数学卷·2018届江西省九江一中高二上学期12月月考数学试卷（理科） （解析版）

数学卷·2018届江西省九江一中高二上学期12月月考数学试卷（理科） （解析版）

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年江西省九江一中高二（上）12月月考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意）‎ ‎1．设U=R，A={x|x2﹣3x﹣4＞0}，B={x|x2﹣4＜0}，则（∁UA）∩B=（　　）‎ A．{x|x≤﹣1，或x≥2} B．{x|﹣1≤x＜2} C．{x|﹣1≤x≤4} D．{x|x≤4}‎ ‎2．命题p：∀x∈（0，），tanx＞0，则￢p为（　　）‎ A．∀x∉（0，），tanx≤0 B．∀x∈（0，），tanx＜0‎ C．∃x0∈（0，），tanx0≤0 D．∃x0∈（0，），tanx0＜0‎ ‎3．若=（2x，1，3），=（1，﹣2y，9），如果与为共线向量，则（　　）‎ A．x=1，y=1 B．x=，y=﹣ C．x=，y=﹣ D．x=﹣，y=‎ ‎4．数列{an}的前n项和Sn=2n2﹣3n，则{an}的通项公式为（　　）‎ A．4n﹣3 B．4n﹣5 C．2n﹣3 D．2n﹣1‎ ‎5．若α∈（，π），3cos2α=sin（﹣α），则sin2α的值为（　　）‎ A． B．﹣ C． D．﹣‎ ‎6．f（x）=﹣+log2x的一个零点落在下列哪个区间（　　）‎ A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）‎ ‎7．已知数列{an}满足log3an+1=log3an+1（n∈N*），且a2+a4+a6=9，则log（a5+a7+a9）的值是（　　）‎ A．﹣ B．﹣5 C．5 D．‎ ‎8．△ABC中，“角A，B，C成等差数列”是“sinC=（cosA+sinA）cosB”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎9．已知实数x，y满足，则z=的取值范围为（　　）‎ A．[0，] B．（﹣∞，0]∪[，+∞） C．[2，] D．（﹣∞，2]∪[，+∞）‎ ‎10．已知两定点A（﹣1，0）和B（1，0），动点P（x，y）在直线l：y=x+3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对于任意的自然数n，都有=，则+=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0），F1，F2为其左、右焦点，P为椭圆C上除长轴端点外的任一点，G为△F1PF2内一点，满足3=+，△F1PF2的内心为I，且有=λ（其中λ为实数），则椭圆C的离心率e=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．抛物线y=2x2上的一点到焦点的距离为1，则点M的纵坐标为　　．‎ ‎14．方程的解为　　．‎ ‎15．已知实数x，y满足xy+1=4x+y，且x＞1，则（x+1）（y+2）的最小值为　　．‎ ‎16．△ABC的面积为S， •=，则sin2A+sin2C的取值范围是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．已知p：x2﹣7x+10＜0，q：x2﹣4mx+3m2＜0，其中m＞0．‎ ‎（1）若m=4，且p∧q为真，求x的取值范围；‎ ‎（2）若￢q是￢p的充分不必要条件，求实数m的取值范围．‎ ‎18．在△ABC中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，且c=2，C=60°．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若a+b=ab，求△ABC的面积S△ABC．‎ ‎19．已知数列{an}的前n项和为Sn，若4Sn=（2n﹣1）an+1+1，a1=1．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若数列{bn}满足=（），求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎20．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=2，，点D为AC的中点，点E在线段AA1上 ‎（I）当AE：EA1=1：2时，求证：DE⊥BC1；‎ ‎（Ⅱ）是否存在点E，使二面角D﹣BE﹣A等于60°若存在求AE的长；若不存在，请说明理由．