专题14+导数的概念及运算（检测）-2019年高考数学（理）名师揭秘之一轮总复习

专题14+导数的概念及运算（检测）-2019年高考数学（理）名师揭秘之一轮总复习

本专题特别注意：‎ ‎1.在某点处的切线方程 ‎2.过某点的切线方程 ‎3.与切线有关的最值问题 ‎4.导数的物理意义 ‎5.导数与反函数综合 ‎6.导数的几何意义综合 ‎7.分段函数的导数几何意义问题 ‎【学习目标】‎ ‎1．了解导数概念的实际背景．‎ ‎2．理解导数的意义及几何意义．‎ ‎3．能根据导数定义求函数y＝C(C为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数．‎ ‎4．能利用基本初等函数的导数公式及导数运算法则进行某些函数的求导．‎ ‎【知识要点】‎ ‎1．平均变化率及瞬时变化率 ‎(1)函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率用表示，且＝.‎ ‎(2)函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是：‎ ＝ .‎ ‎2．导数的概念 ‎(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ .‎ ‎(2)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)是一个确定的数，当x变化时，f′(x)是x的一个函数，称f′(x)为f(x)的导函数(简称导数)，即f′(x)＝ .‎ ‎3．导数的几何意义和物理意义 几何意义：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是曲线y＝f(x)上点(x0， f(x0))处切线的斜率k，即k＝f′(x0)；切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)( x－x0)．‎ 物理意义：若物体位移随时间变化的关系为s＝f(t)，则f′(t0)是物体运动在t＝t0时刻的 ‎ 瞬时速度 ‎4．基本初等函数的导数公式 ‎ (1)常用函数的导数 ‎①(C)′＝0 (C为常数); ②(x)′＝1；‎ ‎③(x2)′＝2x； ④′＝；‎ ‎⑤()′＝．‎ ‎(2)初等函数的导数公式 ‎①(xn)′＝nx； ②(sin x)′＝cos x；‎ ‎③(cos x)′＝-sin x； ④(ex)′＝ex；‎ ‎⑤(ax)′＝axln a； ⑥(ln x)′＝；‎ ‎⑦(logax)′＝．‎ ‎5．导数的运算法则 ‎(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；‎ ‎(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)；‎ ‎(3)′＝．‎ ‎6．复合函数的导数 ‎(1)对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这两个函数(函数y＝f(u)和u＝g(x))的复合函数为y＝f(g(x))．‎ ‎(2)复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．‎ 一、单选题 ‎1．已知是函数的导函数，且对任意的实数都有（是自然对数的底数），，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析:利用，合理构造新函数即可．‎ 点睛: 本题需要构造函数，一般：（1）条件含有，就构造,（2）若，就构造，（3），就构造，（4）就构造，等便于给出导数时联想构造函数.‎ ‎2．定义：如果函数的导函数为，在区间上存在，使得，，则称为区间上的"双中值函数"．已知函数是上的"双中值函数"，则实数的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：根据题意可得，从而得方程在区间内有两个不同的实数解，然后利用二次函数的性质求出的取值范围．‎ 详解：∵，‎ ‎∴．‎ ‎∵函数是上的"双中值函数"，‎ ‎∴存在，使得，‎ ‎∴方程在区间上有两个不同的解，‎ 令，‎ 则，解得．‎ ‎∴实数的取值范围是．‎ 故选D．‎ 点睛：解答本题时注意两点：一是解题时要以给出的定义、方法为基础，这是解题的关键；二是合理运用转化的方法，将问题转化为方程在给定区间上有两个不相等实根的问题，最后根据二次方程根的分布的有关知识解决．‎ ‎3．若函数在上可导，且满足，则一定有(　　)‎ A. 函数在上为增函数 B. 函数在上为减函数 C. 函数在上为增函数 D. 