2018年达利教育卓越奖初中学科竞赛高二数学

2018年达利教育卓越奖初中学科竞赛高二数学

‎2018年“达利教育卓越奖”高中学科竞赛 高二数学试题 ‎（试卷总分100分；考试时间120分钟）‎ 题号 一 二 三 总分 ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ 成绩 评卷人 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 答案 ‎1．学校组织社团活动，要将甲、乙、丙、丁四名同学分配到三个不同的社团，每个社团至少分配到一名同学，且甲、乙两名同学不能分配到同一个社团，则不同的分配种数为（ ▲ ）‎ A．24 B．‎30 C．36 D．81 ‎ ‎2.直线和圆没有公共点，则关于的方程有实数根的概率为（ ▲ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎3．函数在区间单调递减，在区间 上有零点，则的取值范围是（ ▲ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．设直线与抛物线相交于两点，与圆相切于点 ‎，且为线段的中点．若这样的直线恰有4条，则的取值范围是（ ▲ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2018年“达利教育卓越奖”高中学科竞赛高二数学试题 第 6 页 共 6 页 ‎5．数列满足，，记，若对任意的 恒成立，则正整数的最小值为（ ▲ ）‎ A．7 B．‎8 ‎‎ C．9 D．10‎ ‎6．在正三棱锥中，三条侧棱两两垂直.正三棱锥的内切球与三个侧面分别相切于点，与底面切于点，则三棱锥与三棱锥体积之比为（ ▲ ）‎ A． B． C． D． ‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）‎ ‎7．若函数的最大值是，最小值是，则 ．‎ ‎8．已知双曲线的左右焦点分别为，，焦距为，抛物线的准线交双曲线左支于两点，且为坐标原点），则该双曲线的离心率为 .‎ ‎9．在中，，，且，设为平面上的一点，则的最小值是 .‎ ‎10．如下图，在中，，，点为的中点，将 ‎ 沿折起到的位置，使，连接，‎ 得到三棱锥，若该三棱锥的所有顶点都在同 一球面上，则该球的表面积是 .‎ ‎11．在平面四边形中，,,的周长为15，若 的面积为，则的最小值为 .‎ ‎12．已知函数的导函数为，且对任意的实数都有 （是自然对数的底数），且，若关于的不等式的解集中恰有两 ‎ ‎2018年“达利教育卓越奖”高中学科竞赛高二数学试题 第 6 页 共 6 页 个整数，则实数的取值范围是 .‎ 三、解答题（本大题共3小题，共40分）‎ ‎13．（12分）如图，四棱柱中，平面．‎ ‎（1）从下列①②③三个条件中选择一个做为的充分条件，并给予证明；‎ ‎①；②；③是平行四边形．‎ ‎（2）设四棱柱的所有棱长都为1，且为锐角，求平面与平 面所成锐二面角的取值范围．‎ ‎2018年“达利教育卓越奖”高中学科竞赛高二数学试题 第 6 页 共 6 页 ‎14．（14分）如图，已知过点的直线与椭圆交于不同的两点、，点是弦 的中点．‎ ‎（1）若，求点的轨迹方程；‎ ‎（2）求的取值范围．‎ ‎2018年“达利教育卓越奖”高中学科竞赛高二数学试题 第 6 页 共 6 页 ‎15.（14分）已知函数，且直线是函数 的一条切线．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）对任意的，都存在，使得，求的取值范围；‎ ‎（3）已知方程有两个根，若，求证：．‎ ‎2018年“达利教育卓越奖”高中学科竞赛高二数学试题 第 6 页 共 6 页 ‎2018年“达利教育卓越奖”高中学科竞赛高二数学试题 第 6 页 共 6 页