‎ ‎21．已知过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，斜率为的直线交抛物线于A（x1，y1）和B（x2，y2）（x1＜x2）两点，且|AB|=9，‎ ‎（1）求该抛物线的方程；‎ ‎（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求λ的值．‎ ‎22．已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆x2+3y2=4上，对角线BD所在直线的斜率为1．‎ ‎（Ⅰ）当直线BD过点（0，1）时，求直线AC的方程；‎ ‎（Ⅱ）当∠ABC=60°时，求菱形ABCD面积的最大值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年江西省九江一中高二（上）12月月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意）‎ ‎1．设U=R，A={x|x2﹣3x﹣4＞0}，B={x|x2﹣4＜0}，则（∁UA）∩B=（　　）‎ A．{x|x≤﹣1，或x≥2} B．{x|﹣1≤x＜2} C．{x|﹣1≤x≤4} D．{x|x≤4}‎ ‎【考点】交、并、补集的混合运算．‎ ‎【分析】分别求出集合A、B，从而求出A的补集，再求出其和B的交集即可．‎ ‎【解答】解：A={x|x2﹣3x﹣4＞0}={x|x＞4或x＜﹣1}，‎ B={x|x2﹣4＜0}={x|﹣2＜x＜2}，‎ 则（∁UA）∩B=[﹣1，4]∩（﹣2，2）=[﹣1，2），‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．命题p：∀x∈（0，），tanx＞0，则￢p为（　　）‎ A．∀x∉（0，），tanx≤0 B．∀x∈（0，），tanx＜0‎ C．∃x0∈（0，），tanx0≤0 D．∃x0∈（0，），tanx0＜0‎ ‎【考点】全称命题；命题的否定．‎ ‎【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．‎ ‎【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，‎ 所以命题p：∀x∈（0，），tanx＞0，则￢p为∃x0∈（0，），tanx0≤0．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎3．若=（2x，1，3），=（1，﹣2y，9），如果与为共线向量，则（　　）‎ A．x=1，y=1 B．x=，y=﹣ C．x=，y=﹣ D．x=﹣，y=‎ ‎【考点】共线向量与共面向量．‎ ‎【分析】利用共线向量的条件，推出比例关系求出x，y的值．‎ ‎【解答】解：∵=（2x，1，3）与=（1，﹣2y，9）共线，‎ 故有==．‎ ‎∴x=，y=﹣．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎4．数列{an}的前n项和Sn=2n2﹣3n，则{an}的通项公式为（　　）‎ A．4n﹣3 B．4n﹣5 C．2n﹣3 D．2n﹣1‎ ‎【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】根据数列{an}的前n项和Sn，表示出数列{an}的前n﹣1项和Sn﹣1，两式相减即可求出此数列的通项公式，注意验证n=1的情况．‎ ‎【解答】解：当n≥2时，有an=Sn﹣Sn﹣1‎ ‎=2n2﹣3n﹣2（n﹣1）2+3（n﹣1）=4n﹣5，‎ 而a1=S1=﹣1适合上式，‎ 所以：an=4n﹣5．‎ 故选B ‎　‎ ‎5．若α∈（，π），3cos2α=sin（﹣α），则sin2α的值为（　　）‎ A． B．﹣ C． D．﹣‎ ‎【考点】三角函数的化简求值；同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．‎ ‎【分析】直接利用两角和与差的三角函数以及二倍角的余弦函数化简函数的表达式，利用平方关系式求出结果即可．‎ ‎【解答】解：3cos2α=sin（﹣α），‎ 可得3cos2α=（cosα﹣sinα），‎ ‎3（cos2α﹣sin2α）=（cosα﹣sinα），‎ ‎∵α∈（，π），∴sinα﹣cosα≠0，‎ 上式化为：sinα+cosα=，‎ 两边平方可得1+sin2α=．‎ ‎∴sin2α=．