函数在上为减函数 ‎【答案】A ‎【解析】分析：构造线函数，求得导数，根据导数可知函数在上单调递增，即可得到结论．‎ 点睛：本题主要考查了函数的单调性与导数的关系，属于基础题，解答的关键是现得到导数的正负，再利用导数的性质得出函数的单调性，本题的难点在于构造合适的函数，着重考查了分析问题和解答问题的能力．．‎ ‎4．设函数的导函数记为，若，则（ ）‎ A. -1 B. C. 1 D. 3‎ ‎【答案】D 点睛：该题涉及到的知识点有正余弦的求导公式，同角三角函数关系式，还有就是函数在某点处的导数就是导函数在相应的点处的函数值，利用公式求得结果.‎ ‎5．已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：该题属于已知函数零点个数求参数范围的问题，解决该题的思路是转化为方程解的个数来完成，需要明确函数图像的走向，找出函数的极值，从而结合图像完成任务.‎ 详解： ，即，结合函数解析式，可以求得方程的根为或，从而得到和一共有三个根，即共有三个根，当时， ， ，从而可以确定函数在上是减函数，在 上是增函数，在上是减函数，且，此时两个值的差距小于2，所以该题等价于或或或或，解得或或，所以所求a的范围是，故选B.‎ 点睛：解决该题的关键是明确函数图像的走向，利用数形结合，对参数进行分类讨论，最后求得结果，利用导数研究函数的单调性显得尤为重要.‎ ‎6．已知函数 满足，在下列不等关系中，一定成立的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A 点睛：本题的关键在于通过（x）能得到，得到，问题就迎刃而解.所以在这里，观察和联想的数学能力很重要.‎ ‎7．已知定义在上的函数满足，且的导函数，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】令，则．‎ ‎∴在上单调递减，‎ 又，‎ ‎∴原不等式等价于，‎ ‎∴，‎ ‎∴不等式的解集为．选C．‎ ‎8．已知函数在上非负且可导，满足， ,若,则下列结论正确的是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【方法点睛】本题主要考查抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.本题通过观察四个选项，联想到函数，再结合条件判断出其单调性，进而得出正确结论.‎ ‎9．已知函数y=f(x)对任意的满足 (其中为函数f(x)的导函数),则下列不等式成立的是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】 令，则，‎ ‎ 因为，则，所以，‎ ‎ 所以，即，即，故选B.‎ 点睛：本题考查了函数的单调性和导数的关系，以及利用函数的单调比较大小关系，其中熟记函数四则运算中商的导数公式，以及构造出相应的函数模型是解答的关键，属于中档试题.‎ ‎10．已知函数在其定义域上单调递减，则函数的图象可能是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎ ‎ ‎11．定义：如果函数在区间上存在 ，满足， ，则称函数是在区间上的一个双中值函数，已知函数是区间上的双中值函数，则实数的取值范围是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【方法点睛】本题考查导数的运算法则、一元二次方程根的分布、新定义问题及数形结合思想，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题定义“双中值函数”达到考查导数的运算法则、一元二次方程根的分布的目的. ‎ ‎12．定义在上的函数是它的导函数，则恒有成立，则 （ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎ 点睛：本题主要考查了导数在函数中的综合应用问题，其中解答中涉及到导数的公式的逆用，利用导数研究函数的单调性，利用函数的单调性比较函数值的大小等知识点的运用，试题有一定的综合性，属于中档试题，解答中根据题意构造新函数，利用新函数的单调性比较大小是解答的关键.‎ ‎13．已知函数，则的值为（ 　 ）‎ A. B. 0 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意，化简得，‎ 而，所以，得，故，‎ 所以， ，所以,故选D.‎ ‎14．数学上称函数（， ， ）为线性函数.对于非线性可导函数，在点附近一点的函数值，可以用如下方法求其近似代替值： .利用这一方法， 的近似代替值（ ）‎ A. 大于 B. 小于 C. 等于 D. 