2018-2019学年黑龙江省大庆铁人中学高二上学期第一次月考数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年黑龙江省大庆铁人中学高二上学期第一次月考数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年黑龙江省大庆铁人中学高二上学期第一次月考数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知椭圆的一个焦点为，离心率，则椭圆的标准方程为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由椭圆的一个焦点为求得，根据离心率，可得的值，由可解得，从而可得结果．‎ ‎【详解】‎ 设椭圆的标准方程为，‎ 椭圆的一个焦点为，离心率，‎ ‎，解得．‎ 故椭圆的方程为．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查待定系数求椭圆方程，属于简单题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或 ；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.‎ ‎2．已知双曲线的一条渐近线方程为，则此双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵双曲线的焦点在x轴上，‎ ‎∴渐近线方程为y=±，‎ 又∵渐近线方程为y= ，‎ ‎∴。‎ ‎∵b2=c2﹣a2， ‎ 故答案为：A。‎ ‎3．已知，，且与互相垂直，则的值为（ ）.‎ A． B． C． D．1‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意，易得k的坐标，结合向量垂直的性质，可得（k+1）+k+0＝0，从而得k的值，即可得答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，易得kk（1，1，0）（﹣1，0，2）＝（k+1，k，-2），‎ ‎∵两向量垂直，∴‎ ‎∴1（k+1）+k+0＝0．‎ ‎∴k，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了空间向量数量积的应用，向量垂直的坐标表示，属于基础题．‎ ‎4．如图，空间四边形的每条边和对角线长都等于1，点，，分别是，，‎ 的中点，则（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意将所求化为，判断相应向量的夹角，然后利用向量的数量积的定义即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得，，‎ 又120°‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正四面体的结构特征，两个向量的数量积的定义，体现了数形结合的数学思想，解题的关键是准确判断向量的夹角．‎ ‎5．曲线与曲线的( )‎ A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：，而曲线，是焦点在轴的椭圆，且，，可求，所以两曲线的焦距相等，故选．‎ ‎【考点】椭圆的几何性质 ‎【方法点睛】考察圆锥曲线的方程，属于基础题型，注意曲线中，所以曲线是椭圆，那么长轴和短轴长都随的变化而变化，根据，可知焦距不变，要解决这类问题，那我们就要对圆锥曲线的基本知识熟练掌握，比如方程的形式，方程与圆锥曲线的基本性质的联系，或是关于和抛物线中的的计算．‎ ‎6．过双曲线（）的右焦点作圆的切线，交轴于点，切圆于点，若，则双曲线的离心率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：如图，由（平行四边形法则）知，点M是的中点，因为点为切点，所以，则，所以，由得，，所以。故选D。‎ ‎【考点】双曲线的性质 点评：解决平面几何的题目，首先是画图。当题目出现曲线的方程时，假如不是标准形式，则需要将其变成标准形式。‎ ‎7．设F1，F2为椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=6，‎ 由中位线定理可得PF2⊥x轴，‎ 令x=2，可得y= ‎ 即有|PF2|=，|PF1|=，‎ 则 故选：C．‎ ‎8．已知空间三点，，，在直线上有一点满足，则点的坐标为（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据空间向量的坐标表示与线性运算得到的坐标，利用垂直的向量满足数量积为0进行运算，求解即可．‎ ‎【详解】‎ 由O（0，0，0），A（﹣1，1，0），B（0，1，1），‎ ‎∴（﹣1，1，0），‎ 且点H在直线OA上，可设H（﹣λ，λ，0），‎ 则（﹣λ，λ﹣1，﹣1），‎ 又BH⊥OA，‎ ‎∴•0，‎ 即（﹣λ，λ﹣1，﹣1）•（﹣1，1，0）＝0，‎ 即λ+λ﹣1＝0，‎ 解得λ，‎ ‎∴点H（，，0）．