2017届高考数学（文）（新课标）二轮专题复习（检测） 第三部分 专题七 选修4系列 作业28-29

2017届高考数学（文）（新课标）二轮专题复习（检测） 第三部分 专题七 选修4系列 作业28-29

极坐标与参数方程专练(一)·作业(二十八)‎ ‎1．(2016·武昌调研)将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的3倍，得曲线Γ.‎ ‎(1)写出Γ的参数方程；‎ ‎(2)设直线l：3x＋2y－6＝0与Γ的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．‎ 解析　(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为Γ上的点(x，y)，‎ 依题意，得解 由x12＋y12＝1，得()2＋()2＝1.即曲线Γ的方程为＋＝1.‎ 故Γ的参数方程为(t为参数)．(5分)‎ ‎(2)由解得或 不妨设P1(2，0)，P2(0，3)，则线段P1P2的中点坐标为(1，)，‎ 所求直线的斜率k＝.于是所求直线方程为y－＝(x－1)，即4x－6y＋5＝0.‎ 化为极坐标方程，得4ρcosθ－6ρsinθ＋5＝0.(10分)‎ ‎2．(2016·长沙调研)已知曲线C的极坐标方程为ρ2－2ρcos(θ＋)－2＝0.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy.‎ ‎(1)若直线l过原点，且被曲线C截得弦长最小，求直线l的直角坐标方程；‎ ‎(2)若M是曲线C上的动点，且点M的直角坐标为(x，y)，求x＋y的最大值．‎ 解析　(1)ρ2－2ρcos(θ＋)－2＝0，即ρ2－2ρcosθ＋2ρsinθ－2＝0，‎ 将代入曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝4，(3分)‎ 圆心C(1，－1)，若直线l被曲线C截得的弦长最小，则直线l与OC垂直，‎ 即kl·kOC＝－1，因而kl＝1，故直线l的直角坐标方程为y＝x.(6分)‎ ‎(2)因为M是曲线C上的动点，因而利用圆的参数方程可设(φ为参数)，则x＋y＝2sinφ＋2cosφ＝2sin(φ＋)，当sin(φ＋)＝1时，x＋y取得最大值2.(10分)‎ ‎3．(2016·山西协作体)在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知点P的直角坐标为(－3，－)，曲线C的极坐标方程为ρ＝5，直线l过点P且与曲线C相交于A、B两点．‎ ‎(1)求曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)若|AB|＝8，求直线l的直角坐标方程．‎ 解析　(1)由ρ＝5⇒ρ2＝25，得x2＋y2＝25，‎ 即曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝25.(4分)‎ ‎(2)设直线l的参数方程为(t为参数)， ①‎ 将参数方程①代入圆的方程x2＋y2＝25，‎ 得4t2－12(2cosα＋sinα)t－55＝0，(6分)‎ ‎∴Δ＝16[9(2cosα＋sinα)2＋55]>0，上述方程有两个相异的实数根，设为t1、t2，‎ ‎∴|AB|＝|t1－t2|＝＝8，‎ 化简有3cos2α＋4sinαcosα＝0，解得cosα＝0或tanα＝－，‎ 从而可得直线l的直角坐标方程为x＋3＝0或3x＋4y＋15＝0.(10分)‎ ‎4．(2016·唐山期末)将曲线C1：x2＋y2＝1上所有点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)得到曲线C2，A为C1与x轴正半轴的交点，直线l经过点A且倾斜角为30°，记l与曲线C1的另一个交点为B，与曲线C2在第一、三象限的交点分别为C，D.‎ ‎(1)写出曲线C2的普通方程及直线l的参数方程；‎ ‎(2)求|AC|－|BD|.‎ 解析　(1)由题意可得C2：＋y2＝1，l：(t为参数)．(4分)‎ ‎(2)将代入＋y2＝1，整理得5t2＋4t－4＝0.