分別为a，b，c，若，B=‎2A，b=3． （1）求a； （2）已知点M在边BC上，且AM平分∠BAC，求△ABM的面积． ‎ 1. 已知函数f（x）=x（1+lnx），g（x）=k（x-1）（k∈Z）． （I）求函数f（x）的极值； （Ⅱ）对∀x∈（1，+∞），不等式f（x）＞g（x）都成立，求整数k的最大值； ‎ 2. 在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，若直线l与曲线C相切． （Ⅰ）求实数r的值； （Ⅱ）在圆C上取两点M，N，使得，点M，N与直角坐标原点O构成△OMN，求△OMN面积的最大值． ‎ 3. 已知函数f（x）=|2x-1|+a|x-1|． （1）当a=2时，f（x）≤b有解，求实数b的取值范围； （2）若f（x）≥|x-2|的解集包含，求实数a的取值范围． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】B ‎ ‎【解析】解：A={x|log2（x+3）＜1}={x|0＜x+3＜2}={x|-3＜x＜-1}， ∵B={x|-4＜x＜-2}， ∴A∪B=B={x|-4＜x＜-1}， 故选：B． 根据对数不等式的解法求出集合A，结合并集的定义进行计算即可． 本题主要考查集合的基本运算，结合对数的性质求出集合的等价条件是解决本题的关键． 2.【答案】A ‎ ‎【解析】解：由直线x-my+‎4m-2=0与圆x2+y2=4相切， 得，解得m=0或m=． 则由m=能推出直线x-my+‎4m-2=0与圆x2+y2=4相切， 反之，由直线x-my+‎4m-2=0与圆x2+y2=4相切，不一定得到m=． 则“m=”是“直线x-my+‎4m-2=0与圆x2+y2=4相切”的充分不必要条件． 故选：A． 由圆心到直线的距离等于半径列式求得m，然后结合充分必要条件的判定得答案． 本题考查直线与圆位置关系的判定及其应用，考查充分必要条件的判定，是基础题． 3.【答案】C ‎ ‎【解析】解：bcosC+ccosB=asinA， 由正弦定理可得，sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA， ∴sin（B+C）=sinAsinA， ∴sinA=sinAsinA， ∵sinA≠0， ∴sinA=1， ∵A∈（0，π）， ∴， 故选：C． 由已知结合正弦定理及诱导公式进行化简即可求解． 本题考查三角形的正弦定理和内角和定理的运用，考查运算能力，属于基础题． 4.【答案】A ‎ ‎【解析】解：∵f（x）是奇函数，∴定义域关于原点对称， 则a-4+‎2a-2=0‎ ‎， 得‎3a=6，a=2，此时定义域为为[-2，2]， ∵f（x）=2020x3-sinx+b+2是奇函数， ∴f（0）=b+2=0，则b=-2， 即f（x）=2020x3-sinx， 则f（a）+f（b）=f（2）+f（-2）=f（2）-f（2）=0， 故选：A． 根据奇函数定义域关于原点对称求出a的值，利用f（0）=0，求出b，即可． 本题主要考查函数值的计算，结合函数奇偶性的定义和性质，建立方程求出a，b是解决本题的关键．比较基础． 5.【答案】D ‎ ‎【解析】解：①m∥β，则β内一定存在一条直线l，使得m∥l，又m⊥α，则l⊥α，所以α⊥β，所以正确， ②当m∥n时，α，β可能相交，所以错误， ③m，n的位置还可能是相交和异面； 故选：D． 对四个命题进行逐一判断，①正确，②当m∥n时，α，β肯能相交，所以错误，③m，n的位置还可能是相交和异面； 本题主要考查空间点、直线、平面的位置关系，属于基础题． 6.【答案】A ‎ ‎【解析】【分析】 ​本题考查了排列组合中的不相邻问题，属基础题． 由排列组合中的不相邻问题插空法运算即可得解． ​【解答】 解：①除甲乙外，其余5个排列数为种， ②用甲乙去插6个空位有种， 综合①②得： 不同的排法种数是种， 故选：A． 7.【答案】B ‎ ‎【解析】解：阴影部分的面积m=， 矩形的面积为n=3， 故阴影部分概率为， 故选：B． 利用定积分求出阴影面积，再求出概率． 考查了几何概型和用定积分求面积，基础题． ‎ ‎8.【答案】A ‎ ‎【解析】解：设k=log2x=log3y=log5z＜0， ∴0＜x，y，z＜1． x=2k，y=3k，z=5k． 则=21-k，=31-k，=51-k． 由函数f（x）=x1-k，k＜0，-k＞0，1-k＞1所以f（x）为增函数， ∴21-k ＜31-k＜51-k． 