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎6．f（x）=﹣+log2x的一个零点落在下列哪个区间（　　）‎ A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）‎ ‎【考点】函数零点的判定定理．‎ ‎【分析】根据函数的实根存在定理，要验证函数的零点的位置，只要求出函数在区间的两个端点上的函数值，得到结果．‎ ‎【解答】解：根据函数的实根存在定理得到 f（1）•f（2）＜0．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎7．已知数列{an}满足log3an+1=log3an+1（n∈N*），且a2+a4+a6=9，则log（a5+a7+a9）的值是（　　）‎ A．﹣ B．﹣5 C．5 D．‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】数列{an}满足log3an+1=log3an+1（n∈N*），可得an+1=3an＞0，数列{an}是等比数列，公比q=3．又a2+a4+a6=9，a5+a7+a9=33×9，再利用对数的运算性质即可得出．‎ ‎【解答】解：∵数列{an}满足log3an+1=log3an+1（n∈N*），‎ ‎∴an+1=3an＞0，‎ ‎∴数列{an}是等比数列，公比q=3．‎ 又a2+a4+a6=9，‎ ‎∴=a5+a7+a9=33×9=35，‎ 则log（a5+a7+a9）==﹣5．‎ 故选；B．‎ ‎　‎ ‎8．△ABC中，“角A，B，C成等差数列”是“sinC=（cosA+sinA）cosB”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】根据等差数列和两角和的正弦公式，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．‎ ‎【解答】解：若A，B，C成等差数列，则A+C=2B，∴B=60°，‎ 若，‎ 则sin（A+B）=，‎ 即sinAcosB+cosAsinB=，‎ ‎∴cosAsinB=cosAcosB，‎ 若cosA=0或tanB=，‎ 即A=90°或B=60°，‎ ‎∴角A，B，C成等差数列是成立的充分不必要条件．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎9．已知实数x，y满足，则z=的取值范围为（　　）‎ A．[0，] B．（﹣∞，0]∪[，+∞） C．[2，] D．（﹣∞，2]∪[，+∞）‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义即可得到结论．‎ ‎【解答】解：z==2+，‎ 设k=，则k的几何意义为区域内的点到D（0，﹣2）的斜率，‎ 作出不等式组对应的平面区域如图：‎ 由解得，即A（3，2），‎ 则AD的斜率k=，‎ CD的斜率k=，‎ 则k的取值范围是k≥或k≤﹣2，‎ 则k+2≥或k+2≤0，‎ 即z≥或z≤0，‎ 故选：B ‎　‎ ‎10．已知两定点A（﹣1，0）和B（1，0），动点P（x，y）在直线l：y=x+3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】求出A的对称点的坐标，然后求解椭圆长轴长的最小值，然后求解离心率即可．‎ ‎【解答】解：A（﹣1，0）关于直线l：y=x+3的对称点为A′（﹣3，2），连接A′B交直线l于点P，‎ 则椭圆C的长轴长的最小值为|A′B|=2，‎ 所以椭圆C的离心率的最大值为： ==．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎11．已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对于任意的自然数n，都有=，则+=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】利用等差数列的通项公式性质可得： =，可得+=+，再进行转化利用求和公式及其性质即可得出．‎ ‎【解答】解：∵等差数列中，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq；‎ 等差数列的前n项和为：Sn=．‎ ‎∴==‎ ‎∴+‎ ‎=+=+‎ ‎===‎ ‎==‎ ‎=‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎12．