2020届二轮复习微专题4　含参不等式的研究课件（25张）（江苏专用）

2020届二轮复习微专题4　含参不等式的研究课件（25张）（江苏专用）

微专题 4 含 参不等式的研究 微专题4　含参不等式的研究 题型 一　利用分类讨论求解含参不等式 例1     (2019连云港期中,16)设二次函数 f ( x )= ax 2 + bx + c ,函数 F ( x )= f ( x )- x 的两个 零点为 m , n ( m < n ). (1)若 m =-1, n =2,求不等式 F ( x )>0的解集; (2)若 a >0,且0< x < m < n <   ,比较 f ( x )与 m 的大小. 解析 　(1) F ( x )= f ( x )- x = ax 2 + bx + c - x = ax 2 +( b -1) x + c , 因为函数 F ( x )的两个零点为-1,2, 所以   解得   所以 F ( x )= ax 2 - ax -2 a = a ( x -2)( x +1). 当 a >0时, F ( x )= a ( x -2)( x +1)>0的解集为(- ∞ ,-1) ∪ (2,+ ∞ ); 当 a <0时, F ( x )= a ( x -2)( x +1)>0的解集为(-1,2). 综上所述,当 a >0时, F ( x )>0的解集为(- ∞ ,-1) ∪ (2,+ ∞ );当 a <0时, F ( x )>0的解集 为(-1,2). (2)函数 F ( x )= ax 2 +( b -1) x + c 的两个零点为 m , n ( m < n ), 所以   解得   所以 F ( x )= ax 2 -( m + n ) ax + mna = a ( x - m )( x - n ), f ( x )- m = F ( x )+ x - m = a ( x - m )( x - n )+ x - m = a ( x - m )   , 因为 a >0,且0< x < m < n <   , 所以 x - m <0, x +   - n = x +   >0, 所以 f ( x )- m <0,即 f ( x )< m . 【方法归纳】　含参数的二次不等式的求解,往往需要对参数进行分类讨论: ①若二次项系数为常数,则首先确定二次项系数是不是正数,再考虑分解因 式,对参数进行分类讨论,若不易分解因式,则可依据判别式的符号进行分类 讨论; ②若二次项系数为参数,则应先考虑二次项系数是不是零,确定不等式是不是 二次不等式后,再进行求解. 含参数的二次不等式的求解,关键在于对参数的恰当分类,应认真寻找对参数 进行分类的原因,明确分类标准(如最高次项的系数、判别式、根相等),然后 进行层次清楚的求解. 1-1     (2018盐城中学高三期末,13)已知函数 f ( x )= x 2 +(1- a )· x - a ,若关于 x 的不等 式 f ( f ( x ))<0的解集为空集,则实数 a 的取值范围是 　　　　　     . 答案 　-3 ≤ a ≤ 2   -3 解析      f ( x )= x 2 +(1- a ) x - a =( x - a )( x +1)<0, 当 a =-1时, f ( x )=( x +1) 2 <0无解,符合题意; 当 a >-1时, f ( x )<0的解集为-1< x < a ,此时要满足 f ( f ( x ))<0的解集为空集,只需 f ( x ) ≥ a 恒成立,即 x 2 +(1- a ) x -2 a ≥ 0恒成立,所以只需 Δ = a 2 +6 a +1 ≤ 0,解得-2   -3 ≤ a ≤ 2   -3,又 a >-1,所以-1< a ≤ 2   -3; 当 a <-1时, f ( x )<0的解集为 a < x <-1,此时要满足 f ( f ( x ))<0的解集为空集,只需 f ( x ) ≥ -1恒成立,即 x 2 +(1- a ) x - a +1 ≥ 0恒成立,所以只需 Δ = a 2 +2 a -3 ≤ 0,解得-3 ≤ a ≤ 1, 又 a <-1,所以-3 ≤ a <-1. 综上,-3 ≤ a ≤ 2   -3. 题型二　利用数形结合求解含参不等式 例2     (2018泰兴中学月考)已知 a >0,函数 f ( x )=   则关于 t 的不等 式 f   >-   的解集为 　　　　　　　     . 答案        解析 　作出函数 f ( x )的图象如图,当 f ( x )=-   时, x =-   .