则＜＜， 故选：A． 设k=log2x=log3y=log5z＜0，0＜x，y，z＜1．x=2k，y=3k，z=5k．可得=21-k，=31-k，=51-k．由函数f（x）=x1-k在（0，1）上单调递增，即可得出． 本题考查了幂函数的单调性、对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 9.【答案】B ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查了等比数列的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题. 由题意知乌龟每次爬行的距离构成等比数列{an}，写出a1、q和an，由此求出乌龟爬行的总距离Sn． 【解答】 解：由题意知，乌龟每次爬行的距离构成等比数列{an}， 且a1=100，q=，an=10-2； ∴乌龟爬行的总距离为 Sn===． 故选B． 10.【答案】B ‎ ‎【解析】解：sin2β=，β，即2β∈[，π]， 可得cos2β=-=-， sin（α-β）=，α，β， 即有α-β∈[，]，即α-β∈[，π]， cos（α-β）=-=-， 由α+β=α-β+2β∈[π，2π]， cos（α+β）=cos[（α-β）+2β]=cos（α-β）cos2β-sin（α-β）sin2β =-•（-）-•=， 可得α+β=． 故选：B． 运用同角的平方关系，以及角变换，即α+β=α-β+2β ‎，结合两角的和差公式，计算可得所求值． 本题考查三角函数的和差公式，考查同角的平方关系，以及角的变换，考查运算能力，属于中档题． 11.【答案】A ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查了平面向量的数量积计算问题，建立适当的坐标系是解题的关键． 建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，计算向量的数量积即可． 【解答】 解：建立平面直角坐标系如图所示， |CA|=1，|CB|=2，∠ACB=， 所以C（0，0），B（2，0），A（-，）； ∴=（2，0），=（-，）， ∴=+2=（1，）， ∴=-=（-，-）， =-=（1，-）， 则•=-+=0． 故选A． 12.【答案】D ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要是离心率的求法，考查等腰直角三角形的性质和勾股定理，以及运算求解能力，属于中档题． 由题意可得△PQF1为等腰直角三角形，设|PF1|=t，|QF1|=m，运用椭圆的定义可得|PF2|=‎2a-t，|QF2|=‎2a-m，再由等腰直角三角形的性质和勾股定理，计算可得离心率． 【解答】 解：PF1⊥PQ且|PF1|=|PQ|，可得△PQF1为等腰直角三角形， 设|PF1|=t，|QF1|=m， 由椭圆的定义可得|PF2|=‎2a-t，|QF2|=‎2a-m， 即有t=‎4a-t-m，m=t， 则t=2（2-）a， 在直角三角形PF‎1F2中， 可得t2+（‎2a-t）2=‎4c2， 4（6-4）a2+（12-8）a2=‎4c2， 化为c2=（9-6）a2‎ ‎， 可得e==-． 故选D． 13.【答案】 ‎ ‎【解析】解：∵，，∴=（5，-2）， 又，且， ∴1×（-2）-5λ=0，解得λ=． 故答案为：． 由已知求得的坐标，再由向量共线的坐标运算列式求解． 本题考查向量的坐标加法运算，考查向量共线的坐标表示，是基础题． 14.【答案】-2 ‎ ‎【解析】解：由已知得，， ， =1， 所以数列{an}是以3为周期的周期数列，故a2019=a3×673=a3=-2， 故答案为-2． 直接根据已知求出a2，a3和a4即可发现数列是以3为周期的周期数列，进而求出a2019． 本题考查数列递推公式的直接应用，难度较易． 15.【答案】 ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查了基本不等式及其应用，关键掌握“1“的代换，属基础题． 由条件可得，化简后利用基本不等式可得最大值． 【解答】 解：∵正数x，y满足x+y=1， ∴ = ≥ =， 当且仅当，即时取等号， ∴+的最小值为． 故答案为：． 16.