宁夏育才中学2019-2020学年高二下学期开学检测数学（理）试题

宁夏育才中学2019-2020学年高二下学期开学检测数学（理）试题

宁夏育才中学2019-2020学年第二学期期中考试 高二理科数学 ‎（考试时间120分钟，满分150分）‎ 一、单选题（每小题5分，共60分）‎ ‎1.若是关于的实系数方程的一个复数根，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，将根代入实系数方程x2+bx+c＝0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a，b的方程组，解方程得出a，b的值即可选出正确选项 ‎【详解】由题意1i是关于x的实系数方程x2+bx+c＝0‎ ‎∴1+2i﹣2+bbi+c＝0，即 ‎∴，解得b＝﹣2，c＝3‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查复数相等的充要条件，解题的关键是熟练掌握复数相等的充要条件，能根据它得到关于实数的方程，本题考查了转化的思想，属于基本计算题 ‎2.已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 考查复数基本概念，由可计算出，即可得出选项 ‎【详解】由，选择C.‎ ‎【点睛】考查复数的基本概念，属于基础题.‎ ‎3.设f(n)＝1＋＋＋…＋ (n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于(　　)‎ A. B. ＋ C. ＋ D. ＋＋‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由题意可得：‎ 本题选择D选项.‎ ‎4.甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有两位优秀，两位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（ ）‎ A. 乙、丁可以知道自己的成绩 B. 乙可以知道四人的成绩 C. 乙、丁可以知道对方的成绩 D. 丁可以知道四人的成绩 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据甲的所说的话，可知乙、丙的成绩中一位优秀、一位良好，再结合简单的合情推理逐一分析可得出结果.‎ ‎【详解】因为甲、乙、丙、丁四位同学中有两位优秀、两位良好，‎ 又甲看了乙、丙的成绩且还不知道自己的成立，即可推出乙、丙的成绩中一位优秀、一位良好，‎ 又乙看了丙的成绩，则乙由丙的成绩可以推出自己的成绩，‎ 又甲、丁的成绩中一位优秀、一位良好，则丁由甲的成绩可以推出自己的成绩.‎ 因此，乙、丁知道自己的成绩，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查简单的合情推理，解题时要根据已知的情况逐一分析，必要时可采用分类讨论的思想进行推理，考查逻辑推理能力，属于中等题.‎ ‎5.关于演绎推理的说法正确的是（ ）‎ A. 演绎推理是由一般到一般的推理 B. 只要大前提正确，由演绎推理得到的结果必正确 C. 演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的情况下，得到的结论一定正确 D. 演绎推理不能用于命题的证明 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据演绎推理的概念可知A错误；演绎推理得到的结论是否正确，取决于前提是否真实和推理的形式是否正确，所以B错误；根据演绎推理的“三段论”模式，可判断出C正确，D错误.‎ ‎【详解】演绎推理是由一般到特殊的推理，是一种必然性的推理，故A不正确；‎ 演绎推理得到的结论不一定是正确的，还要取决于小前提是否真实，故B不正确；‎ 演绎推理的一般模式是“三段论”形式，即大前提、小前提和结论，在大前提、小前提和推理形式都正确的情况下，得到的结论一定正确， 故C正确；‎ 演绎推理可以用于命题的证明，故D不正确.‎ 综上，C是正确的.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了演绎推理的概念以及演绎推理的“三段论”模式，考查学生对这些知识的掌握与理解能力，属于基础题.‎ ‎6.如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法种数是(　　)‎ A. 420 B. ‎210 ‎C. 70 D. 35‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将不同的染色方案分为：相同和不同两种情况，相加得到答案.‎ ‎【详解】按照的顺序：‎ 当相同时：染色方案为 ‎ 当不同时：染色方案为 ‎ 不同的染色方案为：种 故答案为A ‎【点睛】本题考查了加法原理和乘法原理，把染色方案分为相同和不同两种情况是解题的关键.‎ ‎7.某工厂某产品产量(千件)与单位成本(元)满足回归直线方程,则以下说法中正确的是(　　)‎ A. 产量每增加件,单位成本约下降元 B. 产量每减少件,单位成本约下降元 C. 当产量为千件时,单位成本为元 D. 当产量为千件时,单位成本为元 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎,用可得.‎ ‎【详解】令,‎ 因为,‎ 所以产量每增加件,单位成本约下降元.‎ ‎【点睛】本题考查了线性回归分析.属基础题.