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了空间向量的坐标表示与运算问题，注意共线向量的坐标表示，是基础题．‎ ‎9．如图，在长方体中，，，点是棱的中点，则点到平面的距离为（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先建立空间直角坐标系，再求出平面ACD1的法向量＝(2,1,2)，再求点E到平面ACD1的距离.‎ ‎【详解】‎ 如图，以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则D1(0,0,1)，E(1,1,0)，A(1,0,0)，C(0,2,0)．‎ 从而＝(1,1，－1)，＝(－1,2,0)，＝(－1,0,1)，‎ 设平面ACD1的法向量为n＝(a，b，c)，‎ 则即 得令a＝2，则n＝(2,1,2)．‎ 所以点E到平面ACD1的距离为 h＝＝＝．‎ 故答案为：C ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查空间直角坐标系和点到平面的距离的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)点P到平面的距离公式为.‎ ‎10．已知、为等轴双曲线的左、右焦点，且焦距为，点是的右支上动点，过点向的一条渐近线作垂线，垂足为，则的最小值是（ ）.‎ A．6 B． C．12 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可得a=b，又由双曲线定义将转化为|PF2|+4，只需P、H、共线时即可，此时|PF2|最小为=b=2，由此得结论.‎ ‎【详解】‎ 由双曲线的焦距为，‎ 即有2c＝，可得c，‎ 由等轴双曲线可得a=b，又a2+b2＝c2，∴a=b=2，‎ 又由双曲线定义可得|PF1|﹣|PF2|＝2a=4，‎ 则|PF2|+4，要使|PF2|最小，只需P、H、共线,‎ ‎∴过作渐近线的垂线交右支于P，此时|PF2|最小为=b=2，‎ ‎∴的最小值为6，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的定义的应用及性质，注意运用两点之间直线段最短的结论，考查分析问题的能力，属于基础题．‎ ‎11．如图，已知矩形与矩形全等，二面角为直二面角，为中点，与所成角为，且，则（ ）.‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】以A为原点，AF为x轴，AB为y轴，AD为z轴，建立空间直角坐标系，设AB＝2a，BC＝2b，利用向量法能求出AB与BC的长度之比．‎ ‎【详解】‎ 以A为原点，AF为x轴，AB为y轴，AD为z轴，‎ 建立空间直角坐标系，‎ 设AB＝2a，BC＝2b，‎ 则F（2b，0，0），M（0，a，0），B（0，2a，0），‎ D（0，0，2b），‎ ‎（﹣2b，a，0），（0，﹣2a，2b），‎ ‎∵FM与BD所成角为θ，且cosθ，‎ ‎∴|cos，|，‎ 整理，得5a2b2+4b4﹣26a4＝0，‎ ‎∴﹣26×（）4+5×（）2+4＝0，‎ 解得（）2，或 （）2 （舍），‎ ‎∴‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查两线段长的比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．‎ ‎12．已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（ ）‎ A．6 B．3 C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】通过图象可知F1F2=F2P=2c，利用椭圆、双曲线的定义及离心率公式可得的表达式，通过基本不等式即得结论．‎ ‎【详解】‎ 由题意可知：F1F2=F2P=2c，‎ 又∵F1P+F2P=2a1，F1P﹣F2P=2a2，‎ ‎∴F1P+2c=2a1，F1P﹣2c=2a2，‎ 两式相减，可得：a1﹣a2=2c，‎ ‎∵==，‎ ‎∴===4+2+，‎ ‎∵2+≥2=2，当且仅当时等号成立，‎ ‎∴的最小值为6，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆与双曲线的定义及简单的几何性质，重要不等式，属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13．若、分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为______.‎ ‎【答案】16‎ ‎【解析】由椭圆的定义可得的周长为|AF2|+|BF2|+|AF1|+|BF1|=4a，由此可得结果.‎ ‎【详解】‎ 由椭圆的定义可知|AF1|+|AF2|＝2a=|BF1|+|BF2|‎ 又∵|AB|=|AF1|+|BF1|‎ ‎∴的周长为|AF2|+|BF2|+|AB|=|AF2|+|BF2|+|AF1|+|BF1|=4a，‎ 椭圆中，a=4，∴的周长为4a=16，‎ 故答案为16．