【答案】 ‎ ‎【解析】解：由题意，，则， 作函数f（x）=xex的草图如下， ‎ ‎ 由图可知，当t＞0时，f（x）=t有唯一解，故x1=lnx2，且x1＞0， ∴， 设，则，令h′（t）=0，解得t=e， 易得当t∈（0，e）时，h′（t）＞0，函数h（t）单调递增，当t∈（e，+∞）时，h′（t）＜0，函数h（t）单调递减， 故，即的取值范围是． 故答案为：． 当t＞0时，f（x）=t有唯一解，而，通过变形可得，比较可得x1=lnx2，进而得到，运用导数即可求得取值范围． 本题考查利用导数求函数的最值，考查化简变形能力及数形结合思想，属于中档题． 17.【答案】解：（1）等差数列{an}的公差设为d，a2+S2=-5，S5=-15， 可得a1+d+a1+a1+d=‎3a1+2d=-5，‎5a1+10d=-15， 解得a1=d=-1， 可得an=-1-（n-1）=-n，n∈N*； （2）=++…+ =1-+-+…+-=1-=． ‎ ‎【解析】（1）等差数列{an}的公差设为d，运用等差数列的通项公式和求和公式，可得首项和公差的方程，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式； （2）运用裂项相消求和，化简可得所求和． 本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，以及裂项相消求和，考查化简运算能力，属于基础题． 18.【答案】解：（1）函数f（x）=2cos2x-2sinxcosx-1=cos2x-sin2x=2cos（2x+）， -π+2kπ≤2x+≤2kπ，k∈Z， -+kπ≤x≤-+kπ，k∈Z； ∴f（x）的单调增区间为[-+kπ，-+kπ]，k∈Z； （2）由题意，g（x）=2cos[4（x+）+]=2cos（4x+）， 又g（x）=1，得cos（4x+）=， 解得：4x+=2kπ±，k∈Z， 即x=-或x=-，k∈Z， ∵x∈[0，]， ∴x=，或x=‎ ‎， 故所有根之和为+=． ‎ ‎【解析】（1）化函数f（x）为余弦型函数，再求它的单调增区间； （2）由三角函数图象平移法则，得出g（x）的解析式，再求g（x）=1在x∈[0，]内的实数解即可． 本题主要考查了三角函数的性质与三角恒等变换问题，是基础题． 19.【答案】（1）证明：设AC的中点为O，连结BO，PO， 由题意得PA=PB=PC=，PO=1，AO=BO=CO=1， ∵在△PAC中，PA=PC，O为AC的中点， ∴PO⊥AC， ∵在△POB中，PO=1，OB=1，PB=， ∴PO2+OB2=PB2， ∴PO⊥OB， ∵AC∩OB=O，AC，OB⊂平面ABC， ∴PO⊥平面ABC， PO⊂平面PAC， ∴平面PAC⊥平面ABC． （2）解：由（1）知PO⊥平面ABC， ∴PO⊥OB，PO⊥OC，OB⊥AC， 以O为原点，OC，OB，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则O（0，0，0）,C（1，0，0）,B（0，1，0）,A（-1，0，0）,P（0，0，1）, ​M（-）， =（1，-1，0），=（1，0，-1），=（）， 设平面MBC的法向量=（x，y，z）， 则，取x=1，得=（1，1，3）， 设平面PBC的法向量=（x，y，z）， 则，取z=1，得=（1，1，1）， 设二面角P-BC-M的平面角为θ， 则cosθ===． ∴二面角P-BC-M的余弦值为． ‎ ‎【解析】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题． （1）设AC的中点为O，连结BO，PO，推导出PO⊥AC，PO⊥OB，从而PO⊥平面ABC，由此能证明平面PAC⊥平面ABC． （2）由PO⊥平面ABC，得PO⊥OB，PO⊥OC，OB⊥AC，以O为原点，OC，OB，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P-BC-M的余弦值． 20.【答案】解：（1）由正弦定理得=，得=，得=，得a===2， （2）∵cosA=，∴sinA=，∴cosB=cos‎2A=2cos‎2A-1=，sinB=， ‎ ‎∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB= 由正弦定理得=，∴c== 由角平分线定理得====， ∴MB=BC=×2=，∴S△ABM=MB×AB×sinB=×××sin‎2A=×2××=， ‎ ‎【解析】（1）由正弦定理以及二倍角正弦公式可得a=2； （2）由余弦定理可得c=，再根据角平分线定理可得MB，然后根据面积公式可得△ABM的面积． 