‎ 设点C，D对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝－，‎ 且|AC|＝t1，|AD|＝－t2.‎ 又|AB|＝2|OA|cos30°＝，‎ 故|AC|－|BD|＝|AC|－(|AD|－|AB|)＝|AC|－|AD|＋|AB|＝t1＋t2＋＝.(10分)‎ ‎5．(2016·东北四市联考)已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ＋3ρ2sin2θ＝12，且曲线C的左焦点F在直线l上．‎ ‎(1)若直线l与曲线C交于A，B两点，求|FA|·|FB|的值；‎ ‎(2)求曲线C的内接矩形的周长的最大值．‎ 解析　(1)曲线C的直角坐标方程为＋＝1，(1分)‎ 将左焦点F(－2，0)代入直线AB的参数方程，‎ 得m＝－2，(2分)‎ 直线AB的参数方程是(t为参数)，‎ 代入椭圆方程得t2－2t－2＝0，(3分)‎ 所以|FA|·|FB|＝2.(4分)‎ ‎(2)设椭圆C的内接矩形的顶点分别为(2cosα，2sinα)，(－2cosα，2sinα)，(2‎ cosα，－2sinα)，(－2cosα，－2sinα)(0<α<)，(6分)‎ 所以椭圆C的内接矩形的周长为8cosα＋8sinα＝16sin(α＋)，(8分)‎ 当α＋＝，即α＝时椭圆C的内接矩形的周长取得最大值16.(10分)‎ ‎6．(2016·广州模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：(t为参数)与曲线C2：(θ为参数，a>0)．‎ ‎(1)若曲线C1与曲线C2有一个公共点在x轴上，求a的值；‎ ‎(2)当a＝3时，曲线C1与曲线C2交于A，B两点，求A，B两点的距离．‎ 解析　(1)曲线C1：的普通方程为y＝3－2x.(1分)‎ 曲线C1与x轴的交点为(，0)．(2分)‎ 曲线C2：的普通方程为＋＝1.(3分)‎ 曲线C2与x轴的交点为(－a，0)，(a，0)．(4分)‎ 由a>0，曲线C1与曲线C2有一个公共点在x轴上，知a＝.(5分)‎ ‎(2)当a＝3时，曲线C2：为圆x2＋y2＝9.(6分)‎ 圆心到直线y＝3－2x的距离d＝＝.(8分)‎ 所以A，B两点的距离|AB|＝2＝2＝.(10分)‎ 极坐标与参数方程专练(二)·作业(二十九)‎ ‎1．(2016·宜春、新余联考)已知直线l：(t为参数)，曲线C1：(θ为参数)．‎ ‎(1)设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；‎ ‎(2)若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的，纵坐标压缩为原来的，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．‎ 解析　(1)l的普通方程为y＝(x－1)，‎ C1的普通方程为x2＋y2＝1.‎ 联立方程解得l与C1的交点为A(1，0)，‎ B(，－)，则|AB|＝1.(5分)‎ ‎(2)C2的参数方程为(θ为参数)，故点P的坐标是(cosθ，sinθ)，‎ 从而点P到直线l的距离是d＝＝|sin(θ－)＋2|，‎ 由此当sin(θ－)＝－1时，d取得最小值，且最小值为(－1)．(10分)‎ ‎2．(2016·石家庄质检)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程ρ＝4sinθ－2cosθ.‎ ‎(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)若直线l与y轴的交点为P，直线l与曲线C的交点为A，B，求|PA||PB|的值．‎ 解析　(1)直线l的普通方程为x－y＋3＝0，(2分)‎ ‎∵ρ2＝4ρsinθ－2ρcosθ，(3分)‎ ‎∴曲线C的直角坐标方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5.