‎ ‎8.已知，则（ ）‎ A. 5 B. ‎7 ‎C. 10 D. 14‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用排列数公式，化简方程求解即可.‎ ‎【详解】，‎ 可得，‎ 即，‎ 解得 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查排列数公式的应用，考查学生的运算求解能力，属于基础题.‎ ‎9.如图，某城市中，、两地有整齐的道路网，若规定只能向东或向北两个方向沿途中路线前进，则从到不同的走法共有（ ）‎ A. 10 B. ‎13 ‎C. 15 D. 25‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 向北走的路有5条，向东走的路有3条，走路时向北走的路有5种结果，向东走的路有3种结果，根据分步计数原理计算得出答案 ‎【详解】因为只能向东或向北两个方向 向北走的路有5条，向东走的路有3条 走路时向北走的路有5种结果，向东走的路有3种结果 根据分步计数原理知共有种结果，选C ‎【点睛】本题考查分步计数原理，本题的关键是把实际问题转化成数学问题，看出完成一件事共有两个环节，每一步各有几种方法，属于基础题．‎ ‎10.下列曲线中，在处切线的倾斜角为的是 （ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】在x=1处切线的倾斜角为,即有切线的斜率为tan=−1.‎ 对于A,的导数为，可得在x=1处切线的斜率为5；‎ 对于B,y=xlnx的导数为y′=1+lnx，可得在x=1处切线的斜率为1；‎ 对于C,的导数为，可得在x=1处切线的斜率为；‎ 对于D,y=x3−2x2的导数为y′=3x2−4x，可得在x=1处切线的斜率为3−4=−1.‎ 本题选择D选项.‎ ‎11.已知函数的图象在点M(1,f(1))处的切线方程是+2,则的值等于( )‎ A. 0 B. ‎1 ‎C. D. 3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据导数定义，求得的值；根据点在切线方程上，求得的值，进而求得的值．‎ ‎【详解】点M(1,f(1))在切线上，所以 ‎ 根据导数几何意义，所以 ‎ 所以 ‎ 所以选D ‎【点睛】本题考查了导数的几何意义及点在曲线上的意义，属于基础题．‎ ‎12.已知函数在上单调递减，且的图象关于直线对称，则，，的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意得出函数在上单调递增，比较，，的大小，结合函数的单调性即可得出的大小关系.‎ ‎【详解】因为函数在上单调递减，且的图象关于直线对称 所以函数上单调递增 又因为，所以，即 故选:D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的对称性的应用以及利用函数单调性比较大小，属于中档题.‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13.在复数集上，方程的根是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将方程配方得出，由此得出该方程的虚根.‎ ‎【详解】将方程配方变形得，即，解得.‎ 因此，方程的根是.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查了一元二次方程根的求解，属于基础题，当根的判别式小于时，方程有一对共轭的虚数根.‎ ‎14.的展开式中的系数是___________（用数字作答）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二项式定理展开式,即可求得的系数.‎ ‎【详解】由二项式定理展开式可知,‎ 展开式中的系数为 ‎ 展开式中的系数为 所以的系数是 故答案为: ‎ ‎【点睛】本题考查了二项式定理展开式的应用,指定项系数的求法,属于基础题.‎ ‎15.定积分____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据定积分的几何意义即可求出．‎ ‎【详解】令，则（x1）2+y2＝1表示以（1，0）为圆心，以1为半径的圆，其面积为π，‎ 所以表示半径为1的四分之一圆的面积,如下图.‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查定积分的几何意义，准确转化为图形的面积是解决问题的关键，属基础题．‎ ‎16.设函数，若存在实数使得恒成立，则 的取值范围是____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数的定义域为，将恒成立，转化为恒成立，得到，构造新函数，利用导数求得函数的最值，得出关于的不等式，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，函数的定义域为，‎ 要使得存在实数使得恒成立，即恒成立，‎ 只需恒成立，即恒成立，‎ 即，‎ 设，则，‎ 当时，，函数单调递增，‎ 当时，，函数单调递减，‎ 所以当时，函数取得最大值，最大值为，即，‎ 设，则，‎ 当时，，函数单调递减，‎ 当时，，函数单调递增，‎ 所以当时，函数取得最小值，最小值为，即，‎ 所以只需，解得，即实数的取值范围是，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数求参数的取值范围问题，其中涉及到利用导数求函数的最值问题，难度较大.