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0），F1，F2为其左、右焦点，P为椭圆C上除长轴端点外的任一点，G为△F1PF2内一点，满足3=+，△F1PF2的内心为I，且有=λ（其中λ为实数），则椭圆C的离心率e=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】在焦点△F1PF2中，设P（x0，y0），由三角形重心坐标公式，可得重心G的纵坐标，因为=λ，故内心I的纵坐标与G相同，最后利用三角形F1PF2的面积等于被内心分割的三个小三角形的面积之和建立a、b、c的等式，即可解得离心率．‎ ‎【解答】解：设P（x0，y0），F1（﹣c，0），F2（c，0），‎ 由3=+，可得G为△F1PF2的重心，‎ 即有G点坐标为 G（，），‎ 由=λ，可得IG∥x轴，‎ 即有I的纵坐标为，‎ 在焦点△F1PF2中，|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c，‎ 则S=•|F1F2|•|y0|，‎ 又I为△F1PF2的内心，即有I的纵坐标即为内切圆半径，‎ 内心I把△F1PF2分为三个底分别为△F1PF2的三边，‎ 高为内切圆半径的小三角形，‎ S=（|PF1|+|F1F2|+|PF2|）||，‎ 即为|F1F2|•|y0|=（|PF1|+|F1F2|+|PF2|）||，‎ 即×2c•|y0|=（2a+2c）||，‎ 可得2c=a，‎ 椭圆C的离心率e==．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．抛物线y=2x2上的一点到焦点的距离为1，则点M的纵坐标为　　．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】根据抛物线的定义可得M到准线y=﹣的距离为1，从而得出M的纵坐标．‎ ‎【解答】解：抛物线的标准方程为：x2=．‎ ‎∴抛物线的准线方程为：y=﹣，‎ ‎∵点M到焦点的距离为1，‎ ‎∴点M到准线的距离为1，即yM+=1．‎ ‎∴yM=．‎ 故答案为；．‎ ‎　‎ ‎14．方程的解为　　．‎ ‎【考点】根的存在性及根的个数判断．‎ ‎【分析】根据题意，先将方程，变形可得=8﹣，左右同时平方再变形可得3x﹣16=4，再次平方可得：（3x﹣16）2=16（x2﹣6x+10），解可得x的值．‎ ‎【解答】解：根据题意，方程，变形可得=8﹣，‎ 左右同时平方可得：x2+6x+10=64+（x2﹣6x+10）﹣16，‎ 变形可得：3x﹣16=4，‎ 左右再次同时平方可得：（3x﹣16）2=16（x2﹣6x+10）‎ 解可得x=，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎15．已知实数x，y满足xy+1=4x+y，且x＞1，则（x+1）（y+2）的最小值为　27　．‎ ‎【考点】基本不等式在最值问题中的应用．‎ ‎【分析】可用y表示x，求出y＞4，化简（x+1）（y+2），应用基本不等式，求出最小值．‎ ‎【解答】解：∵xy+1=4x+y，且x＞1，‎ ‎∴x=＞1，解得，y＞4，‎ ‎∴（x+1）（y+2）=xy+2x+y+2=1+2（3x+y）‎ ‎=1+2（+y）=1+2[7+（y﹣4）+]‎ ‎≥1+2（7+6）=27．‎ ‎∴（x+1）（y+2）取最小值为27．‎ 故答案为：27．‎ ‎　‎ ‎16．△ABC的面积为S， •=，则sin2A+sin2C的取值范围是　　．‎ ‎【考点】正弦定理；向量在几何中的应用．‎ ‎【分析】•=，可得cacosB=×，化为：sinB=cosB．解得cosB．由于sin2A+sin2C=﹣cos（B+2C）+1．即可得出．‎ ‎【解答】解：∵•=，‎ ‎∴cacosB=×，‎ 化为：sinB=cosB．‎ 又sin2B+cos2B=1．‎ 解得cosB=．‎ 则sin2A+sin2C ‎=+‎ ‎=cosBcos（A﹣C）+1，‎ ‎=﹣cos（B+2C）+1．‎ ‎∵B+2C∈，‎ ‎∴cos（B+2C）∈[﹣1，）．‎ ‎∴sin2A+sin2C∈．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．已知p：x2﹣7x+10＜0，q：x2﹣4mx+3m2＜0，其中m＞0．‎ ‎（1）若m=4，且p∧q为真，求x的取值范围；‎ ‎（2）若￢q是￢p的充分不必要条件，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假．