(5分)‎ ‎(2)将直线l的参数方程(t为参数)代入曲线C：(x＋1)2＋(y－2)2＝5，‎ 得到t2＋2t－3＝0，(7分)‎ ‎∴t1t2＝－3，(9分)‎ ‎∴|PA||PB|＝|t1t2|＝3.(10分)‎ ‎3．(2016·湖北七校)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin(θ＋)＝，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2acos(θ－)(a>0)．‎ ‎(1)求直线l与曲线C1的交点的极坐标(ρ，θ)(ρ≥0，0≤θ<2π)；‎ ‎(2)若直线l与C2相切，求a的值．‎ 解析　(1)曲线C1的普通方程为y＝x2，x∈[－，]，直线l的直角坐标方程为x＋y＝2，联立解得或(舍去)，‎ 故直线l与曲线C1的交点的直角坐标为(1，1)，其极坐标为(，)．(5分)‎ ‎(2)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2＋2ax－2ay＝0，即(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2(a>0)．‎ 由直线l与C2相切，得＝a，故a＝1.(10分)‎ ‎4．(2016·山西四校)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ(cosθ＋ksinθ)＝－2(k为实数)．‎ ‎(1)判断曲线C1与直线l的位置关系，并说明理由；‎ ‎(2)若曲线C1和直线l相交于A，B两点，且|AB|＝，求直线l的斜率．‎ 解析　(1)由曲线C1的参数方程可得其普通方程为(x＋1)2＋y2＝1.(1分)‎ 由ρ(cosθ＋ksinθ)＝－2可得直线l的直角坐标方程为x＋ky＋2＝0.(3分)‎ 因为圆心(－1，0)到直线l的距离d＝≤1，所以直线与圆相交或相切，‎ ‎(5分)‎ 当k＝0时，直线l与曲线C1相切；‎ 当k≠0时，直线l与曲线C1相交．(6分)‎ ‎(2)由于曲线C1和直线l相交于A，B两点，且|AB|＝，故圆心到直线l的距离d＝＝＝，(8分)‎ 解得k＝±1，所以直线l的斜率为±1.(10分)‎ ‎5．(2016·衡水调研)在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1：ρ2－4ρcosθ＋3＝0，θ∈[0，2π]，曲线C2：ρ＝，θ∈[0，2π]．‎ ‎(1)求曲线C1的一个参数方程；‎ ‎(2)若曲线C1和曲线C2相交于A，B两点，求|AB|的值．‎ 解析　(1)由ρ2－4ρcosθ＋3＝0可得，x2＋y2－4x＋3＝0.‎ ‎∴(x－2)2＋y2＝1.(2分)‎ 令x－2＝cosα，y＝sinα.‎ ‎∴C1的一个参数方程为(α为参数，α∈R)．(4分)‎ ‎(2)C2：4ρ(sincosθ－cossinθ)＝3，‎ ‎∴4(x－y)＝3，即2x－2y－3＝0.(6分)‎ ‎∵直线2x－2y－3＝0与圆(x－2)2＋y2＝1相交于A，B两点，‎ ‎∴圆心到直线的距离d＝，(8分)‎ ‎∴|AB|＝2×＝2×＝.(10分)‎ ‎6．(2016·福州五校联考)在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：(α为参数)，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρcos(θ－)＝－，曲线C3：ρ＝2sinθ.‎ ‎(1)求曲线C1与C2的交点M的直角坐标；‎ ‎(2)设点A，B分别为曲线C2，C3上的动点，求|AB|的最小值．‎ 解析　(1)曲线C1：消去参数α，得y＋x2＝1，x∈[－1，1]．　①‎ 曲线C2：ρcos(θ－)＝－⇒x＋y＋1＝0，　②‎ 联立①②，消去y可得：x2－x－2＝0⇒x＝－1或x＝2(舍去)，所以M(－1，0)．(5分)‎ ‎(2)曲线C3：ρ＝2sinθ⇒x2＋(y－1)2＝1，是以(0，1)为圆心，半径r＝1的圆．‎ 设圆心为C，点C，B到直线x＋y＋1＝0的距离分别为d，d′，‎ 则d＝＝，|AB|≥d′≥d－r＝－1，‎ 所以|AB|的最小值为－1.(10分)‎