构造函数是求解导数问题的常用方法.‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎17.（1）6个人按下列要求站一横排，甲、乙必须相邻，有多少种不同的站法？‎ ‎（2）6个人按下列要求站一横排，甲不站左端，乙不站右端．有多少种不同的站法？‎ ‎（3）用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个六位数且是奇数（无重复数字的数）？‎ ‎（4）用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个个位上的数字不是5的六位数（无重复数字的数）？‎ ‎【答案】（1）240；（2）504；（3）288；（4）504.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）相邻问题采用“捆绑法”，即可得出结果；‎ ‎（2）采用特殊位置优先法，先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置，即可得解；‎ ‎（3）先求出个位数的排列数，然后对首位数进行考虑，注意首位不能为0，再对剩余位进行排列，最后将排列数相乘即可得出结果；‎ ‎（4）当个位为0时，剩余可随意排列，当个位不为0时，先对个位进行排列，在考虑首位不为零的问题，剩余位随意排列，然后将两种情况相加即可得出结果.‎ ‎【详解】（1）把甲乙看成一个整体后，进行全排列，有种排法，‎ 再对甲乙进行全排列，有种排法，‎ 所以共有种排法；‎ ‎（2）当甲在右端时，其余的5个人任意排，有种排法，‎ 当甲不在右端时，因为甲不在左端，所以甲有4种排法，‎ 再排乙，乙有4种排法，最后，其余人任意排，有种排法，‎ 所以，甲不在右端时，共有种排法，‎ 故甲不站左端，乙不站右端的排法有种；‎ ‎（3）第一步，排个位，有种排法；‎ 第二步，排十万位，有种排法；‎ 第三步，排其他位，有种排法，‎ 根据分步乘法计数原理，共有个六位奇数，‎ 用这六个数字可以组成个六位数且是奇数；‎ ‎（4）当个位为0时，有种排法；‎ 当个位不为0时，有种排法；‎ ‎，‎ 所以，用这六个数字可以组成个个位上的数字不是5的六位数.‎ ‎【点睛】本题主要考查排列数的应用以及排列数的计算问题，属于中档题. 一些常见类型的排列组合问题的解法：‎ ‎（1）特殊元素、特殊位置优先法 元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；‎ 位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；‎ ‎（2）分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏；‎ ‎（3）间接法（排除法），从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法；‎ ‎（4）捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列；‎ ‎（5）插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空；‎ ‎（6）去序法或倍缩法；‎ ‎（7）插板法：个相同元素，分成组，每组至少一个的分组问题.把个元素排成一排，从个空中选个空，各插一个隔板，有；‎ ‎（8）分组、分配法：有等分、不等分、部分等分之别.‎ ‎18.老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格，某同学只能背诵其中的6篇，试求：‎ ‎(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列；‎ ‎(2)他能及格的概率．‎ ‎【答案】（1）见解析（2） ‎ ‎【解析】‎ ‎(1)设随机抽出的3篇课文中该同学能背诵的篇数为X，则X是一个随机变量，它可能的取值为0、1、2、3，且X服从超几何分布，分布列如下：‎ X ‎ ‎0 ‎ ‎1 ‎ ‎2 ‎ ‎3 ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 即 X ‎ ‎0 ‎ ‎1 ‎ ‎2 ‎ ‎3 ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(2)该同学能及格表示他能背出2或3篇，故他能及格的概率为P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝≈0.667.‎ ‎19.“一本书，一碗面，一条河，一座桥”曾是兰州的城市名片，而现在“兰州马拉松”又成为了兰州的另一张名片，随着全民运动健康意识的提高，马拉松运动不仅在兰州，而且在全国各大城市逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人口逐年增加．为此，某市对人们参加马拉松运动的情况进行了统计调查．其中一项调查是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取200人，对其每周参与马拉松长跑训练的天数进行统计，得到以下统计表：‎ 平均每周进行长跑训练的天数 不大于2天 ‎3天或4天 不少于5天 人数 ‎30‎ ‎130‎ ‎40‎ 若某人平均每周进行长跑训练天数不少于5天，则称其为“热烈参与者”，否则称为“非热烈参与者”．