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的定义及标准方程的应用，属于基础题．‎ ‎14．如图，正方体中，，点、分别是，的中点，则线段的长度为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知可得EF的长相当于一个长，宽，高分别为1，1，2的长方体的对角线，进而得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，AB＝2，点E、F分别为A'D'、DC的中点，‎ 则EF的长相当于一个长，宽，高分别为1，1，2的长方体的对角线，‎ 故EF，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是棱柱的几何特征，从图中构建长方体是解题的关键，属于基础题．‎ ‎15．已知双曲线，则以点为中点的双曲线的弦所在的直线方程为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设出以A（2，3）为中点的弦两端点为P1（x1，y1），P2（x2，y2），利用点差法可求得以A（2，3）为中点的弦所在直线的斜率，再由点斜式可求得直线方程．‎ ‎【详解】‎ 设以A（2，3）为中点的弦两端点为P1（x1，y1），P2（x2，y2），‎ 则x1+x2＝4，y1+y2＝6．‎ 又22，①‎ ‎22，②‎ ‎①﹣②得：2（x1+x2）（x1﹣x2）＝（y1+y2）（y1﹣y2），‎ 又由对称性知x1≠x2，‎ ‎∴A（2，3）为中点的弦所在直线的斜率k，‎ 所以中点弦所在直线方程为y﹣3＝（x﹣2），即．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与圆锥曲线的关系，求得直线P1P2的斜率是关键，考查点差法求斜率，考查分析与运算能力，属于中档题．‎ ‎16．，为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形的直角边所在直线与，都垂直，斜边以直线为旋转轴旋转，有下列结论：‎ ‎（1）当直线与成角时，与成角；‎ ‎（2）当直线与成角时，与成角；‎ ‎（3）直线与所成角的最小值为；‎ ‎（4）直线与所成角的最小值为；‎ 其中正确的是______（填写所有正确结论的编号）.‎ ‎【答案】（1）（3）‎ ‎【解析】由题意知，a、b、AC三条直线两两相互垂直，构建如图所示的边长为1的正方体，|AC|＝1，|AB|，斜边AB以直线AC为旋转轴，则A点保持不变，B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，以C坐标原点，以CD为x轴，CB为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．‎ ‎【详解】‎ 由题意知，a、b、AC三条直线两两相互垂直，画出图形如图，‎ 不妨设图中所示正方体边长为1，‎ 故|AC|＝1，|AB|，‎ 斜边AB以直线AC为旋转轴，则A点保持不变，‎ B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，‎ 以C坐标原点，以CD为x轴，CB为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，‎ 则D（1，0，0），A（0，0，1），直线a的方向单位向量（0，1，0），||＝1，‎ 直线b的方向单位向量（1，0，0），||＝1，‎ 设B点在运动过程中的坐标中的坐标B′（cosθ，sinθ，0），‎ 其中θ为B′C与CD的夹角，θ∈[0，2π），‎ ‎∴AB′在运动过程中的向量为（cosθ，sinθ，﹣1），||，‎ 设与所成夹角为α∈[0，]，‎ 则cosα|sinθ|∈[0，]，‎ ‎∴α∈[，]，∴（3）正确，（4）错误．‎ 设与所成夹角为β∈[0，]，‎ cosβ|cosθ|，‎ 当与夹角为60°时，即α，‎ ‎|sinθ|，‎ ‎∵cos2θ+sin2θ＝1，∴cosβ|cosθ|，‎ ‎∵β∈[0，]，∴β，此时与的夹角为60°，‎ ‎∴（1）正确，（2）错误．‎ 故答案为：（1）（3）．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．‎ 三、解答题 ‎17．（1）已知，，求，，；‎ ‎（2）已知空间内三点，，.求以向量，为一组邻边的平行四边形的面积.‎ ‎【答案】（1），，（2）‎ ‎【解析】（1）根据空间向量的坐标表示与线性运算和数量积运算，求解即可．‎ ‎（2）由已知求出向量，的坐标，结合夹角，利用三角形面积公式，得到平行四边形的面积S；‎ ‎【详解】‎ ‎（1），‎ ‎，‎ 又 ‎∴.‎ ‎（2）∵，，∴,‎ 又∵，∴，∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是空间向量的坐标表示与线性运算，考查了利用坐标求向量的模及夹角的问题，属于基础题．‎ ‎18．