由图可得关于 t 的不等式 f   >-   ⇔ t -   >-   , t >-   ,则所求解集为   . 【方法归纳】　含参不等式问题的求解经常借助函数的图象,根据不等式中 参数的特点,选择适当的两个(或多个函数),将已知条件转化为两个(或多个) 函数图象的位置关系问题,进而转化为数量关系来解决问题,解题时应注意三 点:第一,要明确一些概念及其几何意义以及曲线的代数特征,对题目中的条 件和结论要做到既分析其几何意义,又分析其代数意义;第二,要恰当设参、 合理用参,建立关系,由数思形,以形想数,做好数形转化;第三,要正确确定参数 的取值范围. 2-1　 若不等式   >( a -1) x 的解集为 A ,且 A ⊆ { x |0< x <2},则实数 a 的取值范围 是 　　　     . 答案 　(2,+ ∞ ) 解析     令 y 1 =   , y 2 =( a -1) x , 其中 y 1 =   表示以(2,0)为圆心, 以2为半径的圆在 x 轴的上方的部分 (包括圆与 x 轴的交点),如图所示, y 2 =( a -1) x 表示过原点的直线系,不等式   >( a -1) x 的解集即两函数图象中 半圆在直线上方的部分所对应的 x 值.由于不等式解集 A ⊆ { x |0< x <2},因此,只 需要 a -1>1,即 a >2. 2-2     已知函数 f ( x +1)= f ( x )+1,当 x ∈[0,1]时, f ( x )=|3 x -1|-1,若对任意实数 x ,都有 f ( x + a )> f ( x )成立,则实数 a 的取值范围是 　　　　　　　　     . 答案        ∪   解析 　作出函数 f ( x )的图象如图,对任意实数 x ,都有 f ( x + a )> f ( x )成立,则 a >0,且 当 A 点移动到 C 点右侧,且不与点 D 重合时满足题意,则 a >   ,且 a ≠   . 题型三　利用函数性质求解含参不等式 例3     (2019苏州期中,18)已知 f ( x )=e x -   是奇函数. (1)求实数 a 的值; (2)求函数 y =e 2 x +e -2 x -2 λf ( x )在 x ∈[0,+ ∞ )上的值域; (3)令 g ( x )= f ( x )-2 x ,求不等式 g ( x 3 +1)+ g (1-3 x 2 )<0的解集. 解析 　(1)函数的定义域为R,因为 f ( x )为奇函数, 所以 f (0)=0,所以1- a =0,所以 a =1. 当 a =1时, f (- x )=e - x -   =-e x +   =- f ( x ), 此时 f ( x )为奇函数. (2)令e x -   = t ( t ≥ 0),所以e 2 x +   = t 2 +2, 所以 h ( t )= t 2 -2 λt +2,图象对称轴为直线 t = λ . ①当 λ ≤ 0时, h ( t )∈[ h (0),+ ∞ ),所求值域为[2,+ ∞ ); ②当 λ >0时, h ( t )∈[ h ( λ ),+ ∞ ),所求值域为[2- λ 2 ,+ ∞ ). (3) g ( x )的定义域为R.因为 f ( x )=e x -   为奇函数, 所以 g (- x )= f (- x )-2(- x )=- f ( x )+2 x =- g ( x ), 所以 g ( x )= f ( x )-2 x 为奇函数, 所以 g ( x 3 +1)+ g (1-3 x 2 )<0等价于 g ( x 3 +1)< g (3 x 2 -1). 又 g '( x )= f '( x )-2=e x +   -2 ≥ 2-2=0,当且仅当 x =0时,等号成立, 所以 g ( x )= f ( x )-2 x 在R上单调递增, 所以 x 3 +1<3 x 2 -1,即 x 3 -3 x 2 +2<0, 即( x -1)( x 2 -2 x -2)<0, 所以 x <1-   或1< x <1+   . 所以不等式的解集是(- ∞ ,1-   ) ∪ (1,1+   ). 【方法归纳】　利用函数的单调性解含参数不等式时,首先把不等号两边的 式子所对应的函数设出来,然后利用函数的单调性进行求解;利用导数解含参 数不等式时,关键在于灵活地构造函数,然后通过函数的性质来求解不等式. 3-1 　定义域为R的函数 f ( x )=   .若对于任意 t ∈R,不等式 f ( t 2 -2 t )<- f (2 t 2 - k )恒 成立,求 k 的取值范围. 