‎ ‎（1）经调查，该市约有2万人参与马拉松运动，试估计其中“热烈参与者”的人数；‎ ‎（2）根据上表的数据，填写下列列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过的前提下认为“是否热烈参与马拉松”与性别有关？‎ 热烈参与者 非热烈参与者 合计 男 ‎140‎ 女 ‎55‎ 合计 参考公式及数据：，其中．‎ ‎【答案】（1）4000；（2）不超过0.01的前提下认为“热烈参与马拉松”与性别有关 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用样本数据的频率进行估计总体人数；‎ ‎（2）计算卡方的数值，根据临界值表进行判断.‎ ‎【详解】（1）以200‎ 人中“热烈参与者”的频率作为概率，则该市：热烈参与者“的人数约为：20000×=4000．‎ ‎（2）‎ 热烈参与者 非热烈参与者 合计 男 ‎35‎ ‎105‎ ‎140‎ 女 ‎5‎ ‎55‎ ‎60‎ 合计 ‎40‎ ‎160‎ ‎200‎ K2=≈7.292＞6.635，‎ 故能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“热烈参与马拉松”与性别有关．‎ ‎【点睛】本题主要考查独立性检验，利用样本估计总体，侧重考查数据分析和数学运算核心素养.‎ ‎20.某品牌手机厂商推出新款的旗舰机型，并在某地区跟踪调查得到这款手机上市时间（第周）和市场占有率（）的几组相关数据如下表：‎ ‎（1）根据表中的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；‎ ‎（2）根据上述线性回归方程，预测在第几周，该款旗舰机型市场占有率将首次超过（最后结果精确到整数）．‎ 参考公式：，．‎ ‎【答案】（1）；（2）预测第周，该款旗舰机型市场占有率将首次超过.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）计算出和的值，将表格中的数据代入最小二乘法公式，计算出和的值，即可得出回归直线方程；‎ ‎（2）在回归直线方程中，令，解出的范围，即可得出结论.‎ ‎【详解】（1）由题中的数据可得，，‎ 则，‎ 所以，‎ 所以关于的线性回归方程为；‎ ‎（2）由（1）知，令，解得， ‎ 所以预测在第周，该款旗舰机型市场占有率将首次超过．‎ ‎【点睛】本题考查利用最小二乘法求回归直线方程，同时也考查了利用回归直线方程解决实际问题，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎21.已知函数在处取得极小值1．‎ ‎（1）求的解析式；（）‎ ‎（2）求在上的最值．‎ ‎【答案】（1）；（2）函数在上的最大值为5，最小值为3.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求导，根据题意可得，解此方程组即可解出，的值，进而得到函数的解析式；‎ ‎（2）先根据导数判断出函数的单调性，再求出极值和端点值，比较即可得到最值.‎ ‎【详解】（1），‎ ‎，‎ 函数在处取得极小值1，‎ ‎，即，‎ 解得，，‎ 的解析式为；‎ ‎（2）由，‎ 令，解得或，‎ 当时，解得或，在和上单调递增；‎ 当时，解得，在上单调递减；‎ 所以当时，函数取得极大值，极大值为，‎ 当时，函数取得极小值，极小值为，‎ 又，，‎ 故函数在上的最大值为5，最小值为3.‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值问题，掌握求极值的方法是求解本题的关键，属于中档题.‎ ‎（1）函数的最大值与最小值：在闭区间上连续的函数，在上必有最大值与最小值；但在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值；‎ ‎（2）求最大值与最小值的步骤：设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤如下：‎ ‎①求在内的极值；‎ ‎②将各极值与，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.‎ ‎22.已知函数，.‎ ‎（1）当时，求函数的极值；‎ ‎（2）当时，若对任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】（1）函数的极大值为，无极小值；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将代入函数的解析式，利用导数求出该函数的极值点，并分析导数符号的变化，然后将极值点代入函数解析式即可得出该函数的极值；‎ ‎（2）由，利用参变量分离法得出，构造函数，，可得出，利用导数求出函数的最大值，即可求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1）当时，，.‎ ‎，令，得，列表如下：‎ 极大值 函数的极大值为，无极小值；‎ ‎（2），由，可得，‎ 构造函数，，则，且，‎ 令，解得，列表如下：‎ 极大值 所以，函数在取得极大值，亦即最大值，即，‎ ‎，因此，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求函数的极值，同时也考查了利用导数求解函数不等式恒成立问题，在含单参数的函数不等式问题中，可利用分类讨论思想或参变量分离法求解，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.‎