2021版高考数学一轮复习核心素养测评十三导数与导数的运算理北师大版

2021版高考数学一轮复习核心素养测评十三导数与导数的运算理北师大版

核心素养测评十三 导数与导数的运算 ‎(25分钟　50分)‎ 一、选择题(每小题5分,共35分)‎ ‎1.下列求导运算正确的是 (　　)‎ A.′=1+‎ B.(log2x)′=‎ C.(5x)′=5xlog5x ‎ D.(x2cos x)′=-2xsin x ‎【解析】选B.A.′=1-,故错误;‎ B.符合对数函数的求导公式,故正确;‎ C.(5x)′=5xln 5,故错误;‎ D.(x2cos x)′=2xcos x-x2sin x,故错误.‎ ‎2.若函数f(x)=,则f′(0)等于 (　　)‎ A.1 B.0 C.-1 D.-2‎ ‎【解析】选A.函数的导数 f′(x)=,‎ 则f′(0)==1.‎ ‎3.某炼油厂的一个分厂将原油精炼为汽油,需对原油进行冷却和加热,如果第x小时时,原油温度(单位:℃)为f(x)=x3-x2+8(0≤x≤5), 那么,原油温度的瞬时变化率的最小值是 (　　)‎ - 6 -‎ A.8　　 B. C.-1　　　 D.-8‎ ‎【解析】选C.因为f(x)=x3-x2+8(0≤x≤5),‎ ‎ 所以f′(x)=x2-2x=-1, ‎ 又0≤x≤5, 故当x=1时,f′(x)有最小值-1,即原油温度的瞬时变化率的最小值是-1.‎ ‎4.(2020·广元模拟)已知函数f(x)=x2+cos x,则其导函数f′(x)的图像大致是 ‎(　　)‎ ‎【解析】选A.因为f′(x)=x-sin x,这是一个奇函数,图像关于原点对称,故排除B,D两个选项.f′=×-<0,故排除C.‎ ‎5.(2020·新乡模拟)若曲线y=在点处的切线的斜率为,则n= (　　)‎ A.2 B.3 C.4 D.5‎ ‎【解析】选D.因为导函数为y′=,‎ 所以y′|x=1==,所以n=5.‎ ‎6.设曲线y=在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a= (　　)‎ A.2　　 B.　　 C.-　　 D.-2‎ - 6 -‎ ‎【解析】选D.y′==-,‎ ‎=-=-,又因为切线与直线ax+y+1=0垂直,且直线ax+y+1=0的斜率为-a.所以a=-2.‎ ‎7.直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切时,a= (　　)‎ A.-1　 B.1　 C.-2　 D.2‎ ‎【解析】选D.设切点P(x0,y0),则y0=x0+1,且y0=ln(x0+a),又因为切线方程y=x+1的斜率为1,即y′==1,所以x0+a=1,‎ 所以y0=0,x0=-1,所以a=2.‎ 二、填空题(每小题5分,共15分)‎ ‎8.(2019·南昌模拟)设函数f(x)在(0,+∞)内可导,其导函数为f′(x),且f(ln x)=x+ln x,则f′(1)=________________. ‎ ‎【解析】因为f(ln x)=x+ln x,所以f(x)=x+ex,‎ 所以f′(x)=1+ex,所以f′(1)=1+e1=1+e.‎ 答案:1+e ‎9.已知函数y=f(x)的图像在x=2处的切线方程是y=3x+1,则f(2)+f′(2)=________________. ‎ ‎【解析】由题意可知f(2)=3×2+1=7, f′(2)=3,所以f(2)+f′(2)=10.‎ 答案:10‎ ‎【变式备选】‎ 如图,y=f(x)是可导函数,直线l是曲线y=f(x)在x=4处的切线,令g(x)=,则g′(4)=________________. ‎ - 6 -‎ ‎【解析】由题图知,切线过(0,3),(4,5),所以直线l的斜率为=,‎ 由于曲线在切点处的导数值为曲线的切线的斜率,所以f′(4)=,f(4)=5.‎ 由g(x)=,得g′(x)=,‎ 故g′(4)==-.‎ 答案:-‎ ‎10.(2020·赣州模拟)若曲线f(x)=xsin x+1在x=处的切线与直线ax+2y+1=0 相互垂直,则实数a=________________.  ‎ ‎【解析】因为f′(x)=sin x+xcos x,所以f′=sin+cos=1.又直线ax+2y+1=0的斜率为-,所以1×=-1,解得a=2.‎ 答案:2‎ ‎(15分钟　35分)‎ ‎1.(5分)已知函数f(x)=x2+2xf′,则f与f的大小关系是 (　　)‎ A.f>f B.f=f C.ff.‎ ‎2.(5分)(2020·阜阳模拟)设点P是曲线y=x3-x+上的任意一点,则曲线在点P处切线的倾斜角α的取值范围为 (　　)‎ A.∪ B.‎ C.∪ D.‎ ‎【解析】选C.因为y′=3x2-≥-,故切线的斜率k≥-,所以切线的倾斜角α的取值范围为∪.‎ ‎3.(5分)(2020·亳州模拟)曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+8=0的最短距离是 (　　)‎ A.2 B.2 C.2 D.‎ ‎【解析】选A.设M(x0,ln(2x0-1))为曲线上的任意一点,则曲线在点M处的切线与直线2x-y+8=0平行时,点M到直线的距离即为曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+8=0的最短距离.‎ 因为y′=,所以=2,解得x0=1,所以M(1,0).记点M到直线2x-y+8=0的距离为d,则d==2.‎ ‎4.(10分)已知P(-1,1),Q(2,4)是曲线y=x2上的两点. ‎ ‎(1)在曲线y=x2上分别求过点P,Q的切线方程.‎ ‎(2)求与直线PQ平行的曲线y=x2的切线方程.‎ ‎【解析】(1)因为y′=2x,‎ 所以过点P,Q的切线斜率分别为-2,4,‎ - 6 -‎ 所以过点P的切线方程为:y-1=-2(x+1);‎ 即y=-2x-1;‎ 过点Q的切线方程为:y-4=4(x-2);‎ 即y=4x-4.‎ ‎(2)设切点为,kPQ==1,‎ 因为切线和直线PQ平行,且切线的斜率为2x0,‎ 所以2x0=1,所以x0=,所以切点为,‎ 所以切线方程为y-=x-,即y=x-.‎ ‎5.(10分)已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,b∈R). ‎ ‎(1)若函数f(x)的图像过原点,且在原点处的切线斜率为-3,求a,b的值.‎ ‎(2)若曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,求a的取值范围.‎ ‎【解析】f′(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2).‎ ‎(1)由题意得 解得b=0,a=-3或a=1.‎ ‎(2)因为曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,‎ 所以关于x的方程f′(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2)=0有两个不相等的实数根,‎ 所以Δ=4(1-a)2+12a(a+2)>0,‎ 即4a2+4a+1>0,所以a≠-.‎ 所以a的取值范围为∪.‎ - 6 -‎