如图，已知平面，为矩形，，，分别为，的中点，求证：‎ ‎（1）平面；‎ ‎（2）求与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）‎ ‎【解析】（1）利用三角形的中位线定理得，结合平行四边形的判定和性质得到，再用线面平行的判定定理即可得出结论；‎ ‎（2）建立空间直角坐标系，求出平面PMC的法向量，进而利用向量的夹角公式可求直线PD与平面PMC成角的正弦值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）取中点，连接，，则，，又因为，，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面；‎ ‎（2）建立空间直角坐标系如图，因为，所以，，，，，，.设平面法向量为，则，，解得，，令，则.设与平面所成角为，则.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了线面平行的判定定理，考查了利用空间向量法解决立体几何问题，考查了线面角，建立坐标系，用坐标表示点与法向量是关键．‎ ‎19．如图，点，的坐标分别为，，直线，相交于点，且直线，的斜率之积是，‎ ‎（1）求点的轨迹的方程；‎ ‎（2）若经过点且斜率为1的直线与曲线交于，两点，求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）设（x，y），将kAMkBM用坐标表示，化简可得点的轨迹方程；‎ ‎（2）求出直线的方程，联立直线与曲线，通过韦达定理以及弦长公式即可求解的距离．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设点的坐标为，‎ ‎∴直线的斜率为，直线的斜率为.‎ 由已知有.‎ 化简得点的轨迹方程为.‎ ‎（2）由已知得直线的方程为，即.‎ 消得到，∴‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查点的轨迹方程的求法，注意直线的斜率公式的合理运用，考查了直线与椭圆的关系，弦长公式的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．‎ ‎20．如图，三棱柱中，，，.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若平面平面，，求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）‎ ‎【解析】（1）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，由已知可证OA1⊥AB，AB⊥平面OA1C，进而可得AB⊥A1C；‎ ‎（2）易证OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，||为单位长，建立坐标系，求出平面平面BB1C1C的法向量，代入向量夹角公式，可得答案．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）取中点，连接，，因为，所以；‎ 因为，，故为等边三角形，所以；‎ 因为，所以平面；所以.‎ ‎（2）由（1）可知，，，又因为平面平面，交线为，所以平面，故，，两两垂直.以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图，‎ 因为，所以，所以，，，.‎ 设是平面的法向量，则，，解得，同理可得，平面的法向量，‎ ‎，，‎ 所以二面角余弦值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用向量求二面角的方法，涉及直线与平面垂直的性质和平面与平面垂直的判定，属于中档题．‎ ‎21．已知动圆与圆内切，与圆外切，记圆心的轨迹为曲线.‎ ‎（1）求曲线的方程.‎ ‎（2）直线与曲线交于点，，点为线段的中点，若，求面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）推导出|PE|+|PF|＝4＞|EF|＝2，从而圆心P的轨迹C为以E与F为焦点的椭圆，由此能求出曲线C的方程．‎ ‎（2）设直线l：x＝my+n，由方程组，得（4+m2）y2+2mny+n2﹣4＝0，由此利用韦达定理、弦长公式，结合已知条件能求出直线l的方程．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设动圆的半径为，由已知得，，则有，‎ ‎∴的轨迹是以，为焦点的椭圆，设曲线的方程为，易知，，则，‎ ‎∴曲线的方程为.‎ ‎（2）设直线，，，‎ 由得①‎ ‎，，，‎ 由中点坐标公式可知.‎ ‎，‎ ‎②，‎ 设直线与轴的交点为，则点的坐标为，‎ 则面积的平方，‎ 设，‎ 则，当，即时，的面积取得最大值.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了点的轨迹方程的求法，考查满足条件的直线方程的求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、点到直线的距离公式、韦达定理等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．‎