与的大小关系无法确定 ‎【答案】A ‎【解析】设，令，则， ，故近似值大于.‎ 点睛：本题主要考查新定义概念的理解，考查基本初等函数的导数的求法，考查近似值的一种求法，考查比较大小的方法.题目所给新定义是一种近似值的求法，阅读理解后，将所求的近似值利用新定义的概念来表示，即，然后利用平方的方法进行大小的比较.‎ ‎15．已知各项均为正数的等比数列，，若，则（ ）‎ A. B. C. 128 D. -128‎ ‎【答案】B ‎16．我们把形如的函数称为幂指函数, 幂指函数在求导时, 可以利用对数法：在函数解析式两边求对数得, 两边求导得,于是. 运用此方法可以探求得的单调递增区间是 A. B. (0,1) C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】，，由于 ‎，‎ ‎，要使，只要，解得，故的单调递增区间为，故选D. ‎ ‎【方法点睛】本题考查导数的运算法则以及新定义问题，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题定义“幂指函数的导数运算公式”达到考查导数的运算法则的目的.‎ ‎17．若函数的图象的顶点在第四象限,则函数的图象是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎18．定义在R上的可导函数f(x),f ′(x)是其导函数.则下列结论中错误的是( )‎ A. 若f(x)是偶函数,则f ′(x)必是奇函数 B. 若f(x)是奇函数,则f ′(x)必是偶函数 C. 若f ′(x)是偶函数,则f(x)必是奇函数 D. 若f ′(x)是奇函数,则f(x)必是偶函数 ‎【答案】C ‎【解析】取为偶函数，则原函数为非奇非偶函数，选项C不合题意.本题选择C选项.‎ ‎19．已知函数，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为，‎ 所以，故选B.‎ ‎20．已知…则等于 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】，所以是4个一周期，所以，故选D。‎ 点睛：本题考查周期性的应用。在求解之类的大项函数问题，一般的，函数要么具有周期性，要么存在通项式，由题意可知，本题具有周期性，解得答案即可。‎ ‎21．已知函数，则此函数的导函数（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵‎ ‎∴.‎ 故选：A ‎22．若偶函数满足则曲线在点处的切线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为函数为偶函数，所以函数在点处的切线和在处的切线关于轴对称，所以 ，当 时， ‎ ‎ ，所以 ‎ ，所以 ，切线方程为，即 ，故选C.‎ ‎【点睛】利用导数的几何意义求切线是高考比较简单的问题，但本题不仅利用了导数的几何意义也利用了函数的性质，偶函数的导函数是奇函数，这样就转化为求和，本题的一个难点是求当时，函数的导数，要合理转化为 的导数，这样好求.‎ 二、填空题 ‎23．已知函数f(x)=exlnx，为f(x)的导函数，则的值为__________．‎ ‎【答案】e ‎【解析】分析：首先求导函数，然后结合导函数的运算法则整理计算即可求得最终结果.‎ 点睛：本题主要考查导数的运算法则，基本初等函数的导数公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎24．已知，则__________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】 因为，令，得，解得．‎ ‎25．已知函数的导数为，且满足关系式，则的值等于__________．‎ ‎【答案】-9‎ ‎【解析】.‎ ‎.‎ 函数求导得： .令.‎ 得，解得： .‎ 所以， .‎ ‎.‎ 答案为-9.‎ ‎26．函数的定义域为， ，若对任意的，都有成立，则不等式的解集为________．‎ ‎【答案】‎ 点睛：本题主要考查抽象不等式的解法，导数在求函数单调性中的应用，属于中档题。构造函数是解答本题的关键。‎ ‎27．奇函数定义域为，其导函数是.当时，有，则关于的不等式的解集为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】令，‎ 则，‎ 由条件得当时， ，‎ ‎∴函数在上单调递减．‎ 又函数为偶函数，‎ 点睛：对于给出含有导函数的不等式来解不等式或比较大小的问题，往往采用构造新函数的方法，然后判断出新函数的单调性，再结合单调性进行解题．