‎ ‎【分析】（1）分别解出关于p，q的不等式，根据p∧q为真，p，q都为真，求出x的范围即可；‎ ‎（2）由¬q是¬p的充分不必要条件，即¬q⇒¬p，其逆否命题为p⇒q，求出m的范围即可．‎ ‎【解答】解（1）由x2﹣7x+10＜0，解得2＜x＜5，所以p：2＜x＜5；‎ 又x2﹣4mx+3m2＜0，因为m＞0，解得m＜x＜3m，所以q：m＜x＜3m．‎ 当m=4时，q：4＜x＜12，又p∧q为真，p，q都为真，所以4＜x＜5．‎ ‎（2）由¬q是¬p的充分不必要条件，即¬q⇒¬p，¬p≠＞¬q，‎ 其逆否命题为p⇒q，q≠＞p，‎ 由（1）p：2＜x＜5，q：m＜x＜3m，‎ 所以，即：．‎ ‎　‎ ‎18．在△ABC中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，且c=2，C=60°．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若a+b=ab，求△ABC的面积S△ABC．‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】（1）根据正弦定理求出，然后代入所求的式子即可；‎ ‎（2）由余弦定理求出ab=4，然后根据三角形的面积公式求出答案．‎ ‎【解答】解：（1）由正弦定理可设，‎ 所以，‎ 所以． …‎ ‎（2）由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC，‎ 即4=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab，‎ 又a+b=ab，所以（ab）2﹣3ab﹣4=0，‎ 解得ab=4或ab=﹣1（舍去）‎ 所以． …‎ ‎　‎ ‎19．已知数列{an}的前n项和为Sn，若4Sn=（2n﹣1）an+1+1，a1=1．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若数列{bn}满足=（），求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】（1），两式相减可得an+1与an之间的递推关系，利用累加法，即可求出通项公式；‎ ‎（2）bn=（2n﹣1）•=（2n﹣1）•2n，结合数列的项的特点考虑利用错位相减求和．‎ ‎【解答】解：（1）在4Sn=（2n﹣1）an+1+1中，令n=1，得a2=3，‎ ‎∵4Sn=（2n﹣1）an+1+1，∴当n≥2时，4Sn﹣1=（2n﹣1）an+1，‎ 两式相减，得：4an=（2n﹣1）an+1﹣（2n﹣3）an（n≥2）⇒‎ ‎，‎ 故an=2n﹣1；‎ ‎（2）由（1）可得bn=（2n﹣1）•=（2n﹣1）•2n，‎ ‎∴Tn=1×21+3×22+5×23+…+（2n﹣1）•2n，‎ ‎∴2Tn=1×22+3×23+5×24+…+（2n﹣3）•2n+（2n﹣1）•2n+1，‎ ‎∴﹣Tn=2+2（22+23+24+…+2n）﹣（2n﹣1）•2n+1‎ ‎=2+2×﹣（2n﹣1）•2n+1=﹣6﹣（2n﹣3）•2n+1，‎ ‎∴Tn=（2n﹣3）•2n+1+6．‎ ‎　‎ ‎20．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=2，，点D为AC的中点，点E在线段AA1上 ‎（I）当AE：EA1=1：2时，求证：DE⊥BC1；‎ ‎（Ⅱ）是否存在点E，使二面角D﹣BE﹣A等于60°若存在求AE的长；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由D为正三角形ABC的中点，得到BD⊥AC，再由两面垂直的性质得到BD⊥面ACC1A1，继而BD⊥DE，在平面ACC1A1中利用解三角形求出∠ADE与∠CDC1的值，从而得到ED⊥DC1，则由ED⊥面BDC1，则DE⊥BC1；‎ ‎（Ⅱ）假设存在点E，使二面角D﹣BE﹣A等于60°，设出AE的长度，利用二面角的两个半平面的法向量所成角为60°求出h的值，若h的值在[0，]内则说明点E存在，否则不存在．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）证明：如图，‎ 连结DC1，因为ABC﹣A1B1C1为正三棱柱，所以△ABC为正三角形，‎ 又因为D为AC的中点，所以BD⊥AC，‎ 又平面ABC⊥平面ACC1A1，所以BD⊥平面ACC1A1，所以BD⊥DE．