解析 　任取 x 1 , x 2 ∈R,不妨设 x 1 < x 2 ,则 f ( x 1 )- f ( x 2 )=   >0,则函数 f ( x )为R 上的减函数,易知 f ( x )又为R上的奇函数, 故不等式 f ( t 2 -2 t )<- f (2 t 2 - k )可化为 t 2 -2 t >-2 t 2 + k , 即 k <3 t 2 -2 t 恒成立,而3 t 2 -2 t 的最小值为-   ,所以 k <-   . 3-2 　已知函数 f ( x )=2ln x + x 2 - ax , a ∈R. (1)若 a =e,解不等式 f ( x )<2; (2)求证:当 a >4时,函数 f ( x )只有一个零点. 解析　 (1)当 a =e时, f ( x )=2ln x + x 2 -e x , f '( x )=   +2 x -e=   .因为e 2 -16<0,2>0, 所以2 x 2 -e x +2>0,所以 f ( x )在(0,+ ∞ )上单调递增.又因为 f (e)=2ln e+e 2 -e·e=2,所以 f ( x )<2 ⇔ f ( x )< f (e), 因此不等式 f ( x )<2的解集为(0,e). (2)证明: f '( x )=   +2 x - a =   , x ∈(0,+ ∞ ), 令 g ( x )=2 x 2 - ax +2,当 a >4时, Δ = a 2 -16>0, 所以 g ( x )=2 x 2 - ax +2一定有两个零点,设为 x 1 , x 2 ( x 1 < x 2 ), 因为 x 1 + x 2 =   >0, x 1 x 2 =1,所以0< x 1 <1< x 2 .又在(0, x 1 ),( x 2 ,+ ∞ )上 g ( x )>0,即 f '( x )>0,在 ( x 1 , x 2 )上 g ( x )<0,即 f '( x )<0,则 f ( x )在区间(0, x 1 ),( x 2 ,+ ∞ )上单调递增,在区间( x 1 , x 2 ) 上单调递减. 因为 g ( x 1 )=2   - ax 1 +2=0, 所以 f ( x 1 )=2ln x 1 +   - ax 1 =2ln x 1 -   -2. 因为0< x 1 <1,所以 f ( x 1 )=2ln x 1 -   -2<2ln 1-   -2<0,所以 f ( x 2 )< f ( x 1 )<0.又 f ( a )=2ln a + a 2 - a 2 =2ln a >0,所以 f ( x )只有一个零点. 1.(2017江苏,11,5分)已知函数 f ( x )= x 3 -2 x +e x -   ,其中e是自然对数的底数,若 f ( a - 1)+ f (2 a 2 ) ≤ 0,则实数 a 的取值范围是 　　     . 答案        解析 　因为 f (- x )=- x 3 +2 x +   -e x =- f ( x ),且 f ( x )的定义域为R,所以函数 f ( x )是奇函 数.因为 f '( x )=3 x 2 -2+e x +e - x ≥ 3 x 2 -2+2   ≥ 0,所以 f ( x )在R上单调递增,又 f ( a - 1)+ f (2 a 2 ) ≤ 0,即 f (2 a 2 ) ≤ f (1- a ),所以2 a 2 ≤ 1- a ,即2 a 2 + a -1 ≤ 0,解得-1 ≤ a ≤   ,故实 数 a 的取值范围是   . 2.(2017江阴中学期中)已知函数 f ( x )是定义在R上的奇函数,当 x ≥ 0时, f ( x )=   (| x - a |+| x -2 a |-3| a |).若集合{ x | f ( x -1)- f ( x )>0, x ∈R}= ⌀ ,则实数 a 的取值范围为 　         . 答案        解析 　当 a ≤ 0时,由 x ≥ 0得 f ( x )=   ( x - a + x -2 a +3 a )= x .因为 f ( x )是奇函数,所以 f ( x )= x ( x ∈R),此时 f ( x -1)= x -1,则 f ( x -1)- f ( x )=-1>0无解,满足题意; 当 a >0时,由 x ≥ 0 得 f ( x )=   根据 f ( x )是奇函数,从而作出如图所示的 f ( x )的图象,要使{ x | f ( x -1)- f ( x )>0, x ∈R}= ⌀ ,则0<6 a ≤ 1,此时0< a ≤   .综上所述,实数 a 的取值范围 是   .