在构造新函数时，要注意观察所给的不等式的特征，根据乘积、商的导数的求导法则进行构造，并根据条件中所给出的不等式判断出所构造的函数的单调性．‎ ‎28．对于函数,如果可导，且有实数根，则称是函数的驻点. 若函数的驻点分别是，则的大小关系是__________．(用“”连接)‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因，故由；因，故由；因，故，令 ‎，因，故；应填答案。‎ 点睛：解答本题的关键是三个住驻点的取得和大小的比较。对于与的大小容易比较，但是中的则是通过构造函数运用函数与方程的关系进行分析判断从而使得问题巧妙获解，这也本题的一个难点。‎ ‎29．已知函数， ，设函数，且函数的零点均在区间（）内，则的最小值为___________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】 ，又 ，因此函数的零点均在区间内， 的最小值为 ‎ ‎30．定义1：若函数在区间上可导，即存在，且导函数在区间上也可导，则称函数在区间上存在二阶导数，记作，即．‎ 定义2：若函数在区间上的二阶导数恒为正，即恒成立，则称函数在区间上为凹函数．‎ 已知函数在区间上为凹函数，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎31．已知，则的值为______‎ ‎【答案】233‎ ‎【解析】分析：根据题意，在（3﹣2x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5‎ 中，令x=0可得a0=243，设y=（3﹣2x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，求出其导数，分析可得=﹣10=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4，令x=1可得a1+2a2+3a3+4a4+5a5的值，将其值相加即可得答案．‎ 详解：根据题意，（3﹣2x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5中，‎ 令x=0可得：35=a0，即a0=243，‎ 设y=（3﹣2x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，‎ 其导数y′=﹣10（3﹣2x）4=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4，‎ 令x=1可得：﹣10=a1+2a2+3a3+4a4+5a5，‎ 则a0+a1+2a2+3a3+4a4+5a5=243﹣10=233；‎ 故答案为：233‎ 点睛：（1）本题主要考查二项式定理的应用和导数，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及分析推理能力基本的计算能力. (2)解答本题的关键有两点，其一是想到赋值法，令x=0可得a0=243，令x=1可得﹣10=a1+2a2+3a3+4a4+5a5.其二是要看到要想到求导.‎ 三、解答题 ‎32．已知，，.‎ ‎（Ⅰ）若，求的极值；‎ ‎（Ⅱ）若函数的两个零点为，记，证明：．‎ ‎【答案】（Ⅰ）极大值为，无极小值；（Ⅱ）证明见解析.‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）先判断函数在上的单调性，然后可得当时，有极大值，无极小值．（Ⅱ）不妨设，由题意可得，‎ 即，又由条件得，构造，令，则 ‎，利用导数可得，故得，又，所以．‎ 详解：（Ⅰ），‎ ‎，‎ 由得，‎ 且当时， ，即在上单调递增，‎ 当时，，即在上单调递减，‎ ‎∴当时，有极大值，且，无极小值．‎ 令，则 ‎，‎ 在上单调递减，‎ 故，‎ ‎，‎ 即，‎ 又，‎ ‎．‎ 点睛：（1）研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大（小）值、函数的变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的大体图象，然后通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．‎ ‎（2）证明不等式时常采取构造函数的方法，然后通过判断函数的单调性，借助函数的最值进行证明．‎ ‎33．设函数．‎ ‎（1）若，讨论的单调性；‎ ‎（2）若在上有两个零点，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】分析：（1）求导得，故根据的符号可判断函数的单调性．