本题考查了三角形中的几何计算，属中档题． 21.【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）=x（1+lnx），x＞0， ∴f′（x）=2+lnx， 当0＜x＜时，f′（x）＞0，函数单调递减，当x＞时，f′（x）＜0，函数单调递增， ∴当x=时，取得极小值，极小值为f（）=（1+ln）=-．无极大值． （Ⅱ）∀∵x∈（1，+∞），不等式f（x）＞g（x）都成立， ∴x（1+lnx）＞k（x-1）在（1，+∞）上恒成立， 即x（1+lnx）-k（x-1）＞0在（1，+∞）上恒成立， 令h（x）=x（1+lnx）-k（x-1），x＞1， ∴h′（x）=2-k+lnx， 当2-k≥0时，即k≤2时，h′（x）＞0在（1，+∞）上恒成立， ∴h（x）在（1，+∞）上单调递增， ∴h（x）＞h（1）=2-k+0=2-k≥0， ∴k≤2，此时整数k的最大值为2， 当k＞2时，令h′（x）=0，解得x=ek-2， ∴当1＜x＜ek-2时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减，当x＞ek-2时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增， ∴h（x）min=h（ek-2）=ek-2（k-1）-k（ek-2-1）=-ek-2+k， 由-ek-2+k＞0， 令φ（k）=-ek-2+k， ∴φ′（k）=-ek-2+1＜0在k∈（2，+∞）上恒成立， ∴φ（k）=-ek-2+k在（2，+∞）上单调递减， 又φ（4）=-e2+4＜0，φ（3）=-e+3＞0， ∴存在k0∈（3，4）使得φ（k0）=0， 故此时整数k的最大值为3 综上所述整数k的最大值3． ‎ ‎【解析】（Ⅰ）求出函数的单调区间然后求解函数的极值， （Ⅱ）问题转化为x（1+lnx）-k（x-1）＞0在（1，+∞）上恒成立，令h（x）=x（1+lnx）-k（x-1），x＞1，再求导，利用导数求出函数的最值，即可求出k 的值，需要分类讨论． 本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值，构造法的应用，考查转化思想以及计算能力． 22.【答案】解：（Ⅰ）直线l的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为， 若直线l与曲线C相切， 则圆心（）到直线的距离d=， 解得r=2， （Ⅱ）由（Ⅰ）得圆的方程为． 转换为极坐标方程为ρ=． 设M（ρ1，θ），N（）， 所以=4=2sin（2）+， 当时，， 即最大值为2+． ‎ ‎【解析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用直线和曲线的位置关系式的应用求出r的值． （Ⅱ）利用圆的极坐标方程进一步利用三角形的面积公式和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果． 本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，直线和园的位置关系式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 23.【答案】解：（1）当a=2时，f（x）=|2x-1|+2|x-1|≥|（2x-1）-2（x-1）|=1， 当且仅当（2x-1）（2x-2）≤0，即≤x≤1时取等号， ∴f（x）min=1， ∵f（x）≤b有解，∴只需b≥f（x）min=1， ∴b的取值范围是[1，+∞）； （2）当x∈[，2]时，2x-1≥0，x-2≤0， ∵f（x）≥|x-2|的解集包含[，2]， ∴a|x-1|≥3-3x对x∈[，2]恒成立， 当≤x＜1时，不等式化为a（1-x）≥3-3x，解得a≥3； 当1≤x≤2时，不等式化为a（x-1）≥3-3x，解得a≥-3； 综上知，a的取值范围是[3，+∞）． ‎ ‎【解析】（1）当a=2时，利用绝对值三角不等式求出f（x）的最小值，由f（x）≤b有解，可知b≥f（x）min； （2）由f（x）≥|x-2|的解集包含[，2]，化为a|x-1|≥3-3x对x∈[，2]恒成立，再分≤x＜1和1≤x≤2两种情况求出a的范围． 本题考查了绝对值三角不等式和不等式恒成立问题，也考查了转化思想和分类讨论思想，是中档题． ‎