‎ 因为AE：EA1=1：2，AB=1，，所以，AD=1，‎ 所以在Rt△ADE中，∠ADE=30°，在Rt△DCC1中，，‎ 所以，即ED⊥DC1，‎ 所以ED⊥平面BDC1，又BC1⊂面BDC1，所以ED⊥BC1．‎ ‎（Ⅱ）解：存在点E，使二面角D﹣BE﹣A等于60°．‎ 事实上，假设存在点E满足条件，设AE=h．‎ 取A1C1的中点D1，连结DD1，则DD1⊥平面ABC，所以DD1⊥AD，DD1⊥BD，‎ 分别以DA、DB、DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，‎ 则A（1，0，0），B（0，，0），E（1，0，h），‎ 所以，，，．‎ 设平面DBE的一个法向量为，‎ 则，，令z1=1，得x1=﹣h，所以，‎ 再设平面ABE的一个法向量为，‎ 则，，令y2=1，得，所以．‎ 所以=．解得．‎ 故存在点E，当AE=时，二面角D﹣BE﹣A等于60°．‎ ‎　‎ ‎21．已知过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，斜率为的直线交抛物线于A（x1，y1）和B（x2，y2）（x1＜x2）两点，且|AB|=9，‎ ‎（1）求该抛物线的方程；‎ ‎（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求λ的值．‎ ‎【考点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【分析】（1）直线AB的方程与y2=2px联立，有4x2﹣5px+p2=0，从而x1+x2=，再由抛物线定义得：|AB|=x1+x2+p=9，求得p，则抛物线方程可得．‎ ‎（2）由p=4，4x2﹣5px+p2=0求得A（1，﹣2），B（4，4）．再求得设的坐标，最后代入抛物线方程即可解得λ．‎ ‎【解答】解：（1）直线AB的方程是y=2（x﹣），与y2=2px联立，有4x2﹣5px+p2=0，‎ ‎∴x1+x2=‎ 由抛物线定义得：|AB|=x1+x2+p=9‎ ‎∴p=4，∴抛物线方程是y2=8x．‎ ‎（2）由p=4，4x2﹣5px+p2=0得：x2﹣5x+4=0，‎ ‎∴x1=1，x2=4，‎ y1=﹣2，y2=4，从而A（1，﹣2），B（4，4）．‎ 设=（x3，y3）=（1，﹣2）+λ（4，4）=（4λ+1，4λ﹣2）‎ 又[2（2λ﹣1）]2=8（4λ+1），解得：λ=0，或λ=2．‎ ‎　‎ ‎22．已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆x2+3y2=4上，对角线BD所在直线的斜率为1．‎ ‎（Ⅰ）当直线BD过点（0，1）时，求直线AC的方程；‎ ‎（Ⅱ）当∠ABC=60°时，求菱形ABCD面积的最大值．‎ ‎【考点】椭圆的应用．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由题意得直线BD的方程，根据四边形ABCD为菱形，判断出AC⊥BD．于是可设出直线AC的方程与椭圆的方程联立，根据判别式大于0求得n的范围，设A，C两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），根据韦达定理求得x1+x2和x1x2，代入直线方程可表示出y1+y2，进而可得AC中点的坐标，把中点代入直线y=x+1求得n，进而可得直线AC的方程．‎ ‎（Ⅱ）根据四边形ABCD为菱形判断出∠ABC=60°且|AB|=|BC|=|CA|．进而可得菱形ABCD的面积根据n的范围确定面积的最大值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意得直线BD的方程为y=x+1．‎ 因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD．‎ 于是可设直线AC的方程为y=﹣x+n．‎ 由得4x2﹣6nx+3n2﹣4=0．‎ 因为A，C在椭圆上，‎ 所以△=﹣12n2+64＞0，解得．‎ 设A，C两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），‎ 则，，y1=﹣x1+n，y2=﹣x2+n．‎ 所以．‎ 所以AC的中点坐标为．‎ 由四边形ABCD为菱形可知，点在直线y=x+1上，‎ 所以，解得n=﹣2．‎ 所以直线AC的方程为y=﹣x﹣2，即x+y+2=0．‎ ‎（Ⅱ）因为四边形ABCD为菱形，且∠ABC=60°，‎ 所以|AB|=|BC|=|CA|．‎ 所以菱形ABCD的面积．‎ 由（Ⅰ）可得，‎ 所以．‎ 所以当n=0时，菱形ABCD的面积取得最大值．‎