（2）结合（1）中的函数的单调性求解，当时在单调递增，在单调递减，且，故要有两个零点，则需，解不等式可得结果；当时，可得单调递增，而，所以在上有一个零点0，不合题意．由此可得所求范围为．‎ ‎（2）解法1：‎ ‎①当时，由（1）知在单调递增，在单调递减．‎ ‎∵在上有两个零点，且，‎ ‎∴，解得．‎ ‎②当时，若，则，在单调递增，而，所以因为在上有一个零点0．‎ 综上得当在上有两个零点时，实数的取值范围为．‎ ‎（ⅰ）若，则，在单调递增．‎ 又，‎ ‎∴在上只有一个零点．‎ ‎（ⅱ）若，则，在上单调递增，在上单调递减．‎ ‎∵，‎ ‎∴若在上有两个零点，则，解得．‎ 综上得当在上有两个零点时，实数的取值范围为．‎ 点睛：求函数零点的值，判断函数零点的范围及零点的个数以及已知函数零点求参数范围等问题，都可利用方程来求解，但当方程不易甚至不可能解出时，可构造两个函数，利用数形结合的方法进行求解，同时解题时要注意函数零点存在定理的应用．‎ ‎34．已知函数（是自然对数的底数）‎ ‎（1）判断函数极值点的个数，并说明理由；‎ ‎（2）若， ，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）对求导可得，根据的取值，分， ， 和四种情况讨论函数的单调性，然后得到极值点的个数．（2）由题意可得对恒成立．然后分， 和三种情况分别求解，通过分离参数或参数讨论的方法可得的取值范围．‎ ‎（2）由得.‎ ‎①当时，由不等式得，‎ 即对在上恒成立.‎ 设，则.‎ 设，则.‎ ‎， ，‎ 在上单调递增，‎ ‎，即，‎ 在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎ ‎ 在上单调递增，‎ ‎.‎ 若， ，‎ ‎，使得时， ，即在上单调递减，‎ ‎，舍去.‎ ‎.‎ 综上可得， 的取值范围是.‎ ‎35．已知函数满足且在上恒成立.‎ ‎(1)求、、的值；‎ ‎(2)若,解不等式.‎ ‎【答案】（1） ；（2）当时, ;当时, ;当时， .‎ ‎【解析】试题分析：(1)求出导函数，由,以及在上恒成立，列关于、、的方程组（注意等价于），解方程组即可得结果；(2) 由(1)知, ,, 等价于,讨论三种情况，分别根据一元二次不等式的解法求解即可.‎ ‎(2)由(1)知, ,,‎ ‎∴不等式化为,‎ 即,∴,‎ ‎①若,则所求不等式的解为;‎ ‎②若,则所求不等式的解为空集;‎ ‎③若,则所求不等式的解为.‎ 综上所述,当时,所求不等式的解为;当时,所求不等式的解为;当时,所求不等式的解为.‎ ‎36．已知，设函数. ‎ ‎（1）当时，求的极值点；‎ ‎（2）讨论在区间上的单调性；‎ ‎（3）对任意恒成立时， 的最大值为1，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）是的极小值点，无极大值点;（2）见解析;（3）. ‎ ‎【解析】【试题分析】（１）先求导数，再解方程求导函数的零点；（２）运用导数与函数的单调性之间的关系分析探求；（３）先将不等式进行等价转化，再分离参数，构造函数运用导数知识求解：‎ ‎（1）当时， ，∴，令，则，当时， ；当时， ，所以是的极小值点，无极大值点.‎ ‎（3）∵， 。由得 对任意恒成立，即 对任意恒成立. ‎ 令， ，根据题意，可以知道 的最大值为1，则 恒成立. ‎ 点睛：本题设置的问题旨在考查导数在研究函数的单调性＼极值（最值）等方面的综合运用。求解第一问时，先求导数，再解方程求导函数的零点即函数的极值点；求解第二问时，运用导数与函数的单调性之间的关系求出其单调区间从而使得问题获解；解答第三问时，先将题设中的不等式进行等价转化，再分离参数，构造函数令运用导数知识分析求解从而使得问题巧妙获解。‎ ‎37．已知函数．‎ ‎（1）当为何值时， 轴为曲线的切线；‎ ‎（2）用表示中的最小值，设函数，讨论零点的个数．‎ ‎【答案】（1）当时， 轴是曲线的切线（2）当或时， 有一个零点；当或时， 有两个零点；当时， 有三个零点．‎ ‎【解析】【试题分析】（1）先对函数 求导，再运用导数的几何意义建立方程组求出；（2）先确定函数的解析表达式的情形，再运用分类整合思想分或和分类讨论函数的零点的个数问题，进而求出对应的参数的取值范围：‎ ‎（1）设曲线与轴相切于点，则，即，‎ 解得： ，‎ 因此，当时， 轴是曲线的切线； ‎ ‎（Ⅰ）若或，则在无零点，故在单调，而，‎ 所以当时， 在有一个零点； 当时， 在无零点；‎ ‎（Ⅱ）若，则在单调递减，在单调递增，‎ 故当时， 取的最小值，最小值为．‎ 若，即， 在无零点；‎ 若，即，则在有唯一零点；‎ ‎③若，即，由于，所以当时， 在有两个零点；当时， 在有一个零点．‎ 综上，当或时， 有一个零点；当或时， 有两个零点；‎ 当时， 有三个零点．‎ 点睛：导数是研究函数的单调性、极值最值的重要而有效工具。本题以含参数的函数解析式为背景，旨在考查导数在研究函数的单调性、极值（最值）等方面的综合运用。求解第一问时，先对已知函数解析式进行求导，再运用导数的几何意义建立方程组求出解析式中的参数进而获解；解答本题的第二问时，先确定函数的解析式，再运用分类整合思想分类讨论函数的零点的个数问题以及对应的参数的范围，从而体现了分类整合思想在解决问题中的综合运用。‎ ‎38．设函数.‎ ‎（Ⅰ）若，求的极值；‎ ‎（Ⅱ）若在定义域上单调递增，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）极大值为，无极小值.（2）见解析 ‎【解析】【试题分析】（1）先求函数的导数，再借助导数知识求解；（2）依据题设先求导数借助函数与单调性之间的关系建立不等式，再分离参数构造函数运用导数知识分析求解：‎ ‎（Ⅰ）定义域为.当时， 且.‎ 令，则，故在定义域上是减函数，注意到， 当时， ，此时；‎ 当时， ，此时.‎ 的极大值为，无极小值.‎ ‎（Ⅱ）当时， ，故，‎ 令， ，‎ 由得，由得，‎ 故的最大值为， ， .‎ 点睛：本题以含参数的函数解析式为背景，设立了两道问题，旨在考查导数在研究函数的单调性、极值（最值）等方面的综合运用。求解第一问时，先函数的导数，求出极值点，求其极值；解答第二问时，先依据题设条件，求出导数借助函数与单调性之间的关系建立不等式，再分离参数构造函数,运用导数知识分析求解而获解。‎ ‎39．设函数（是自然对数的底数）.‎ ‎（1）若，求函数的单调区间；‎ ‎（2）若在 内无极值，求的取值范围；‎ ‎（3）设，求证： 。‎ ‎【答案】（1）在， 单调递增，在单调递减（2）（3）见解析 ‎【解析】试题分析：（1）先对函数求导，再运用导数与函数的单调性之间的关系分析求解；（2）先将在问题进行转化，再分离参数，构造函数运用分类整合思想及导数知识分析求解；（3）依据题设条件运用数学归纳法进行推证：‎ 解：（1）当时， ‎ 所以 当时， 当时， ；‎ 当时， ‎ 故在， 单调递增，在单调递减 ‎②若在上单调递增，则，对恒成立，于是 ‎，当时，由得，从而增函数 ‎，这样。综上得 ‎ ‎（3）用数学归纳法证明 ①当时， ，不等式成立；‎ ‎②假设时不等式成立，即，‎ 当时，令 显然，由归纳假设， 对成立，‎ 所以 在上单调递增，当时， ，即当 时，不等式也成立。‎ 综合①②时，不等式成立。‎ ‎40．设函数，曲线在点处的切线方程为．‎ ‎（Ⅰ）求实数， 的值；‎ ‎（Ⅱ）若， ， ， ，试判断， ， 三者是否有确定的大小关系，并说明理由．‎ ‎【答案】（1）， ．（2）‎ ‎【解析】【试题分析】（1）运用导数的几何意义建立方程组进行分析求解；（2）先做差比较，再构造函数运用导数知识分析求解：‎ ‎（ii） ．‎ 设函数， ，‎ 则， ．‎ 当时， ，所以在上单调递增；‎ 又，因此在上单调递增．‎ 又，所以，即，即．‎ ‎（iii） ．‎ 设， ．‎ 则，有．‎ 当时， ，所以在上单调递增，有．‎ 所以在上单调递增．‎ 又，所以，即，故．‎ 综上可知： ．‎ ‎41．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数， 是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若，请你根据这一发现.‎ ‎（1）求函数对称中心；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）三次函数的对称中心是的实根，解得，再代入求 ，即求得函数的对称中心；（2）根据（1）的结果可知函数的对称中心是，即任何，所以，以此类推， ,或采用倒序相加法求和. ‎ 试题解析：（1），由，即，解得.‎ ‎.‎ 由题中给出的结论可知，函数对称中心为.‎ ‎ ‎ ‎42．已知函数（为实数， 为自然对数的底数），曲线在处的切线与直线平行.‎ ‎（1）求实数的值，并判断函数在区间内的零点个数；‎ ‎（2）证明：当时， .‎ ‎【答案】（1），没有零点;（2）见解析.‎ ‎【解析】【试题分析】（1）先借助导数的几何意义建立方程求出的值，再运用导数与函数的单调性之间的关系分析求解；（2）借助题设先将不等式进行等价转化，再运用导数知识进行分析推证：‎ ‎（1），由题设，可知曲线在处的切线的斜率，解得，‎ ‎∴，‎ ‎∴当时， ，‎ ‎∴在区间内为增函数，‎ 又，∴在区间内没有零点.‎ 当时， ，∴在区间内单调递增，在区间内单调递减，在区间内单调递增， ‎ 又，∴，当且仅当时，取等号，即①式成立，‎ ‎∴.‎ 点睛：本题以含参数的函数解析式为背景，设置了两道问题，旨在考查导数知识在研究导数的几何意义、函数的单调性、极值（最值）等方面的综合运用。求解第一问时，先借助导数的几何意义建立方程求出的值，再运用导数与函数的单调性之间的关系确定函数是单调递增函数，且无交点从而使得问题获解；解答第二问时，先借助题设条件将不等式进行等价转化为，再构造函数，运用等价转化的数学思想进行分析推证，进而使得问题获证。‎ ‎43．已知函数， 为自然对数的底数.‎ ‎（Ⅰ）求曲线在处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）关于的不等式在恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）关于的方程有两个实根， ，求证： .‎ ‎【答案】（1）（2）（3）见解析 ‎【解析】试题分析：（1）由，得，且又，即可求解切线方程； ‎ ‎（2）由题意知在上恒成立，利用导数求解函数的最小值，进而可求解实数的取值范围；‎ ‎（3）由，则，令，‎ 得，得恒成立，即， ‎ 不妨设，则，再根据（2）中的结论，即可作出证明.‎ ‎（2）记 ，其中，‎ 由题意知在上恒成立，下求函数的最小值，‎ 对求导得，令，得，‎ 当变化时， ， 变化情况列表如下：‎ ‎0‎ 极小值 ‎ ， ，‎ 记，则，令，得．‎ 当变化时， ， 变化情况列表如下：‎ ‎1‎ ‎0‎ 极大值 ‎，‎ 故当且仅当时取等号，‎ 又，从而得到；‎ ‎（3）先证，‎ 记 ，则，令，得，当变化时， ， 变化情况列表如下：‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 极小值 ‎∴ ， 恒成立，‎ 即，记直线， 分别与交于， ，‎ 不妨设，则 ，‎ 从而，当且仅当时取等号，‎ 由（2）知， ，则 ，‎ 从而，当且仅当时取等号，‎ 故 ，‎ 因等号成立的条件不能同时满足，故．‎ ‎44．已知曲线在点处的切线与直线平行， ．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求证： ．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.‎ ‎【解析】【试题分析】（１）先求导数，再运用导数的几何意义建立方程求解；（２）先将不等式进行等价转化，再运用导数分别求不等式中的两边的函数的最值进行分析推证：‎ ‎①当时， ，而，故在上递增，‎ ‎， 即； ‎ ‎②当时， ，令，则 故 在上递增， 上递减， ， 即；‎ 综上，对任意，均有.‎ 点睛：本题以含参数的函数解析式为背景，精心设置了两个问题，旨在考查导数的几何意义、求导法则等基础知识，以及综合运用导数知识研究函数的单调性、极值（最值）等方面的运用。求解第一问时，先对函数解析式求导数，再运用导数的几何意义建立方程求出参数而获解；求证第二问时，先将不等式化为，再对不等式两边函数分别求导，分别求函数的最小值和最大值，然后进行比较，从而使得问题获证。‎ ‎45．已知函数， .‎ ‎（Ⅰ）当时，求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若时，有恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）在上单调增，在上单调增；（2）.‎ ‎【解析】【试题分析】（1）依据题设条件，运用导数与函数的单调性之间的关系求解；（2）依据题设条件，先构造函数将不等式进行等价转化，再借助导数工具，对参数的取值范围分类探求其最值：‎ ‎（Ⅱ） ‎ 时恒成立，‎ 则在上单调递增，则 ，‎ 点睛：本题以含参数 的函数解析式为背景，精心设置了两个运用导数工具的解答题，旨在考查导数在研究函数的单调性、极值（最值）等方面的灵活运用。求解第一问题时，先对函数解析式求导，再依据题设条件及导数与函数单调性之间的关系求解；（2）依据题设条件，先将不等式等价转化为，再借助求导法则对求导，然后分类分析该函数取得最小值时的参数的取值范围，从而使得问题获解。‎ 方法总结：‎ ‎1.应用基本初等函数的导数公式进行导数计算时应注意：①公式(xn)′＝nxn－1中，n为有理数；②公式(ax)′＝axln a，(logax)′＝与(ex)′＝ex，(ln x)′＝，清楚地区分和熟记.‎ ‎2.复合函数的导数计算关键是联想基本初等函数，准确地通过中间量对复合函数进行拆分，同时最后结果是关于x的函数解析式.‎ ‎3.导数的几何意义是高考考查的热点问题，应特别注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”意义完全不一样，前者点P不一定是切点，而后者点P一定是切点，且在曲线上.‎ ‎ ‎